習(xí)題課橢圓的標準方程雙基達標限時15分鐘1．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,k＋2)＋eq\f(y2,k＋1)＝1的左、右焦點，弦AB過點F1，且△ABF2的周長為8，則k＝________.解析由4a＝8，得a＝2，所以k＋2＝a2＝4，從而k答案22．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”解析mx2＋ny2＝1可化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.因為m>n>0，所以0<eq\f(1,m)<eq\f(1,n)，因此橢圓焦點在y軸上，反之也成立．答案充要3．已知橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點P與橢圓兩焦點F1、F2連線的夾角為直角，則PF1·PF2＝________．解析S△PF1F2＝b2＝eq\f(1,2)PF1·PF2，故PF1·PF2＝48.答案484．在橢圓方程中，若已知a>b>0，且a＝2b，橢圓過P(2，0)，則橢圓的標準方程為________．解析當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，即eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，將x＝2，y＝0代入得eq\f(4,4b2)＝1，b2＝1，故得橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，當焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，即eq\f(y2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝1，將x＝2，y＝0，代入得b2＝4故得橢圓方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.答案eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝15．若方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍為__________．解析方程變形為eq\f(x2,\f(1,k2－1))＋eq\f(y2,\f(1,3))＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－1>0，,\f(1,k2－1)<\f(1,3)，))，∴k<－2或k>2.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．橢圓eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上任意一點P，M(0，6)，N(0，－6)在橢圓上，求證：直線PM、PN的斜率乘積為一定值．證明設(shè)P(x，y)，則有eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1，得eq\f(x2,81)＝eq\f(36－y2,36)∴eq\f(y2－36,x2)＝－eq\f(36,81)＝－eq\f(4,9).又kPM＝eq\f(y－6,x)(x≠0)，kPN＝eq\f(y＋6,x)(x≠0)，∴kPM·kPN＝eq\f(y－6,x)·eq\f(y＋6,x)＝eq\f(y2－36,x2)＝－eq\f(4,9).故直線PM、PN的斜率之積為一定值．綜合提高限時30分鐘7．已知橢圓的焦點是F1(－1，0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點，且F1F2是PF1與PF2解析由題意得，F(xiàn)1F2＝2，又2F1F2＝PF1∴PF1＋PF2＝4.∴a＝2，c＝1，故b＝eq\r(3).∴所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝18．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，AB是經(jīng)過焦點F1的弦且AB＝8，若2a＝10，則F2A＋F2解析∵A、B在橢圓上，∴由橢圓的第一定義得AF1＋AF2＝10，BF1＋BF2＝10，兩式相加得AB＋F2A＋F2B又∵AB＝8，∴F2A＋F2B答案129．已知F1、F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝________.解析設(shè)PF1＝r1，PF2＝r2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r12＋r22＝4c2，))∴2r1r2＝(r1＋r2)2－r12－r22＝4a2－4c2＝4b∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝9＝b2，∴b＝3.答案310．若α∈(0，eq\f(π,2))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是________．解析轉(zhuǎn)化為橢圓的標準方程eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1，焦點在y軸上，則eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)，故sinα>cosα，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).答案eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)11．如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若點P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．解由已知得a＝2，b＝eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，F(xiàn)1F2＝2c＝2，在△PF1F2PF22＝PF12＋F1F22－2PF1F1F即PF22＝PF12＋4＋2PF1①由橢圓定義，得PF1＋PF2＝4，即PF2＝4－PF1②②代入①解得PF1＝eq\f(6,5).∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·F1F2·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面積是eq\f(3\r(3),5).12．已知F1為橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P為橢圓上半部分上任意一點，A(1，1)為橢圓內(nèi)一點，求|PF1|＋|PA|的最小值．解由橢圓方程5x2＋9y2＝45，可知a2＝9，b2＝5，c2＝4，左焦點F1(－2，0)，右焦點F2(2，0)，如圖所示．P為橢圓上半部分上一點，由橢圓定義有|PF1|＋|PF2|＝6.而|PF1|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋|PF2|－|PF2|＝6－(|PF2|－|PA|)．在△PAF2中，|PF2|>|PA|，|PF2|－|PA|<|AF2|，當且僅當P、A、F2三點共線時，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝eq\r(2).所以當P、A、F2三點共線時，|PF1|＋|PA|有最小值為6－eq\r(2).13．(創(chuàng)新拓展)設(shè)x、y∈R，i、j分別為直角坐標平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量，a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.(1)求點M(x，y)的軌跡方程；(2)過點(0，3)作直線l與曲線C(為(1)問中點M的軌跡)交于A、B兩點，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，是否存在這樣的直線l使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．解(1)由|a|＋|b|＝8，得eq\r(x2＋（y＋2）2)＋eq\r(x2＋（y－2）2)＝8，即點M(x，y)到兩定點F1(0，－2)，F(xiàn)2(0，2)的距離和為定值8，且|F1F2所以點M的軌跡是橢圓，其方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)設(shè)l的斜率為k，l的方程為y＝kx＋3，代入橢圓方程得eq\f(（kx＋3）2,16)＋eq\f(x2,12)＝1，即(3k2＋4)x2＋18kx－21＝0.設(shè)A、B坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，x1＋x2＝－eq\f(18k,3k2＋4)，x1x2＝－eq\f(21,3k2＋4)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，四邊形OAPB是平行四邊形．要使其是矩形只需OA⊥OB即可，即x1x2＋y1y2＝0.