PAGE1-向量一、選擇題1．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿意，，，則 ()A． B． C． D．【答案】D解析：，，，．，因此，．故選：D．2．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知，，，則 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴,∴，解得，即，則．3．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知非零向量，滿意，且，則與的夾角為 ()A．B．C．D．【答案】B解析：，所以，所以．4．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為(，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿意上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長度為26cm，則其身高可能是 ()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm【答案】B解析：如圖，，，則，，，所以身高，又，所以，身高，故，故選B．5．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知向量，滿意，，則 ()A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B解析：，故選B．6．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)在中,為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 ()A． B． C． D．【答案】A解析：在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，，故選A．7．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖則，，，，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)在中，有即所以圓的方程為可設(shè)由可得所以，所以其中，所以的最大值為，故選A．法二：通過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，，可求得又由，可求得由等和線定理可知，當(dāng)點(diǎn)的切線（即）與平行時(shí)，取得最大值又點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，均為而此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為所以，所以的最大值為，故選A．另一種表達(dá)：如圖，由“等和線”相關(guān)學(xué)問知，當(dāng)點(diǎn)在如圖所示位置時(shí)，最大，且此時(shí)若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A．法三：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)依據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是，若滿意即，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故選A．法四：由題意，畫出右圖．設(shè)與切于點(diǎn)，連接．以為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系則點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，．∴．切于點(diǎn)．∴⊥．∴是中斜邊上的高．即的半徑為．∵在上．∴點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿意的參數(shù)方程如下：而，，．∵∴，．兩式相加得：(其中，)當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3．8．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 ()A． B． C． D．【答案】B【命題意圖】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平面對量的線性運(yùn)算﹑數(shù)量積，意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解實(shí)力【解析】解法一：建系法連接，，，．，∴∴∴，∴∴最小值為解法二：均值法∵，∴由上圖可知：；兩邊平方可得∵，∴∴，∴最小值為解法三：配湊法∵∴∴最小值為9．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量,,則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意,得,所以,故選A.10．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知向量，且，則 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得：，所以，又所以，所以，故選D．11．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 ()A． B．C． D．【答案】A解析：由題知=，故選A．考點(diǎn)：平面對量的線性運(yùn)算12．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)設(shè)向量a,b滿意|a+b|=，|a-b|=，則ab= ()A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A解析：因?yàn)閮墒较嗉拥茫核?，故選A．二、填空題13．(2024年高考全國甲卷理科)已知向量．若，則________．【答案】．解析：,，解得,故答案為：．14．(2024年高考全國乙卷理科)已知向量，若，則__________．【答案】解析：因?yàn)?，所以由可得，，解得．故答案為：?5．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)為單位向量，且，則______________．【答案】【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以所以解得：所以故答案為?6．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．【答案】解析：由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：．故答案為：．17．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知，為單位向量，且，若，則___________．【答案】．【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以?8．(2024年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，則．【答案】解析：依題意可得，又，所以，解得．19．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒殺解法):利用如下圖形,可以推斷出的模長是以為邊長的菱形對角線的長度,則為．法三:坐標(biāo)法依題意,可設(shè),,所以所以．20．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)向量，，且，則．【答案】【解析】由已知得：∴，解得．21．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．【答案】解析：因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．22．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知A,B,C是圓O上的三點(diǎn),若,則與的夾角為______．【答案】解析:∵,∴O為線段BC中點(diǎn),故BC為的直徑,∴,∴與的夾角為．