3版數(shù)學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版五十四橢圓的定義及標準方程五十四橢圓的定義及標準方程(時間:45分鐘分值:95分)【基礎落實練】1.(5分)(2024·許昌模擬)已知F1,F2為橢圓x29+y216=1的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|F2A|+|F2B|=10,則|A.8 B.6 C.4 D.2【解析】選B.由x29+y216=1,即y2根據(jù)橢圓的定義|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,所以|AB|=|F1A|+|F1B|=6.2.(5分)與橢圓x225+y29=1有相同焦點,且過點(3,A.y236+x220=1 B.C.y220+x218=1 D.【解析】選B.由題意可設橢圓的方程為x225+λ+y29+λ=1(λ>-9).又所求橢圓過點(3,15),所以將(3,15)代入橢圓方程,得925+λ+159+λ=1,解得λ3.(5分)已知(0,-4)是橢圓3kx2+ky2=1的一個焦點,則實數(shù)k=()A.6 B.16 C.24 D.【解析】選D.橢圓3kx2+ky2=1化為:x213k+y21k=1,顯然k>0,有1k>13k,而橢圓的一個焦點為(0,-4),因此【加練備選】已知曲線C:x2k-5+y23-k=-1,則“4≤A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.將曲線C的方程化為x25-k+y2k-3=1,若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓,則k-3>5-k>0,即4<k<5,而“4≤k<5”不能推出“4<k<5”;“4<k<5”可以推出“4≤k4.(5分)(2024·南通模擬)已知圓C的方程為x2+y2=16,直線l為圓C的切線,記A(-2,0),B(2,0)兩點到直線l的距離分別為d1,d2,動點P滿足|PA|=d1,|PB|=d2,則動點P的軌跡方程為()A.x2+y2=4 B.x216+C.x216-y212=1 D.【解析】選B.如圖,分別過點A,O,B作直線l的垂線,垂足分別為A1,O1,B1,則AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切點為O1,因為A(-2,0),B(2,0),所以O是AB的中點,所以OO1是梯形ABB1A1的中位線,所以|OO1|=|AA1又因為圓C的方程為x2+y2=16,r=4,所以|OO1|=r=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|=4,所以動點P的軌跡是以A,B為焦點,長軸長為8的橢圓,設橢圓的方程為x2a2+y2b則2a=8,c=2,所以a=4,a2=16,b2=a2-c2=12,所以動點P的軌跡方程為x216+y5.(5分)(多選題)(2024·天水模擬)設橢圓C:x225+y29=1的左右焦點為F1,F2,P是A.|PF1|+|PF2|=10B.P到F1最小的距離是2C.△PF1F2面積的最大值為6D.P到F1最大的距離是9【解析】選AD.由橢圓方程可得:a=5,b=3,則c=a2對A:根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=10,A正確;對B:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的左頂點時,P到F1的距離最小,最小值為a-c=1,B錯誤;對C:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的上頂點或下頂點時,△PF1F2的面積最大,最大值為12×2c×b對D:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的右頂點時,P到F1的距離最大,最大值為a+c=9,D正確.6.(5分)(多選題)已知橢圓的中心在坐標原點,長軸長為8,離心率為34,則滿足條件的橢圓的標準方程有(A.x216+y27=1 B.C.x216+y225=1 D.【解析】選AB.因為2a=8,e=ca=3所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因為焦點的位置不確定,所以橢圓的標準方程是x216+y27=1或x7.(5分)(2024·濟南模擬)已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離之和為10,焦距為6,則此橢圓的標準方程為y225+x【解析】依題意,設橢圓方程為y2a2+x2b2=1(a>所以橢圓方程為y225+x8.(5分)△ABC的兩個頂點坐標分別是B(0,6)和C(0,-6),邊AB,AC所在直線的斜率的乘積是-23,則頂點A的軌跡方程是x254+y2【解析】設頂點A的坐標為(x,y),由題意得y-6x·y得x254+又A,B,C是△ABC的三個頂點,所以A,B,C三點不共線,因此y≠±6,所以頂點A的軌跡方程為x254+y2369.(10分)動點M與定點F1(3,0)的距離和M到定直線l:x=253的距離的比是常數(shù)3(1)求動點M的軌跡方程;(2)設F2(-3,0),點P為M軌跡上一點,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.【解析】(1)設M(x,y),d是點M到直線l的距離,則|MF1|d=3化簡得16x2+25y2=400,所以動點M的軌跡方程為x225+y(2)由(1)知,動點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,所以|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F整理得|PF1||PF2|=643所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=1【能力提升練】10.(5分)直線mx+y=0(m∈R)與橢圓x216+y225=1交于A,B兩點,則A,A.10 B.16 C.20 D.不能確定【解析】選C.設橢圓兩個焦點為F1,F2,由題可得a=5,則A,B與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的四邊形的周長為|AF1|+|F1B|+|BF2|+|F2A|=4a=20.11.(5分)若點M(x,y)滿足方程x2+(y-2)A.x236+y232=1 B.C.y236+x232=1 D.【解析】選C.因為動點M(x,y)滿足關系式x2+(所以該等式表示點M(x,y)到兩個定點F1(0,-2),F2(0,2)的距離的和為12,而|F1F2|=4<12,即動點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,且2a=12,即a=6,又c=2,b2=a2-c2=36-4=32,所以動點M的軌跡方程為y236+x12.(5分)(多選題)已知F1,F2為橢圓x24+y23=1的左、右焦點,A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值為4C.∠F1MF2的最大值為60°D.△MF1F2的面積的最大值為3【解析】選BC.由橢圓的方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).對于A,|MF2|max=a+c=3,故A錯誤.對于B,由橢圓定義可知|MF1|+|MF2|=4,所以|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|MF2|對于C,當點M為橢圓與y軸的交點時,∠F1MF2取得最大值,由M(0,3)得tan∠F1M所以∠F1MF22=30°,∠對于D,當點M為橢圓與y軸的交點時,△MF1F2的面積最大,最大值為bc=3,故D錯誤.13.(5分)(2024·北京模擬)已知F1,F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓上,△POF2(O為坐標原點)是面積為3【解析】不妨設點P位于第一象限,且F2(c,0),因為△POF2是面積為3的正三角形,可得34c2=3,解得c所以P(1,3),F1(-2,0),F2(2,0),由橢圓的定義得2a=|PF1|+|PF2|=(1+2)2+(3-0)2+(1-2)2+(3所以橢圓的標準方程為x24+23+14.(10分)求滿足下列各條件的橢圓的標準方程:(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0);(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形,且焦點到同側(cè)頂點的距離為3;(3)經(jīng)過點P(-23,1),Q(3,-2)兩點.【解析】(1)若焦點在x軸上,設方程為x2a2+y2b2=1(所以9a2=1,解得因為2a=3×2b,所以b=1,所以方程為x29+y若焦點在y軸上,設方程為x2b2+y2a因為橢圓過點A(3,0),所以9b2=1,解得又2a=3×2b,所以a=9,所以方程為x29+y綜上所述,橢圓方程為x29+y2=1或x2(2)由已知,有a=2ca所以b2=a2-c2=9,若焦點在y軸上,則x29+若焦點在x軸上,則x212+所以所求橢圓方程為x212+y29=1或(3)設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),則12m+n則所求橢圓方程為x215+y15.(10分)(2024·南充模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:y=x-2交橢圓C于A,B兩點,O是坐標原點,求△AOB的面積S.【解析】(1)因為橢圓C:x2a2+y2b2=1(把點(6,2)的坐標代入方程x2a2得6a2+24=1,解得a=23.所以橢圓C的方程為x2(2)聯(lián)立y=x-2,x212+解得x=0,y=-2或x=3,y=1,不妨設A(0,-2),【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)在平面直角坐標系xOy中,已知△HMN的周長是18,M,N是x軸上關于原點對稱的兩點,若|MN|=6,動點G滿足GM+GN+GH=0.則動點G的軌跡方程為x24+y23【解析】由GM+GN+GH=0,知點G是△HMN的重心,取點F1(-1,0),F2(1,0),不妨設M(-3,0),N(3,0),則GF1∥HM,GF2∥HN,且|GF1|+|GF2|=13(|HM|+|HN|)=13(18-6)=4>|F1F2|=2,所以點G是以F1,F2為焦點的橢圓(除去長軸端點),設橢圓C的方程是x2a2+y則2a=4,2c=2,于是b2=a2-c2=3,即x24+從而,點G的軌跡方程為:x24+y23五十五橢圓的幾何性質(zhì)(時間:45分鐘分值:85分)【基礎落實練】1.(5分)(2024·大連模擬)橢圓x225+y29=1與橢圓x2A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等【解析】選D.橢圓x225+y2長軸長為10,短軸長為6,焦距為8,離心率為45橢圓x222+y2長軸長為222,短軸長為26,焦距為8,離心率為222112.(5分)(2022·全國甲卷)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為A.32 B.22 C.12 【解析】選A.已知A(-a,0),設P(x0,y0),則Q(-x0,y0),kAP=y0x0+a,故kAP·kAQ=y0x0+a·y0因為x02a2+y02②代入①整理得:b2a2e=ca=1-b3.(5分)(2022·全國甲卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13,A1,A2分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若BA.x218+y216=1 B.C.x23+y22=1 D.x【解析】選B.依題意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(BA1·BA2=-a2+b2=-(a2-b2)=-c又C的離心率e=ca=1a=13,所以a=3,b2=a2-c2=8,即C的方程為x29+y4.(5分)若點O和點F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點,P為橢圓上的任意一點,則OP·A.2 B.3 C.6 D.8【解析】選C.由題意,O(0,0),F(-1,0),設P(x,y),則OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以OP·FP=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又x24+y23=1,所以y2=3-所以OP·FP=14x2+x+3=14(x+2)2因為-2≤x≤2,所以當x=2時,OP·FP有最大值6.5.(5分)(多選題)已知P是橢圓C:x24+y2=1上的動點,Q是圓D:(x+1)2+y2=14A.橢圓C的焦距為3B.橢圓C的離心率為3C.圓D在橢圓C的內(nèi)部D.|PQ|的最小值為6【解析】選BC.因為橢圓方程為:x24+y所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,e=ca=32,焦距為2由x24+y2=1因為Δ=82-4×3×7=-20<0,所以橢圓與圓無公共點,又圓心(-1,0)在橢圓內(nèi)部,所以圓在橢圓內(nèi)部,故C正確;設P(x,y)(-2≤x≤2),則|PD|=(x+1)2+當x=2-2×34=-43時,|PD|取得最小值23=63,則|6.(5分)(多選題)(2024·曲靖模擬)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,長軸長為23,點P(1,1)在橢圓Γ外,點A.橢圓Γ的離心率的取值范圍是(22B.當橢圓Γ的離心率為32時,|QF1|的取值范圍是[3-32,32C.存在點Q使∠F2QF1=90°D.1|QF【解析】選ABC.由題意得a=3,又點P(1,1)在橢圓Γ外,則13+1b2>1,解得0<b2所以橢圓Γ的離心率e=ca=3-b23>2當e=32時,c=3所以|QF1|的取值范圍是[a-c,a+c],即[3-32,32+設橢圓的上頂點為A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),由于AF1·AF2=b2-c2=2b2-a2=2b2-3<0,所以存在點Q使得QF1·QF2=0,故C正確;因為點Q在橢圓Γ上,所以|QF1|+|QF2|=23,則1|QF1|+1|QF2|=(|QF1|+|+2|QF2||當且僅當|QF1|=|QF2|=3時,等號成立,所以1|QF1|+7.(5分)(2024·煙臺模擬)寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程:x29+y①中心為坐標原點;②焦點在坐標軸上;③離心率為13【解析】只要橢圓方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y8.(5分)(2024·大同模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,且四邊形PF1QF2的面積為49【解析】因為點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,所以四邊形PF1QF2為矩形,即PF1⊥PF2,所以S四邊形PF1QF2=2S由橢圓定義與勾股定理知:|P所以|PF1|·|PF2|=2b2,所以49a2=2b2=2(a2-c2),所以ca=73,即C9.(10分)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,P(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.【解析】(1)連接PF1(圖略),由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的離心率為e=ca=3-1(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在,當且僅當12|y|·2cyx+c·yx-即c|y|=16,①x2+y2=c2,②x2a2+由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由①知y2=1由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.當b=4,a≥42時,存在滿足條件的點P.故b=4,a的取值范圍為[42,+∞).【能力提升練】10.(5分)(2024·資陽模擬)如圖,已知定圓A的半徑為4,B是圓A內(nèi)一個定點,且|AB|=2,P是圓上任意一點.線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q,當點P在圓上運動時,則點Q的軌跡是()A.面積為π的圓B.面積為2π的圓C.離心率為14D.離心率為12【解析】選D.連接BQ,AB,因為線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q,所以|BQ|=|PQ|,因為|AQ|+|PQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以|AQ|+|BQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以點Q的軌跡是以A,B為焦點,4為長軸長,焦距為2的橢圓,所以橢圓的離心率為e=ca=2c2a=11.(5分)(多選題)已知F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,B為橢圓短軸的一個端點,BFA.12 B.36 C.33【解析】選ABC.由橢圓的定義可知:|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,則sin∠OBF1=ca=e所以cos∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,因為BF1·BF2≥14F1F22,即(1-2e2)a2≥c2,所以1-2e212.(5分)(多選題)“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器,是中國探月工程的收官之戰(zhàn),實現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示,月球探測器飛到月球附近時,首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行,然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行,最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行,設圓形軌道Ⅰ的半徑為R,圓形軌道Ⅲ的半徑為r,則以下說法正確的是()A.橢圓軌道Ⅱ的焦距為R-rB.橢圓軌道Ⅱ的短軸長為RrC.若r不變,則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨R的增大而增大D.若R不變,則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨r的增大而增大【解析】選AC.在橢圓中,由題圖可知PQ=2a=R+ra-c=QF=r,解得a=R+r2,c=R-e=ca=R-rR+r=1-2rR+e=ca=R-rR+函數(shù)f(r)=-1+2RR13.(5分)(2024·武漢模擬)若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點M,使得90°(F1,F2分別為橢圓的左、右焦點),則橢圓的離心率e的取值范圍為[22,1)【解析】方法一:設點M的坐標是(x0,y0),則|x0|<a.因為F1(-c,0),F2(c,0),所以MF1=(-c-x0,-y0),MF2=(c-x0,-因為∠F1MF2=90°,所以MF1·MF2=-(c+x0)(c-x0)+y02=0,即x又點M在橢圓上,即y02=b2-所以x02+y02=b2+c2a2x即c2∈[b2,a2),所以c2≥b2=a2-c2,即c2a2又0<e<1,所以22≤e故橢圓的離心率e的取值范圍是[22,1)方法二:設點M的坐標是(x0,y0),由方法一可得x02a2x02=因為0≤x02<a2,所以由②得c2-b2<c2,此式恒成立.由①得c2≥b2,即c2≥a2-c2,所以a2≤2c2,則e2=c2a2≥12.又0<e<1,所以e∈綜上所述,橢圓的離心率e的取值范圍是[22,1)方法三:設橢圓的一個短軸端點為P,因為橢圓上存在一點M,使∠F1MF2=90°,所以∠F1PF2≥90°,則c≥b,(∠F1MF2最大時,M為短軸端點),所以c2≥b2=a2-c2,即c2a2又0<e<1,所以22≤e故橢圓的離心率e的取值范圍為[22,1)【加練備選】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點為F1,F2.點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,△PF2Q的面積S≥18|PQ|2,則C【解析】連接QF1,PF1,由題意得,|OP|=|OQ|,|OF1|=|OF2|,又|PQ|=|F1F2|,所以四邊形PF2QF1為矩形,故S△PF所以12|PF1|·|PF2|≥18(2c)2=12故|PF1|·|PF2|≥c2,又|PF1|+|PF2|=2a,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|