上節(jié)的問題是冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以

f(x)為和函數(shù).現(xiàn)在的問題是反過來,如果f(x)可以展開成冪級(jí)數(shù)1.那么函數(shù)

f(x)應(yīng)當(dāng)具有什么性質(zhì)?8.4泰勒級(jí)數(shù)8.4.1泰勒級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)的系數(shù)怎樣計(jì)算?我們有

由于冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)無窮次可導(dǎo),即有因此,f(x)必然在此區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).將x

=

x0代入上面各式,即得

任意階的導(dǎo)數(shù).定理8.16

如果函數(shù)

f(x)在

x0的某一鄰域定理的結(jié)論稱為冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性.于是,就證明了如下定理.內(nèi)可以展開成的冪級(jí)數(shù),則則稱冪級(jí)數(shù)如果函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處任意次可微,為

f(x)在點(diǎn)

x0處的泰勒級(jí)數(shù).為函數(shù)

f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).特別地,

當(dāng)x0=0時(shí),稱冪級(jí)數(shù)記為

在

x0的某一鄰域成立,如果點(diǎn)的泰勒展開式.

則稱上式函數(shù)是

f(x)在

x0定理8.17

如果函數(shù)

f(x)在

x0的某一鄰域內(nèi)有任意階的導(dǎo)數(shù).則其中

介于x與x0之間.的充分必要條件是

證(1)是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒中值定理;

(2)是收斂級(jí)數(shù)的定義.

1.直接展開法求函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)的步驟:

(2)寫出麥克勞林級(jí)數(shù)并求出收斂半徑R;8.4.2函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(3)驗(yàn)證是否有

驗(yàn)證的方法有兩種:余項(xiàng)分析與和函數(shù)分析

(1)

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)與它們?cè)谔幍闹?然后代入從而判斷是否有

和函數(shù)分析是求出和函數(shù)

余項(xiàng)分析是指,如果

則有

解其收斂半徑為例1將展開成x的冪級(jí)數(shù).于是余項(xiàng)其中

介于0與x之間.余項(xiàng)分析對(duì)任一確定的是收斂級(jí)數(shù)

的一般項(xiàng).是確定的數(shù),而所以在

上恒有于是或于是則且解微分方程

得和函數(shù)分析解因例2將展開成x的冪級(jí)數(shù).故其收斂半徑為故因所以其中

介于0與x之間.解因例3將展開成x的冪級(jí)數(shù),其中不是自然數(shù).又因因泰勒公式的余項(xiàng)比較復(fù)雜,現(xiàn)直接求它的和函數(shù).令逐項(xiàng)求導(dǎo),得上式兩端同乘然后合并同類項(xiàng).再注意到于是

的存在唯一性,即可證明f(x)=F(x).注意到f(x)滿足上述方程,由線性微分方程解于是利用已知函數(shù)展開式,2.間接展開法根據(jù)展開的唯一性,等方法,求展開式.通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分的結(jié)果是一致的.它與直接展開法得到例4將展開成x的冪級(jí)數(shù).例5將展開為x的冪級(jí)數(shù).解設(shè)利用有例6將展開為x的冪級(jí)數(shù).解而兩邊積分解例7將

展開為

的冪級(jí)數(shù).f(x)=ln(1+x)在x

=1處連續(xù),且在x=1處收斂.例8將解常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)解練習(xí)將函數(shù)且即故于是解練習(xí)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

的和.例9計(jì)算積分解因8.4.3冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用1.近似計(jì)算由逐項(xiàng)積分公式得誤差

取前三項(xiàng),得2.微分方程的冪級(jí)數(shù)解法例10求微分方程滿足解設(shè)則由可得于是從而的特解.代入方程,得即上式是恒等式,所以各項(xiàng)系數(shù)必全為零,因此

所求特解為3.歐拉公式其中