1-4-2(二)空間圖形的公理eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．空間兩個(gè)角α、β的兩邊對(duì)應(yīng)平行，若α＝60°，則β為()．A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析由等角定理不難知α，β相等或互補(bǔ)．所以β＝60°或120°.答案D2．如圖所示，設(shè)E、F、G、H依次是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上除端點(diǎn)外的點(diǎn)，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ.則下列結(jié)論中不正確的為()．A．當(dāng)λ＝μ時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形B．當(dāng)λ≠μ時(shí)，四邊形EFGH是梯形C．當(dāng)λ＝μ＝eq\f(1,2)時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形D．當(dāng)λ＝μ≠eq\f(1,2)時(shí)，四邊形EFGH是梯形解析當(dāng)λ＝μ時(shí)，EH綉FG，∴EFGH為平行四邊形，故D中結(jié)論不正確．答案D3．四面體ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，則EF與BC所成的角為()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析如圖，取BD中點(diǎn)G，連結(jié)EG，則∠EFG為異面直線EF與BC所成角．∵EG＝eq\f(1,2)AD，GF＝eq\f(1,2)BC，∴EG＝GF.∵AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，∴EG⊥GF，∴△EGF為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.故選B.答案B4．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與直線D1C(2)直線A1B與直線B1C(3)直線D1D與直線D1C(4)直線AB與直線B1C解析根據(jù)圖知道直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以(3)中應(yīng)該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線“平行”．所以(1)中應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在一個(gè)平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，B1∈平面A1B1B且B1?A1B，則直線A1B與直線B1C“異面”．同理，直線AB與直線答案(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面5．下列命題正確的序號(hào)是________．①空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共面，它有四條邊兩條對(duì)角線；②空間四邊形不是平面圖形，可以把它看作同一平面內(nèi)有一條公共底邊的兩個(gè)三角形沿著公共底邊適當(dāng)翻折而成的空間圖形；③順次連接空間四邊形四條邊的中點(diǎn)得到一個(gè)平行四邊形；④四邊都相等的四邊形都是菱形；⑤有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形．解析由空間四邊形的定義知命題①、②、③都是真命題．空間四邊形的四條邊可以相等，故命題④為假命題．關(guān)于命題⑤可構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖，∠D1AB＝∠ABC＝∠BCD1＝90°，但∠AD1C＝60°，四邊形ABCD1不是矩形，故答案①②③6．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且滿足eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2.(1)求證：四邊形EFGH是梯形；(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位線的長．(1)證明∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，∴EH綉eq\f(1,3)BD.∵eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2，∴FG綉eq\f(2,3)BD.∴EH綉eq\f(1,2)FG，所以四邊形EFGH是梯形．(2)解∵BD＝a，∴EH＝eq\f(1,3)a，F(xiàn)C＝eq\f(2,3)a，∴梯形EFGH的中位線的長為eq\f(1,2)(EH＋FG)＝eq\f(1,2)a.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1AA．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行解析等角定理的實(shí)質(zhì)是角的平移，其逆命題不一定成立，OB與O1B1有可能平行，也可能不在同一平面內(nèi)，位置關(guān)系不確定．答案D8．已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是()．A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)D．MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)解析如圖所示，取BC中點(diǎn)E，連接ME，NE，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(則MN<ME＋NE,而ME＝\f(1,2)AC，NE＝\f(1,2)BD))?MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．答案D9．在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若AC＝BD，且AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀為________．解析E、F、G、H分別為所在邊的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)知，EF綉eq\f(1,2)AC，GH綉eq\f(1,2)AC，∴EF綉GH.∴四邊形EFGH為平行四邊形．又AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，且EF⊥FG.∴四邊形EFGH為正方形．答案正方形10．異面直線a、b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b所成角的范圍是________．解析如圖，c與a成30°，即c與a′成30°，然后讓c繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，c與a′始終成30°角，不難發(fā)現(xiàn)在c轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，c與b所成角最小為60°，最大為90°.答案[60°，90°]11．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1，求A1B與B1D1解如圖，連結(jié)BD、A1D.∵ABCD-A1B1C1D1∴DD1綉B(tài)B1，∴DBB1D1為平行四邊形，∴BD∥B1D1，∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的對(duì)角線，∴A1B＝BD＝A1D，即△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是銳角，∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角．∴A1B與B1D1所成的角為60°.12．(創(chuàng)新拓展)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．解取AC的中點(diǎn)F，連接EF、BF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq