第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的______，相應(yīng)的切線方程為________________________.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝_________f(x)＝sinxf′(x)＝__________f(x)＝cosxf′(x)＝___________f(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝____________f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝_____0αxα－1cosx－sinxaxlnaex4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù) (1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝________________. (2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝________________，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.f(g(x))yu′·ux′×1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(

) (2)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝cosx.(

) (3)求f′(x0)時(shí)，可先求f(x0)，再求f′(x0).(

) (4)曲線y＝f(x)在某點(diǎn)處的切線與曲線y＝f(x)過某點(diǎn)的切線意義是相同的.(

)×××解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，(1)錯(cuò).(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，則f′(x)＝－cosx，(2)錯(cuò).(3)求f′(x0)時(shí)，應(yīng)先求f′(x)，再代入求值，(3)錯(cuò).(4)“在某點(diǎn)”的切線是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，因此此點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；而對(duì)于“過某點(diǎn)”的切線，則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，要利用解方程組的思想求切線的方程，在曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，但過某點(diǎn)的切線可以不止一條，(4)錯(cuò).ABD所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，其余都正確.2.(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是(

)所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.y＝5x＋21解析因?yàn)閒(x)＝x2＋xlnx，所以f′(x)＝2x＋lnx＋1，切線斜率k＝f′(1)＝2＋1＝3，又該切線與直線x－ay－1＝0平行，5.已知函數(shù)f(x)＝x2＋xlnx的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－ay－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝________.解析函數(shù)y＝(x－1)3的導(dǎo)數(shù)為y′＝3(x－1)2，設(shè)過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，(x0－1)3)，則切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3(x0－1)2.∵切線過原點(diǎn)(0，0)，6.(易錯(cuò)題)過原點(diǎn)與曲線y＝(x－1)3相切的切線方程為_____________________.y＝0或27x－4y＝0∴對(duì)應(yīng)的切線方程為即y＝0或27x－4y＝0.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2解析f′(x)＝－2sin2x＋2e2x，選A.1.已知f(x)＝cos2x＋e2x，則f′(x)＝(

) A.－2sin2x＋2e2x

B.sin2x＋e2x C.2sin2x＋2e2x

D.－sin2x＋e2xA解析若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程顯然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，則f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；2.(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是(

) A.f(x)＝x2

B.f(x)＝e－x C.f(x)＝lnx

D.f(x)＝tanxAC3.若函數(shù)f(x)＝lnx－f′(1)x2＋3x－4，則f′(3)＝________.解

y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y＝x2sinx；解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，例1(1)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為__________.角度1求切線方程2x－y＝0∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，∴切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.解得x0＝－1或x0＝2.當(dāng)x0＝－1時(shí)，切線方程為x－y＋2＝0；當(dāng)x0＝2時(shí)，切線方程為4x－y－4＝0.x－y＋2＝0或4x－y－4＝0又切線過點(diǎn)(－e，－1)，例2

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_________.角度2求曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)(e，1)再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e，1).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題意可知f(3)＝1，例3

已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________.角度3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問題0解析由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率先增大后減小，故選B.訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是(

)B從而有l(wèi)nt＝1，∴t＝e，(2)曲線f(x)＝2lnx在x＝t處的切線l過原點(diǎn)，則l的方程是(

)A.2x－ey＝0 B.2x＋ey＝0C.ex－2y＝0 D.ex＋2y＝0A解析因?yàn)閥′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y(tǒng)′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.(3)已知曲線y＝aex＋xlnx在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(

)A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1D解析法一設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，y0>0，則切線方程為y－b＝ex0(x－a).例4(1)若過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則(

) A.eb<a

B.ea<b C.0<a<eb

D.0<b<eaD設(shè)f(x)＝ex(1－x＋a)，則f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a).由f′(x)＝0得x＝a，所以當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>a時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea.當(dāng)x<a時(shí)，a－x>0，所以f(x)>0，又當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，故函數(shù)f(x)＝ex(1－x＋a)的大致圖象如圖所示，法二過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則點(diǎn)(a，b)在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0<b<ea.故選D.由題意知f(x)的圖象與直線y＝b有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<b<ea.故選D.(2)若曲線C1：y＝ax2(a＞0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，則a的取值范圍為____________.解析由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，由y＝ex得y′＝ex.當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.解析函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－∞，2]

B.(－∞，2) C.(2，＋∞)

D.(0，＋∞)B所以a的取值范圍是(－∞，2).解析f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依題意知f′(x)＝3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即2e2x－2ex＋a＝3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，令t＝ex，∴t＞0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t＞0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，(2)已知曲線f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在兩條斜率為3的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A∴y＝a與φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t＞0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，公切線問題求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.解析設(shè)P(x0，y0)，由于P為公共點(diǎn)，D一、共切點(diǎn)的公切線問題又點(diǎn)P處的切線相同，則f′(x0)＝g′(x0)，又a＞0，x0＞0，則x0＝a，則h′(x)＝2x(1－3lnx).解析法一

∵y＝x＋lnx，例2(1)已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.8二、切點(diǎn)不同的公切線問題∴曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(當(dāng)a＝0時(shí)曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行).由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二

同法一得切線方程為y＝2x－1.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).1設(shè)(x2，y2)是公切線和曲線y＝lnx的切點(diǎn)，設(shè)t＝－x1＞0，于是f(x)＝0有唯一解，于是兩曲線的公切線的條數(shù)為1.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3C中，(5x)′＝5xln5，其余都正確.1.(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)BD故曲線在點(diǎn)(3，2)處的切線的斜率D解析函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(0)＝f(4)＝3.3.若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則(

) A.f(0)<f(4) B.f(0)＝f(4) C.f(0)>f(4) D.以上都不對(duì)BA.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為2，切點(diǎn)為(1，e－2)，則切線方程為y－(e－2)＝2(x－1)，即2x－y＋e－4＝0.C5.已知直線y＝ax是曲線y＝lnx的切線，則實(shí)數(shù)a＝(

)C解析f′(x0)的幾何意義是f(x)在x＝x0處的切線的斜率.由圖知f′(2)＞f′(3)＞0，故A錯(cuò)誤，B正確.6.(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)BCDA.f′(3)＞f′(2) B.f′(3)＜f′(2)C.f(3)－f(2)＞f′(3) D.f(3)－f(2)＜f′(2)3∴f′(0)＝－a＋1＝－1，則a＝2.2∵直線l與曲線g(x)相切，－4解

f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).10.已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值；解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.解

f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).因?yàn)榍€y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，解

方程7x－4y－12＝0可化為證明設(shè)P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)，(2)證明曲線f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0，2x0).故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.解析如圖所示，若