2021人教A版新高一數(shù)學(xué)下學(xué)期重難點(diǎn)題型專項(xiàng)提優(yōu)

專題12統(tǒng)計(jì)（解析版）

本專題主要強(qiáng)化四個(gè)內(nèi)容：一、隨機(jī)抽樣；二、數(shù)據(jù)分析百分位數(shù)的計(jì)算；三、平均數(shù)、中

位數(shù)、眾數(shù)、方差；四、頻率分布直方圖.

【考點(diǎn)一：隨機(jī)抽樣】

例1.某中學(xué)的高一、高二、高三共有學(xué)生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，

為了解該校學(xué)生健康狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一學(xué)生120

人，則該樣本中的高二學(xué)生人數(shù)為

A.80B.96C.108D.110

【答案】C

【解析】設(shè)高二X人，則x+x—50+500=1350，x=450，

所以，高一、高二、高三的人數(shù)分別為：500,450,400

因?yàn)門=所以，高二學(xué)生抽取人數(shù)為：450x^=108.

5002525

例2.用分層抽樣的方法從高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取1個(gè)容量為60的樣本，

其中高一年級(jí)抽取15人，高三年級(jí)抽取20人，已知高二年級(jí)共有學(xué)生500人，則3個(gè)年級(jí)

學(xué)生總數(shù)為人.

【答案】1200

【解析】設(shè)這3個(gè)年級(jí)有學(xué)生共計(jì)n人,由題意可得抽取的高二年級(jí)學(xué)生有60-15-20=25

,,255004川,

人，由二=---，求得“=1200人.

60n

例3.2020年，新冠病毒在世界肆虐，造成很多行業(yè)前景不如從前，國家最近調(diào)查了A,B,

C三類工種的復(fù)工情況，在調(diào)查的所有職工中，A工種占40%,5工種占50%,C工種

占10%.現(xiàn)用分層抽樣的方法從調(diào)查的全體職工中抽取一個(gè)容量為n的樣本.

試確定:

（1）若“=200,則在A工種、B工種、C工種中分別應(yīng)抽取多少人？

（2）若抽取的A工種比C工種多30人，則抽取的3工種有多少人？

【解析】解：（1）若“=200,則在A工種中抽取的人數(shù)為200x40%=80，

3工種中抽取的人數(shù)為200x50%=100，

。工種中應(yīng)抽取的人數(shù)為200xl0%=20.

（2）若抽取的A工種比C工種多30人，則40%x〃一10%x〃=30，求得〃=100，

則抽取的3工種中的人數(shù)為100x50%=50.

例4.一家保險(xiǎn)公司決定對(duì)推銷員實(shí)行月標(biāo)管理，按以往月銷售額（單位：千元）把推銷員

分為甲、乙、丙三個(gè)層次，各層次人數(shù)如下：

甲乙丙

月銷售額[20,25][15,20)[10,15)

人數(shù)12024090

（1）為了了解推銷員對(duì)目標(biāo)設(shè)定的意見，決定從甲、乙、丙三個(gè)層次中采取比例分配的分

層隨機(jī)抽樣抽取30人進(jìn)行座談，請(qǐng)計(jì)算甲、乙、丙三個(gè)層次各應(yīng)抽取多少人？

（2）確定銷售目標(biāo)是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟(jì)效益，如果目標(biāo)定得過高，多數(shù)推銷

員完不成任務(wù)，會(huì)使推銷員失去信心；如果目標(biāo)定得太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛

力.現(xiàn)已知按上面的方法抽取了部分推銷員的月銷售額（單位：千元）：

14.215.817.719.222.418.216.421.815.624.6

23.219.812.813.516.311.513.614.915.716.2

17.017.217.818.018.419.520.522.124.024.8

公司為了使70%的推銷員能夠完成銷售目標(biāo)，根據(jù)這組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)將銷售目標(biāo)定為多少

比較合理?

【解析】解：（1）該公司員工總數(shù)為120+240+90=450,故甲層應(yīng)抽取的人數(shù)為

120x—=8,

450

乙層應(yīng)抽取的人數(shù)為240x型=16，中所應(yīng)抽取的人數(shù)為90x2=6.

450450

（2）30x9=9,把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第9個(gè)為15.8,第10個(gè)為16.2,受旺絲=16,

1002

故將銷售目標(biāo)定為16000元，可使使70%的推銷員能夠完成銷售目標(biāo).

變式訓(xùn)練：

1.（多選）某社團(tuán)有男生30名，女生20名，從中抽取一個(gè)容量為5的樣本，恰好抽到2

名男生和3名女生，則下列說法正確的為

A.該抽樣一定不是系統(tǒng)抽樣B.該抽樣可能是隨機(jī)抽樣

C.該抽樣不可能是分層抽樣D.男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率

【答案】BCD

【解析】總體容量為50,樣本容量為5,第一步對(duì)50個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，如男生1~30,女

牛31~50；第二步確定分段間隔左=￡=10；第三步在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)

個(gè)體編號(hào)第四步將編號(hào)為/+10攵（噴第9）依次抽取，即可獲得整個(gè)樣本.故該抽

樣可以是系統(tǒng)抽樣.因此A不正確.因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)不多，可以對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，因此

該抽樣可能是簡單的隨機(jī)抽樣，故5正確；若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用

分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，且分層抽樣的比例相同，但現(xiàn)在某社團(tuán)有男生30名，女生20

名，抽取2男三女，抽的比例不同，故C正確；隨機(jī)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等，

32

因此男生被抽中的概率是g,女生被抽中的概率是前者大于后者，因此。正確.

2.已知某單位有職工120人，男職工有90人，現(xiàn)采用分層抽樣（按男、女分層）抽取一個(gè)

樣本，若己知樣本中有27名男職工，則樣本容量為.

【答案】36

【解析】設(shè)樣本容量為〃，則一=F，解得〃=36.

n120

3.某地準(zhǔn)備修建一條新的地鐵線路，為了調(diào)查市民對(duì)沿線地鐵站配置方案的滿意度，現(xiàn)對(duì)

居民按年齡（單位：歲）進(jìn)行問卷調(diào)查，從某小區(qū)年齡在[18,68]內(nèi)的居民中隨機(jī)抽取

100人，將獲得的數(shù)據(jù)按照年齡區(qū)間[18,28）,[28,38）,[38,48）,[48,58）,[58,

68]分成5組，同時(shí)對(duì)這100人的意見情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到頻率分布表.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在這100

人中，共有65人贊同目前的地鐵站配置方案.

分組持贊同意見的人數(shù)占本組的比例

[18,28)200.8

[28,38)ab

[38,48)80.8

[48,58)120.6

[58,68]150.6

⑴求a和b的值;

（2）在這100人中，按分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間[28,38）,[38,48）內(nèi)的居民（包

括持反對(duì)意見者）中隨機(jī)抽取18人進(jìn)一步征詢意見，求年齡在[28,38）,[38,

48）內(nèi)的居民各抽取多少人？

【解析】解：（1）由題意得：20+8+12+15+4=65，解得a=10.

,2010812155力

乂+T++7T+7T=10。，解得b=0.5;

0.8b0.80.60.6

（2）年齡在區(qū)間[28,38）,[38,48）內(nèi)的居民（包括持反對(duì)意見者）分別有三=20人,

0

￡=10人,

0.8

故隨機(jī)抽取18人進(jìn)一步征詢意見，年齡在［28,38）內(nèi)的居民抽取18x寸20=12人

年齡在［38,48）內(nèi)的居民抽取18x《=6人.

【考點(diǎn)二：數(shù)據(jù)分析百分位數(shù)的計(jì)算】

例1.己知從某中學(xué)高一年級(jí)隨機(jī)抽取20名女生，測量她們的身高（單位：cm）,把這20

名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)從小到大排序：

148.0149.0150.0152.0154.0154.0155.0155.5157.0157.0

158.0159.0161.0162.0163.0164.0165.0170.0171.0172.0

則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是

A.163.0B.164.0C.163.5D.164.5

【答案】C

【解析】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)從小到大已排序，20x0.75=15,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為

第15和16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為儂土絲9=163.5.

2

例2.為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，濟(jì)南市各學(xué)校堅(jiān)持落實(shí)“雙測溫兩報(bào)告”制度，

以下是某宿舍6名同學(xué)某日上午的體溫記錄:36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（單位：°C）,

則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

【答案】36.6

【解析】由題意知，6個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為：36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7；

且6x80%=4.8,所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)，為36.6（°C）.

變式訓(xùn)練:

1.已知甲、乙兩組是按大小順序排列的數(shù)據(jù).甲組：27,28,37,in,40,50；乙組：24,

n,34,43,48,52.若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，

則生ni等于

n

121047

A.—B.—C.一D.一

7734

【答案】B

【解析】因?yàn)?0%x6=1.8，50%x6=3,所以第30百分位數(shù)為〃=28,第50百分位數(shù)為

37+m34+43所以以竺=9

，解得帆=40,

2-2-〃287

2.某工廠12名工人的保底月薪如表所示，第80百分位是

工人保底月薪工人保底月薪

1289072850

2286083130

3305092880

42940103325

52755112920

62710122950

A.3050B.2950C.3130D.3325

【答案】A

【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:

2710,2755,2850,2860,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；

由12x80%=9.6,所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位是第10個(gè)數(shù)據(jù)，為3050.

3.下列數(shù)據(jù)是30個(gè)不同國家中每100000名男性患某種疾病的死亡率:

27.023.941.633.140.618.813.728.9

13.214.527.034.828.93.250.15.6

8.715.27.15.216.513.819.211.2

15.710.05.61.533.89.2

這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是.

【答案】13.75

【解析】把這30個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下，

1.5,3.2,5.2,5.6,5.6,7.1,8.7,9.2,10.0,11.2,

13.2,13.7,13.8,14.5,15.2,15.7,16.5,18.8,19.2,23.9,

27.0,27.0,28.9,28.9,33.1,33.8,34.8,40.6,41.6,50.1；因?yàn)?0%x30=12,

所以第40百分位數(shù)是第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為gx(13.7+13.8)=13.75.

【考點(diǎn)三：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差】

例1.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,方差為〃，將這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)都乘以加伽＞0)得到一組新

數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是

A.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為aB.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a+加

C.這組新數(shù)據(jù)的方差為，油D.這組新數(shù)據(jù)的方差為加2。

【答案】D

【解析】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,方差為人，將這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)都乘以砥加＞0)得到一

組新數(shù)據(jù)，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為加故A,3均錯(cuò)誤；這組新數(shù)據(jù)的方差為加2力，故。

錯(cuò)誤，O正確.

例2.已知某6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,方差為8,現(xiàn)加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)，此時(shí)8個(gè)數(shù)據(jù)

的方差為

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】設(shè)原數(shù)據(jù)為%,x2,x6,

222

則百…+繪=4,1x[(^-4)+(x2-4)+---+(x6-4)]=8,

66

加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)后，這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，%+%+''2+2+6=4,

8

故這8個(gè)數(shù)的方差為

—4)2+(%—4)2+…+(維_4)2+(2-4)2+(6-4)2]=」X(48+4+4)=7

88

例3.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的六次?？贾袛?shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如圖，則下列說法錯(cuò)誤的是

A.甲成績的極差小于乙成績的極差

B.第5次模考甲的數(shù)學(xué)成績比乙高

C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為用，用，則可〉用

D.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s：,s；,則

【答案】D

【解析】由圖可知甲成績極差小于乙成績極差，第五次模擬成績甲比乙高，.〔AB是對(duì)的；

由圖可知只有第二次成績甲稍微低于乙，其它每次成績甲高于乙，，甲平均成績大于乙平

均成績，是對(duì)的；由圖可知甲成績波動(dòng)小于乙成績波動(dòng)，;.￡)是錯(cuò)的.

例4.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).如

圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，記這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為M,中位數(shù)為N,平均數(shù)為尸，則

910溫度

A.N<M<PB.M<N<PC.M<P<ND.P<N<M

【答案】B

【解析】由統(tǒng)計(jì)圖可知,眾數(shù)用=5,

共有2+3+10+6+3+2+2+2=30個(gè)數(shù)據(jù)，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)為5,6,

所以中位數(shù)為N=2=5.5,

2

平均數(shù)為—x(2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10)?5.97,所以

30

M>N<P.

例5.(多選)在疫情防護(hù)知識(shí)競賽中，對(duì)某校的2000名考生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到

如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,

80),[80,90),[90,100],60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值

作代表值，則下列說法中正確的是

0.030

0.020.............r-F-4—

0.015r-1-

0.0101-----------M---------1

0005h-|IIIII,

o405060708090100成績

A.考生競賽成績的眾數(shù)為75分B.不及格的考生人數(shù)為500

C.考生競賽成績的平均數(shù)為72.5分D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,由頻率分布直方圖得考生競賽成績的眾數(shù)為「^=75分，故A正確;

2

對(duì)于5,不及格的考生人數(shù)為：(0.005+0.015)x10x2000=400,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,考生競賽成績的平均數(shù)為:

x=45x0.005x10+55x0.015x10+65x0.020x10+75x0.030x10+85x0.020x10+95x0.010x10=72.5

分，故。正確；

對(duì)于。，[40,70)的頻率為(0.005+0.015+0.020)x10=0.4,

[70,80)的頻率為0.030x10=0.3,

05-04

考生競賽成績的中位數(shù)為：70+vuxl0a73.3分,故。錯(cuò)誤.

0.3

例6.如圖是某高速公路測速點(diǎn)在2021年2月1日8:00到18:00時(shí)測得的過往車輛的速度

(單位：Am/〃)的頻率分布直方圖，則該頻率分布直方圖中用=,此圖可得在該段時(shí)間內(nèi)

過往車輛的平均速度約為km/h.

【答案】0.04；102

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)可知，(0.01+0.03+w+0.02)xl0=l,解得加=0.04；

各組的頻率自左向右依次為0.1,0.3,0.4,0.2,

故平均速度約為85x0.1+95x0.3+105x0.4+115x0.2=102(km/h).

例7.水痘是一種傳染性很強(qiáng)的病毒性疾病，易在春天爆發(fā).市疾控中心為了調(diào)查某校高年

級(jí)學(xué)生注射水癥疫苗的人數(shù)，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取4個(gè)班級(jí)，每個(gè)班抽取的人數(shù)互不相同，

若把每個(gè)班級(jí)抽取的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為6,樣本方差為5,則樣本數(shù)據(jù)

中的最小值是.

【答案】3

【解析】根據(jù)題意，設(shè)樣本數(shù)據(jù)從小到大依次為％,x,,乃，x4,

若樣本數(shù)據(jù)%，%，七，乙的平均數(shù)為6,方差為5,

則有￡=；(%+%+毛+匕)=6，即為+玉+%3+七=24,又由每個(gè)班抽取的人數(shù)互不相同，

則有否”4,

22

$2=；[(x(-6)+(x2-6)+(七一6產(chǎn)+(X,-6)2]=5,則有

__

(%1-6)+(4—6)+(&—6)-+(x4-6)'=20>

又由每個(gè)班抽取的人數(shù)互不相同，則有(5-6)；,18,則有2,芭<6,則有2歿丸4,

若3=2,此時(shí)(菁-6了=16,則有(7一6/+(&-6)2+(乙-6)2=4,必有玉=4,演=6,

%=8,此時(shí)樣本的平均數(shù)h=2+4；6+8=5,不符合題意；

若x,=4,此時(shí)x2=5,x,=6，兀=7,此時(shí)樣本的方差

i9

S2=—[(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=—,不符合題意;

44

222

若王=3,則有&+13+七=21，(%2-6)+(^-6)+(%4-6)=11,此時(shí)樣本數(shù)據(jù)為3,5,

7,9,符合題意；故樣本數(shù)據(jù)中的最小值是3.

變式訓(xùn)練：

1.200輛汽車通過某一段公路時(shí)時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)

的估計(jì)值為

A.62Am/h>62.5bn/hB.65km/h，62Am/h

C.65km」h,62.5km/hD.62.5加/h?62.5km/h

【答案】C

【解析】因?yàn)樽罡叩木匦螢榈谌齻€(gè)矩形，所以時(shí)速的眾數(shù)的估計(jì)值為"四=65癡/肌

2

前兩個(gè)矩形的面積為(。.。1+。.03)X10=04,因?yàn)椤?=。」,所以*0.25,

故中位數(shù)的估計(jì)值為60+2.5=62.5k”//?.

2.為了解某電子產(chǎn)品的使用壽命,從中隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行測試,得到圖示統(tǒng)計(jì)圖.依

據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)這100件產(chǎn)品使用壽命的中位數(shù)為

頻數(shù),甲品牌

40

30

20

10

0

100150200250300350壽命/小時(shí)

A.218.25B.232.5C.231.25D.241.25

【答案】C

【解析】設(shè)中位數(shù)為X,前2組的頻數(shù)之和為25,前3組的頻數(shù)之和為65,

r—200

故25+——x40=50,解得x=231.25，

50

所以這100件產(chǎn)品使用壽命的中位數(shù)為231.25.

3.（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)%，3，…，4，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)斗，%，…，%，

其中y=%+c（i=l,2,...?n）,c為非零常數(shù)，貝U

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】對(duì)于A,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是C,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,?,?標(biāo)準(zhǔn)差。（％）=。（七+。=￡＞（七），.?.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故c1正

確；

對(duì)于,??》=4+或，=1,2.........n）,c為非零常數(shù)，x的極差為與皿一為而，y的極

差為（％+。一（幾血+c）=ximx-xlt.n,：,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故。正確?

4.（多選）給定一組數(shù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,則

Q

A.平均數(shù)為3B.標(biāo)準(zhǔn)差為w

C.眾數(shù)為2和3D.第85百分位數(shù)為4.5

【答案】AC

5+5+4+3+3+3+2+2+2+1

【解析】平均數(shù):=3,

10

眾數(shù)為：出現(xiàn)次數(shù)最多的2和3,

(5-3)2+(53>+...+(1-3)22而

標(biāo)準(zhǔn)差:Ho5

將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，則1，2,2,2,3,3,3,4,5,5,

一共10個(gè)數(shù)，z=10x85%=8.5.

8.5不是整數(shù)，則第9項(xiàng)5是第85百分位數(shù).

5.中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機(jī)

抽取了400名，對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖，如圖所示.從左至右五個(gè)小組的頻率之比依次是5:7:12:10:6,則這400

名學(xué)生視力的眾數(shù)為，中位數(shù)為.

【答案】4.7,4.75

【解析】由圖可知，眾數(shù)為(4.55+4.85)+2=4.7；

第五組的頻率為05x0.3=0.15;

從左至右五個(gè)小組的頻率之比依次是5:7:12:10:6,可得，第一小組的頻率為

0.15x3=0.125；

6

7

第二小組的頻率為0.15X：=0.175；

第三小組的頻率為0.15x”=0.3；

6

03

所以中位數(shù)在第三小組,第三小組矩形面積為0.3,則第三小組的高為二二1,設(shè)中位數(shù)為工,

0.3

則0.125+0.175+(155)xl=0.5,解得了=4.75.

6.若樣本q、出、％的方差是2,則樣本2q+3,2a24-3,2q+3的標(biāo)準(zhǔn)差是.

【答案】2>/2

【解析】樣本4、4、%的方差是2,設(shè)平均數(shù)為五，

則樣本2q+3,2%+3,2%+3的平均數(shù)為25+3,

方差S2=；[(24一2元產(chǎn)+(2%一25)2+(2/一2元力，

222

=1x4[(a,-x)+(a2-J)+(O,-x)]=4x2=8.

故樣本2q+3,2%+3,2%+3的標(biāo)準(zhǔn)差為：2^/^'.

【考點(diǎn)四：頻率分布直方圖】

例1.(多選)隨著互聯(lián)網(wǎng)和物流行業(yè)的快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中不

可或缺的重要組成部分.如圖是2012—2020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這9

年的統(tǒng)計(jì)信息，下列說法錯(cuò)誤的是

2012-2020年我國快遞業(yè)務(wù)舊變化情況

I-I快讖業(yè)務(wù)業(yè)(億件)—o—同比蟒諫

A.這9年我國快遞業(yè)務(wù)量有增有減

B.這9年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的中位數(shù)為51.4%

C.這9年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差未超過36%

D.這9年我國快遞業(yè)務(wù)量的平均數(shù)超過210億件

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,由條形圖可知，這9年我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,將各年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速按從小到大的順序排列可得：

25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,48.0%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%，

故中位數(shù)為48.0%,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于C，這9年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差為61.6%-25.3%=36.3%>36%,故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠(yuǎn)超過210億件，故快遞業(yè)務(wù)量

的平均數(shù)超過210億件，故選項(xiàng)O正確.

例2.山東壽光的草莓西紅柿在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路，成為壽光部分農(nóng)民脫貧致

富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的蔬菜大棚里隨機(jī)摘下了100個(gè)草莓西紅柿進(jìn)行測

重，其質(zhì)量分布在區(qū)間［200,500］內(nèi)（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方

圖如圖所示：

（1）求這批草莓西紅柿質(zhì)量的中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留1位小數(shù)）；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的草莓

西紅柿大棚大約還有100000個(gè)草莓西紅柿待出售，某電商提出兩種收購方案：

A.所有草莓西紅柿均以20元/千克收購；

5.低于350克的草莓西紅柿以4元/個(gè)收購，高于或等于350克的以8元/個(gè)收購.

請(qǐng)你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.

【解析】解：(1)由頻率分布直方圖得質(zhì)量在［200,250)內(nèi)的頻率為：0.001x50=0.05,

在［250,300)內(nèi)的頻率為0.0032x50=0.16,

在［300,350)內(nèi)的頻率為0.0048x50=0.24,

.,.在［200,350)內(nèi)的頻率為0.05+0.16+0.24=0.45.

估計(jì)中位數(shù)落在區(qū)間［350,400)內(nèi)，設(shè)為X,

則由0.45+(x-350)x0.006=0.5,解得x=358.3,

其平均數(shù)為：225X0.05+275X0.16+325X0.24+375x0.3+425x0.2+475x0.05=354.5.

(2)方案A:

估計(jì)100000個(gè)草薄西紅柿總質(zhì)量為354.5xl(XXX)0=35450000克=35450千克，

按20元每千克收購，則收益約為35450x20=709000元.

方案B:

?.?草莓西紅柿質(zhì)量低于350克的個(gè)數(shù)為(0.05+0.16+0.24)x100000=45000個(gè)，

草莓西紅柿質(zhì)量不低于350克的個(gè)數(shù)為55000個(gè)，

二收益為45000X4+55000X8=620000元,

方案A的收益比方案B的收益高，應(yīng)該選擇方案A.

例3.某玻璃工藝品加工廠有2條生產(chǎn)線用于生產(chǎn)某款產(chǎn)品，每條生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件

該產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評(píng)級(jí)規(guī)定：評(píng)分在10分及以上的為A等品，低于10分的為5等品.廠

家將A等品售價(jià)定為2000元/件，3等品售價(jià)定為1200元/件.

下面是檢驗(yàn)員在現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

z

I6116116

經(jīng)計(jì)算得丁==997,一/=0-045,其中外為抽取的第

16裔lo（=1lo；=i?

i件產(chǎn)品的評(píng)分，i=l,2......16.

該廠計(jì)劃通過增加生產(chǎn)工序來改進(jìn)生產(chǎn)工藝，己知對(duì)一條生產(chǎn)線增加生產(chǎn)工序每年需花費(fèi)

1500萬元，改進(jìn)后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評(píng)分均提高0.05.已知該廠

現(xiàn)有一筆1500萬元的資金.

（1）若廠家用這1500萬元改進(jìn)一條生產(chǎn)線，根據(jù)隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分，

⑺估計(jì)改進(jìn)后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中A等品所占的比例；

（"）估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)和方差.

（2）某金融機(jī)構(gòu)向該廠推銷一款年收益率為8.2%的理財(cái)產(chǎn)品.請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)分析，將

這1500萬元用于購買該款理財(cái)產(chǎn)品所獲得的收益，與通過改進(jìn)一條生產(chǎn)線使產(chǎn)品評(píng)分提高

所增加的收益相對(duì)比，一年后哪種方案的收益更大？（一年按365天計(jì)算）

【解析】解：（1）⑺改進(jìn)后，隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分依次變?yōu)椋?/p>

10.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.09

10.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00

其中，A等品共有13個(gè),

???估計(jì)改進(jìn)后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的新產(chǎn)品中A等品所占的比例為?13.

16

(汾設(shè)一條生產(chǎn)線改進(jìn)前一天生產(chǎn)出的產(chǎn)品評(píng)分為y,(i=l,2,3,…，200),

改進(jìn)后該天生產(chǎn)出的產(chǎn)品評(píng)分設(shè)為4(j=l,2,3,…，200),其中Zj=%+0.05,

由已知得用樣本估計(jì)總體可知了=9.97,

1200120()

云=標(biāo)￡4=而X(y,+0.05)='+0.05=10.02,

j=]4川,-=|

.??估計(jì)改進(jìn)?條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)為:

9.97x200+10.02x200…<

--------------------=9.995.

400

由已知得用樣本估計(jì)總體可知=0.045,

估計(jì)改進(jìn)后該廠的所有產(chǎn)品評(píng)分的方差為：

1200200

行[￡(%-9.995)2+Z(z,-9.995)2]

4兇i=i1=1

]400200200200

=訴{1工(乂-用2-2夕一9.995)工(y-衿+200(了一9.995)2]+[工(4-5)2-2(三一9.995)]工(4-5)+2(')(5-9.995)2]}

400/=|/=1/=1/=1

12(X)200

=-{[￡(X-y)2+200(了一9.995尸]}+[Z(z,-z)2+200(z-9.995)]2}(*)，

400??=],=i

i200200

5；=荻畢,一刃2，...小_?=200s；,

200

同理，2(z,.-Z)2=2OO5?,

i=\

：.(*)式=+{[200s：+200(歹-9,995)2]+[200sj+200(z-9.995)?]}

200200

X[0.045+(9.97-9.995)2]+—x[0.045+(10.02-9.995)2]

=0.045+0.0252=0.045625.

（2）將這1500萬元用于改進(jìn)一條生產(chǎn)線，一年后因產(chǎn)品評(píng)分提高而增加的收益為:

（2000-1200）x—x200x365-1500x104=325x104（元），

16

將這1500萬元購買該款理財(cái)產(chǎn)品，一年后的收益為：

1500X104X（1+8.2%）-1500X104=123X104（元），

,.?325x1()4>123x1(/,

將這1500萬元用于改進(jìn)一條生產(chǎn)線一年后收益更大.

變式訓(xùn)練:

1.為了推進(jìn)分級(jí)診療，實(shí)現(xiàn)“基層首診、雙向轉(zhuǎn)診、急慢分治、上下聯(lián)動(dòng)”的診療模式，

某城市自2020年起全面推行家庭醫(yī)生簽約服務(wù).已知該城市居民約為1000萬，從0歲

到100歲的居民年齡結(jié)構(gòu)的頻率分布直方圖如圖1所示.為了解各年齡段居民簽約家庭

醫(yī)生的情況，現(xiàn)調(diào)查了1000名年滿18周歲的居民，各年齡段被訪者簽約率如圖2所示.

（I）估計(jì)該城市年齡在50歲以上且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)；

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，該城市被訪者的簽約率約為44%.為把該城市年滿18周歲居民的簽約率

提高到55%以上，應(yīng)著重提高圖2中哪個(gè)年齡段的簽約率？并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述

理由.

【解析】解：（1）該城市年齡在50-60歲的簽約人數(shù)為：1000x0.015xl0x55.7%=83.55萬,

在60—70歲的簽約人數(shù)為：1000x0.010xl0x61.7%=61.7萬,

在70-80歲的簽約人數(shù)為：1000x0.004xl0x70.0%=28萬，

在80歲以上的簽約人數(shù)為：1000x0.003x10x75.8%=22.74萬，

故該城市年齡在50歲以上且已簽約家庭醫(yī)生的居民人數(shù)為：

83.55+61