1.3組合第1課時組合與組合數(shù)公式eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時15分鐘)1．給出下面幾個問題，其中是組合問題的為________．①由1,2,3,4構(gòu)成的2個元素集合；②五個隊進(jìn)行單循環(huán)比賽的分組情況；③由1,2,3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)；④由1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法．答案①②2．某校一年級有5個班，二年級有8個班，三年級有3個班，分年級舉行班與班之間的籃球單循環(huán)賽，總共需進(jìn)行比賽的場數(shù)是________．解析分三類：一年級比賽的場數(shù)是Ceq\o\al(2,5)，二年級比賽的場數(shù)是Ceq\o\al(2,8)，三年級比賽的場數(shù)是Ceq\o\al(2,3)，再由分類計數(shù)原理求得總賽場數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(2,3)＝41.答案413．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m＝________.解析由排列組合數(shù)公式得m(m－1)(m－2)＝6·eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，解得m＝7.答案74．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合，再從這兩個集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合，則一共可以組成集合的個數(shù)為________．解析由Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)＝26.答案265．高矮互不相同的5位同學(xué)排成一排照相，要求從正中間向兩側(cè)均是從高到矮，不同的排法種數(shù)為________．解析最高排中間，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．答案66．要從12人中選出5人參加一項(xiàng)活動，其中A、B、C3人至多2人入選，有多少種不同選法？解法一可分三類：①A，B，C三人均不入選，有Ceq\o\al(5,9)種選法；②A，B，C三人中選一人，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)種選法；③A，B，C三人中選二人，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,9)種選法．由分類計數(shù)加法原理，共有選法Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,9)＝756(種)．法二先從12人中任選5人，再減去A，B，C三人均入選的情況，即共有選法Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756(種)．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．以下四個式子①Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),m！)；②Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；③Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,n－m)；④Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n).其中正確的個數(shù)是________．解析①式顯然成立；②式中Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)，故②式成立；對于③式Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(C\o\al(m,n),C\o\al(m＋1,n))＝eq\f(A\o\al(m,n)·m＋1！,m！·A\o\al(m＋1,n))＝eq\f(m＋1,n－m)，故③式成立；對于④式Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(A\o\al(m＋1,n＋1),m＋1！)＝eq\f(n＋1·A\o\al(m,n),m＋1m！)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n)，故④式成立．答案48．某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種．小張用10元錢買雜志(每種至多買一本，10元錢剛好用完)，則不同買法的種類是________(用數(shù)字作答)．解析由題知，按錢數(shù)分10元錢，可有兩大類，第一類是買2本1元，4本2元的共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(4,8)種方法；第二類是買5本2元的書，共Ceq\o\al(5,8)種方法．∴共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝266(種)．答案2669．年元旦某班有n個人中每兩個人相互之間打了一次問候電話，共打電話28次，則n＝________.解析Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn－1,2)＝28，解得n＝8.答案810．210的正約數(shù)有________個．解析由于210＝2×3×5×7，則2、3、5、7中的任意一個數(shù)，或兩個數(shù)之積，或三個數(shù)之積，或四個數(shù)之積，都是210的約數(shù)．又1也是一個約數(shù)，所以約數(shù)共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＋1＝16(個)．答案1611．求不等式Ceq\o\al(n－4,21)<Ceq\o\al(n－2,21)<Ceq\o\al(n－1,21)的解集．解原不等式可化為eq\f(21！,n－4！25－n！)<eq\f(21！,n－2！23－n！)<eq\f(21！,n－1！22－n！)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(24－n25－n>n－2n－3，,23－n>n－1，))解得n<12.又n－4≥0，所以4≤n<12，又n∈N，故原不等式解集為{4,5,6,7,8,9,10,11}．12．平面內(nèi)有12個點(diǎn)，其中有4個點(diǎn)共線，此外再無任何3點(diǎn)共線，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可得多少個不同的三角形？解我們把從共線的4個點(diǎn)取點(diǎn)中的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn)：第一類：共線的4個點(diǎn)中有2個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,8)＝48(個)不同的三角形；第二類：共線的4個點(diǎn)中有1個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,8)＝112(個)不同的三角形；第三類：共線的4個點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56(個)不同的三角形．由分類計數(shù)原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(個)．13．(創(chuàng)新拓展)在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)時，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查．現(xiàn)在從98件正品和2件次品共100件產(chǎn)品中，任意抽出3件檢查．(1)共有多少種不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少種？(3)至少有一件是次品的抽法有多少種？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件產(chǎn)品放在展臺上，排成一排進(jìn)行對比展覽，共有多少種不同的排法？解(1)所求不同的抽法數(shù)，即從100個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)，共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,3×2×1)＝161700(種)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品這件事，可以分兩步完成：第一步，從2件次品中任取1件，有Ceq\o\al(1,2)種方法；第二步，從98件正品中任取2件，有Ceq\o\al(2,98)種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的抽取方法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)＝2×eq\f(98×97,2×1)＝9506(種)．(3)法一抽出的3件中至少有一件是次品這件事，分為兩類：第一類：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)種；第二類：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)種．根據(jù)分類計數(shù)原理，不同的抽法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,98)＝9506＋98＝9604(種)．法二從100件產(chǎn)品中任取3件的抽法，有Ceq\o\al(3,100)種，其中抽出的3件中沒有次品的抽法，有Ceq\o\al(3,98)種．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有Ceq\o\al(3,100)－Ceq