專題07一次函數(shù)的應(yīng)用（鉛錘法求面積）【方法說明】常規(guī)圖形中：平面直角坐標(biāo)系中：例1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸相交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)B．(1)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為________，________；(2)點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)P是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根據(jù)直線，令求出的值，令求出的值，即可得點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）分類討論：點(diǎn)在軸的上方和下方，兩種情況，利用三角形的面積公式和已知條件，列出方程，利用方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：對于直線，當(dāng)時(shí)，．∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故答案為：，；（2）解：∵，∴，∴．∵，∴；①當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，，∴，∵點(diǎn)P在x軸下方，∴，當(dāng)時(shí)，代入得，，解得．∴；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，，∴，∵點(diǎn)P在x軸上方，∴．當(dāng)時(shí)，代入得，，解得．∴，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積等知識，題中運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的知識求出相關(guān)線段的長度，注意分類討論和“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知直線與y軸、x軸分別交于兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰，所在直線為．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求C點(diǎn)坐標(biāo)及b的值；(3)如圖2，直線交y軸于點(diǎn)D，在直線上取一點(diǎn)E，使與x軸相交于點(diǎn)F．①求證：；②在直線上是否存在一點(diǎn)P，使的面積等于的面積？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)點(diǎn)；(3)①見解析；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）中求出時(shí)y的值和時(shí)x的值即可得；（2）作軸，證明得，，據(jù)此可得，再根據(jù)待定系數(shù)法求解可得；（3）①過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，證明、，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方時(shí)，由的面積，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)A的上方時(shí)，則點(diǎn)A是點(diǎn)的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：中，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，解得，則；（2）如圖①，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，則，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，則點(diǎn)，∵直線所在直線解析式為，將點(diǎn)代入，得：，解得．（3）①過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，則，∵，∴是的中垂線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖③，作軸于點(diǎn)H，由知，即，則，∴，由①知，根據(jù)、得直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，設(shè)，當(dāng)P在點(diǎn)A的下方時(shí)則故當(dāng)在點(diǎn)A的上方時(shí)則點(diǎn)A是點(diǎn)的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及割補(bǔ)法求三角形的面積等知識點(diǎn)．例3.（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A．B，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B，并與軸交于點(diǎn)C，AC=10．(1)求一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)點(diǎn)P是一次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為n，△PBC的面積是S，求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）畫出示意圖分三種情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)以及當(dāng)時(shí)分別求解即可．（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)A、B∴A(-2，0)、B(0，4)∵AC=10∴C(8，0)∵一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B、C，∴解得∴．（2）①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法，畫出示意圖是解題的關(guān)鍵．例4．（2022春·重慶·七年級重慶十八中?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=OB=3．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)C(?2，2)，求三角形ABC的面積；(3)若點(diǎn)P是第一、三象限角平分線上一點(diǎn)，且三角形ABP的面積為，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)A（3，0），B（0，3）；(2)三角形ABC的面積為；(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，8）或（-5，-5）．【分析】（1）由OA=OB=3即可得出答案；（2）找出三角形的底和高，根據(jù)三角形面積公式即可得解；（3）根據(jù)點(diǎn)在象限平分線上的特點(diǎn)和三角形面積即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由OA=OB=3，可知：A（3，0），B（0，3）；（2）解：設(shè)AC交y軸于點(diǎn)D，如圖．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)A、C坐標(biāo)，得：，解得：，則直線AC解析式為y=-x+．令x=0，則y=，BD=BO-DO=3-=，∴S△ABC=S△CBD+S△ABD=BD?2+BD?3=×=；（3）解：由（2）可知：S△AOB=<，∴點(diǎn)P不在三角形ABO內(nèi)部．∵點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上，∴設(shè)點(diǎn)P（a，a）．如圖.①當(dāng)P在第一象限時(shí)，S△ABP=S△PAO+S△PBO-S△AOB=OA?yp+OB?xp-OA?OB=?3a+?3a-×3×3=．∴a=8，故P（8，8）；②當(dāng)P在第三象限時(shí)，S△ABP'=S△P'AO+S△P'BO+S△AOB=?(?3a)+?(?3a)+×3×3=．∴a=-5，故P'（-5，-5），綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，8）或（-5，-5）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正比例函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)以及三角形面積等知識，熟練掌握這些是解題的關(guān)鍵．例5．（2021春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，直線：分別交，軸于、兩點(diǎn)．以線段為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，；直線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，且與直線在軸下方相交于點(diǎn)．（1）請求出直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出的面積；（3）在直線上不同于點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)，使得與面積相等，如若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如若不存在，請說明理由；（4）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使的面積與四邊形的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為；（4）存在，坐標(biāo)為或或．【分析】（1）先求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，利用AAS可證明△BOA≌△AMC，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立方程組求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可求得面積；（3）結(jié)合兩個三角形的面積相等的特點(diǎn)，當(dāng)兩個三角形等高時(shí)面積相等，從而求得結(jié)果；（4）易求得四邊形ABCD的面積，分點(diǎn)F在x軸或y軸上兩種情況，在x軸上又分三種情況，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)，結(jié)合三角形和四邊形面積相等列方程求解．【詳解】（1）∵直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，令，則，∴．令，則，∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，則∠AOB=∠CMA=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAM=90°，∴∠BAO=∠ACM∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°∴AB=AC在△BOA與△AMC中，

∴，∴，，∴OM=OA+AM=3+4=7，∴，又∵，設(shè)直線的解析式為，則有解得：∴直線的解析式為：．（2）聯(lián)立方程組，解得：，∴．∴．（3）存在．∵與面積相等，且底AD相等，∴底邊AD上的高相等，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴在中，令，則，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．（4）存在．在Rt△AOB中，由勾股定理得：，，=14．①當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(0，y)，如圖，∵的面積與四邊形的面積相等，∴，解得：y=8或y=0，∴坐標(biāo)為或；②當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，若F點(diǎn)在O點(diǎn)左側(cè)，則m<0，如圖，則，∴，解得：m=0(不合題意，舍去)若點(diǎn)F在線段OM上（包括兩個端點(diǎn)），即0≤m≤7，如圖，則，∴，解得：m=0∴點(diǎn)坐標(biāo)為；若點(diǎn)F位于點(diǎn)M的右側(cè)，則m>7，如圖，則，∴，解得：m=6（不合題意），此時(shí)點(diǎn)F不存在；或，∴，解得：m=56∴點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，理解一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解題是關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．（2023春·四川成都·八年級校考期中）已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)，連接，使得將四邊形的面積分成的兩部分，請求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的坐標(biāo)為或(3)或【分析】（1）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件得出，待定系數(shù)法求直線解析式，即可求解；（2）分兩種情況討論，①當(dāng)為邊時(shí)，②當(dāng)為對角線時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)題意可得或，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的解析式，聯(lián)立，即可求解．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴,，∴∵，∴即設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線解析式為；（2）解：當(dāng)為邊時(shí)，∵∴軸，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,將代入，得∴；

當(dāng)為對角線時(shí)，的中點(diǎn)為，則∴

綜上所述，的坐標(biāo)為或；（3）解：如圖所示，設(shè)交軸于點(diǎn)，

∵將四邊形的面積分成的兩部分，則或∵∴則或當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為∴，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立，解得：∴當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為∴，解得：，∴直線的解析式為聯(lián)立，解得：，∴綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形綜合，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式，求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的另一條直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為

(1)求直線的表達(dá)式；(2)求直線的表達(dá)式；(3)求的面積；(4)點(diǎn)是第三象限在直線上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)，通過點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求，即可求解；（4）設(shè)，根據(jù)，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為：，其中點(diǎn)在直線上．直線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為：．點(diǎn)在直線上，代入可得：，解得：直線的表達(dá)式為．（3）解：點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，∴，解得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作于點(diǎn)，如圖，

；（4）解：如圖，

設(shè)，∵，∴，由（3）得：，∴，∵點(diǎn)是第三象限在直線上一點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求解析式、求面積等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是關(guān)鍵．3．（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，過點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸相交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，設(shè)的面積為．

(1)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得與、、中任意兩點(diǎn)形成的三角形面積也為，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，，，．【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由可求函數(shù)關(guān)系式，（2）將代入函數(shù)解析式可求得點(diǎn)；（3）根據(jù)三角形三個頂點(diǎn)不同分類討論求出點(diǎn)M．【詳解】（1）解：點(diǎn)在第二象限，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x，則（)（2）由（1）可知當(dāng)則此時(shí)：所以（3）存在點(diǎn)M滿足條件，I．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若，即，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，II．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若，即，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為；III．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若，即，

，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B下方時(shí)，點(diǎn)M點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；；IV．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若，即，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，與點(diǎn)A重合，不合題意舍去；V．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若，即，∴，∴，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是分類討論的數(shù)學(xué)思想．4．（2022秋·山東濟(jì)南·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸相交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)B．(1)A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；(2)點(diǎn)C在x軸上，若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)P是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)C的坐標(biāo)是或或(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)直線，令求出x的值，令求出y的值，即可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式解答；（3）分類討論：點(diǎn)P在x軸的上方和下方，兩種情況，利用三角形的面積公式和已知條件，列出方程，利用方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）對于直線，當(dāng)時(shí)，．∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故答案為：；（2）如圖，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，∵∴，∵∴綜上所述，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)是或或；（3）∵∴∴∵∴；①當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，∴∵點(diǎn)P在x軸下方，∴當(dāng)時(shí)，代入得，，解得∴；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，∴∵點(diǎn)P在x軸上方，∴當(dāng)時(shí)，代入得，，解得∴綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，題中運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的知識求出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．另外，注意分類討論和“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．5.（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)D（0，﹣6）在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處，直線CD交AB于點(diǎn)E．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)求△ADE的面積；(3)y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得＝，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）(2)9(3)y軸上存在一點(diǎn)P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝【分析】(1)直線y＝x+4中，分別令x=0、y=0，確定B、A坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理計(jì)算AB，根據(jù)折疊性質(zhì)，AC=AB，確定OC的長即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）證明Rt△AOD≌Rt△AED，根據(jù)計(jì)算即可．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），則DP＝|m+6|．根據(jù)，計(jì)算m的值即可．【詳解】（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+4＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；當(dāng)y＝0時(shí)，x+4＝0，解得：x＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．由折疊的性質(zhì)，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝8，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）．（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD．又∵∠BDA＝∠CDA，在Rt△AOD和Rt△AED中，∴Rt△AOD≌Rt△AED，∴．（3）存在點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（0，-3）或（0，-9），理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），則DP＝|m+6|．∵＝，∴，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴y軸上存在點(diǎn)P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解析式的確定，折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法，折疊性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形的綜合是解題的關(guān)鍵．6.（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A，以AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，OB的垂直平分線l交AB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)G，連接CE．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)判定四邊形EGDC的形狀，并說明理由；(3)點(diǎn)M在直線l上，使得S△ABM＝S△ABC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)A（0，4），B（2，0），C（6，2）；(2)四邊形EGDC是矩形，理由見解析；(3)M（1，7）或（1，?3）．【分析】（1）令x＝0求出y，令y＝0求出x，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后證明△AOB≌△BDC（AAS）即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）證明CE＝GD＝5，CEGD，推出四邊形EGDC是平行四邊形，再根據(jù)∠EGD＝90°即可得出四邊形EGDC是矩形；（3）設(shè)M（1，m），求出AB＝BC＝，根據(jù)S△ABM＝S△ABC構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】（1）解：在一次函數(shù)y＝?2x＋4中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，∴A（0，4），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，∴OD＝6，∴C（6，2）；（2）四邊形EGDC是矩形．理由：∵EG垂直平分線段OB，∴OG＝GB＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝?2x＋4＝2，∴E（1，2），∵C（6，2），∴CE＝5，∵G（1，0），D