4.3.3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)比較大小，求單調(diào)區(qū)間，解對(duì)數(shù)不等式等；2.會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，知道多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像如何判斷相對(duì)位置，會(huì)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換；3.了解互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達(dá)標(biāo)檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)思考y＝logax化為指數(shù)式是x＝ay.你能用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性嗎？答案當(dāng)a>1時(shí)，若0<x1<x2，則

，解指數(shù)不等式，得y1<y2從而y＝logax在(0，＋∞)上為增函數(shù).當(dāng)0<a<1時(shí)，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上為減函數(shù).答案問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)類似地，我們可以借助指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)得到對(duì)數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)定義y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖像答案定義域__________值域___單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖像過點(diǎn)

，即loga1＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時(shí)，y∈

；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈_________x∈(0,1)時(shí)，y∈

；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈________對(duì)稱性函數(shù)y＝logax與y＝

的圖像關(guān)于

對(duì)稱；函數(shù)y＝logax與y＝ax的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.(0，＋∞)R(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0]x軸答案知識(shí)點(diǎn)二不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像相對(duì)位置思考y＝log2x與y＝log3x同為(0，＋∞)上的增函數(shù)，都過點(diǎn)(1,0)，怎樣區(qū)分它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的相對(duì)位置？答案可以通過描點(diǎn)定位，也可令y＝1，對(duì)應(yīng)x值即底數(shù).一般地，對(duì)于底數(shù)a>1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在(1，＋∞)區(qū)間內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸；對(duì)于底數(shù)0<a<1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在(1，＋∞)區(qū)間內(nèi)，底數(shù)越小越靠近x軸.答案知識(shí)點(diǎn)三

y＝logaf(x)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考我們知道y＝2f(x)的單調(diào)性與y＝f(x)的單調(diào)性相同，那么y＝log2f(x)的單調(diào)區(qū)間與y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間相同嗎？答案y＝log2f(x)與y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間不一定相同，因?yàn)閥＝log2f(x)的定義域與y＝f(x)定義域不一定相同.一般地，形如函數(shù)f(x)＝logag(x)的單調(diào)區(qū)間的求法：①先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)的定義域)；②當(dāng)?shù)讛?shù)a大于1時(shí)，g(x)>0限制之下g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，g(x)>0限制之下g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間；③當(dāng)?shù)讛?shù)a大于0且小于1時(shí)，g(x)>0限制之下g(x)的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間正好相反.知識(shí)點(diǎn)四對(duì)數(shù)不等式的解法思考log2x<log23等價(jià)于x<3嗎？答案不等價(jià).log2x<log23成立的前提是log2x有意義，即x>0，∴l(xiāng)og2x<log23?0<x<3.一般地，對(duì)數(shù)不等式的常見類型：答案返回解析答案題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破類型一比較對(duì)數(shù)的大小例1

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?1)log23.4，log28.5；解考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x，因?yàn)樗牡讛?shù)2>1，所以它在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.4<8.5，于是log23.4<log28.5.解析答案(2)log0.31.8，log0.32.7；解考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x，因?yàn)樗牡讛?shù)0<0.3<1，所以它在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又1.8<2.7，于是

log0.31.8>log0.32.7.(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又5.1<5.9，于是loga5.1<loga5.9；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又5.1<5.9，于是loga5.1>loga5.9.綜上，當(dāng)a>1時(shí)，loga5.1<loga5.9，當(dāng)0<a<1時(shí)，loga5.1>loga5.9.反思與感悟反思與感悟比較兩個(gè)同底數(shù)的對(duì)數(shù)大小，首先要根據(jù)對(duì)數(shù)底數(shù)來判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性；然后比較真數(shù)大小，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性判斷兩對(duì)數(shù)值的大小.對(duì)于底數(shù)以字母形式出現(xiàn)的，需要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論.解析答案A解析答案類型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像例2

畫出函數(shù)y＝lg|x－1|的圖像.解(1)先畫出函數(shù)y＝lgx的圖像(如圖).(2)再畫出函數(shù)y＝lg|x|的圖像(如圖).(3)最后畫出函數(shù)y＝lg|x－1|的圖像(如圖).反思與感悟反思與感悟畫圖像一方面要掌握一些常見的平移、對(duì)稱變換的結(jié)論，另一方面要關(guān)注定義域、值域、單調(diào)性、關(guān)鍵點(diǎn)如本題x＝0,1,2三點(diǎn).解析答案跟蹤訓(xùn)練2

畫出函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖像.解(1)先畫出函數(shù)y＝lgx的圖像(如圖).(2)再畫出函數(shù)y＝lg(x－1)的圖像如圖.(3)再畫出函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖像如圖：解析答案類型三對(duì)數(shù)不等式例3

已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)(a>0，且a≠1).解關(guān)于x的不等式：loga(1－ax)>f(1).解∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).∴1－a>0.∴0<a<1.∴不等式可化為loga(1－ax)>loga(1－a).∴0<x<1.∴不等式的解集為(0,1).反思與感悟反思與感悟?qū)?shù)不等式解法要點(diǎn)(1)化為同底logaf(x)>logag(x)；(2)根據(jù)a>1或0<a<1去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，注意不等號(hào)方向；(3)加上使對(duì)數(shù)式有意義的約束條件f(x)>0且g(x)>0.解析答案則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)解析①當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝log2a，

f(a)>f(－a)，即②當(dāng)a<0時(shí)，

f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即由①②得－1<a<0或a>1.C類型四對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例4

求函數(shù)

的值域和單調(diào)區(qū)間.解設(shè)t＝－x2＋2x＋1，則t＝－(x－1)2＋2.

為減函數(shù)，且0<t≤2，

即函數(shù)的值域?yàn)閇－1，＋∞).再由函數(shù)

的定義域?yàn)椋瓁2＋2x＋1>0，而

為減函數(shù).解析答案反思與感悟反思與感悟求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要抓住兩個(gè)要點(diǎn)：(1)單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，哪怕一個(gè)端點(diǎn)都不能超出定義域；(2)f(x)，g(x)單調(diào)性相同，則f(g(x))為增函數(shù)；f(x)，g(x)單調(diào)性相異，則f(g(x))為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱“同增異減”.解析答案跟蹤訓(xùn)練4

已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)的值域；解由題意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，∴0<x<2.當(dāng)0<x<2時(shí)，y＝－x2＋2x＝－(x2－2x)∈(0,1]，∴函數(shù)

的值域?yàn)閇0，＋∞).(2)求f(x)的單調(diào)性.解設(shè)u＝－x2＋2x(0<x<2)，∵函數(shù)u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，

是減函數(shù)，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù).解析答案返回123達(dá)標(biāo)檢測(cè)41.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logax和y＝(1－a)x的圖像只可能是(

)5B答案2.函數(shù)y＝lg|x|的圖像是(

)12345答案A3.f(x)＝lg(x2＋a)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a可以是(

)A.0 B.1C.2 D.1012345A答案4.如果

那么(

)A.y<x<1 B.x<y<1C.1<x<y

D.1<y<x12345D答案解析答案5.已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，則f(x)與g(x)在同一坐標(biāo)系里的圖像是(

)12345解析

∵a>0且a≠1，∴f(3)＝a3>0，又f(3)g(3)<0，∴g(3)＝loga3<0，∴0<a<1，∴f(x)＝ax在R上是減函數(shù)，g(x)＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故選C.C規(guī)律與方法1.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間、奇偶性、不等式問題都要注意定義域的影響.2.y＝ax與x＝logay圖像是相同的，只是為了適應(yīng)習(xí)慣用x表示自變量，y表示應(yīng)變量，把x＝logay換成