第五章平面向量、復(fù)數(shù)第4節(jié)復(fù)數(shù)ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)定義：我們把集合____＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的_____，b叫做復(fù)數(shù)z的_____

(i為虛數(shù)單位).(2)分類：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?________a＋bi為虛數(shù)?________a＋bi為純虛數(shù)?________________C實(shí)部虛部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?________________

(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?__________________

(a，b，c，d∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算×解析(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(

) (2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(

) (3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).(

) (4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.(

)×√√D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(1－i)·z＝2，則z＝(

) A.1

B.i C.1－i D.1＋iAA.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，則a＋b＝1.1解析因?yàn)?1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是純虛數(shù)，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.6.(易錯題)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1＋mi)(i＋2)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m等于________.2KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2所以實(shí)部為b，虛部為－2，故b的值為－2，故選A.A對于C，因?yàn)閦2＝(1－i)2＝－2i，故z2為純虛數(shù)，正確；對于D，z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，錯誤.ABC對于C，設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，3.(多選)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是(

)ABC對于D，若z1＝1，z2＝i，∴x＝－1.4.若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為________.－1D解析因?yàn)閕z＝4＋3i，(2)設(shè)iz＝4＋3i，則z＝(

)A.－3－4i

B.－3＋4iC.3－4i

D.3＋4iC可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.C訓(xùn)練1(1)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝(

)B解析因?yàn)閦＝2－i，CACA(2)已知復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R)，則|z|的最小值為(

)解析因?yàn)閦＝a＋(a－1)i，BA.z1對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限B.z1的虛部為－1C.z＝4D.滿足|z|＝|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上所以復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正確；AB復(fù)數(shù)z1的虛部為－1，所以B正確；D解析z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，B解析由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，D例3

已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個(gè)根. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值；解

把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個(gè)根，并給予證明.解

由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.設(shè)另一個(gè)根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，∴x2＝－1－i是方程的另一個(gè)根.所以3－4i的平方根為±(2－i)，訓(xùn)練3

在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程x2－ix＋i－1＝0.

解

因?yàn)閍＝1，b＝－i，c＝i－1，

所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.即原方程的根為x1＝1，x2＝－1＋i.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析法一因?yàn)?1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.法二因?yàn)?1＋ai)i＝3＋i，1.已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i為虛數(shù)單位)，則a＝(

) A.－1

B.1 C.－3 D.3CCD解析z＝i(a－i)＝1＋ai表示的點(diǎn)為(1，a)，因?yàn)閍＜0，所以點(diǎn)(1，a)位于第四象限.4.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(a－i)(a＜0)的點(diǎn)位于(

) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限D(zhuǎn)A解析因?yàn)闈M足|z－i|＝|z＋i|的點(diǎn)Z為復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(0，－1)和(0，1)的距離相等的點(diǎn)的集合，所以Z(x，y)的軌跡為x軸，其方程為y＝0.6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝|z＋i|，i為虛數(shù)單位，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(x，y)，則下列結(jié)論一定正確的是(

) A.x＝1

B.y＝1 C.x＝0

D.y＝0DAD解析(1)當(dāng)根為實(shí)數(shù)時(shí)，將x＝1代入原方程得a2＋2a＋2＝0，無解；8.如果關(guān)于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一個(gè)模等于1的根，那么實(shí)數(shù)a的值(

) A.不存在 B.有一個(gè)

C.有三個(gè) D.有四個(gè)C(2)當(dāng)根為虛數(shù)時(shí)，Δ＝a(a＋8)＜0，∴－8＜a＜0.即a2－a－2＝0.解得a＝－1或a＝2(舍去)，故a的值共有三個(gè).解析(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，∴a＝－2.9.若復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________.－25－5i解析設(shè)方程的另外一根為x，則x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個(gè)根，則其另外一個(gè)根是________，a＝________.2＋3i13解析對于A，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，13.(多選)設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是(

)ACD對于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)ab均不為0時(shí)，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；對于C，|z|＝1可以看成以O(shè)(0，0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)P，|z＋i|可以看成點(diǎn)P到Q(0，－1)的距離，所以當(dāng)P(0，1)時(shí)，可取|z＋i|的最大值2；對于D，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)N，則|z|表示點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離，故O，N重合時(shí)，|z|＝0最小，當(dāng)O，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故選ACD.解析對于A，e2i＝cos2＋isin2，14.(多選)歐拉公式exi＝cosx＋isinx(其中i為虛數(shù)單位，x∈R)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是(

)BC∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯誤；解析設(shè)z＝a＋bi，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.所以|z2＋z＋3|＝