PAGEPAGE21河北省新樂市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期沖刺試題（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)一次不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，，求交集得到答案.【詳解】，，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由復(fù)數(shù)的乘除法法則計(jì)算出復(fù)數(shù)，再由定義可得．詳解：，虛部為．故選C．點(diǎn)睛：本題考查的運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念，解題時(shí)依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化復(fù)數(shù)為簡(jiǎn)潔形式，可得虛部與實(shí)部．3.綻開式中全部二項(xiàng)式系數(shù)之和是512，常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得到，再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】綻開式中全部二項(xiàng)式系數(shù)之和是，故，的綻開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng)為：，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)和，依據(jù)常數(shù)項(xiàng)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.4.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜c＜a【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性干脆求解．【詳解】∵0＜a=0.50.4＜0.50b=log0.40.3＞log0.4c=log80.4＜log81=0，∴a，b，c的大小關(guān)系是c＜a＜b．故選C．【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進(jìn)行比較大小，另一方面留意特別值的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?.執(zhí)行如下圖所示程序框圖，若輸出的，則①處填入的條件可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次循環(huán)得到：，不輸出；其次次循環(huán)得到：，不輸出；第三次循環(huán)得到：，不輸出；第四次循環(huán)得到：，退出循環(huán)；因此推斷框中的條件為：，故選B.6.已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的面積（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由余弦定理得，進(jìn)而可得，再由三角形的面積公式求得答案..【詳解】，，由可得，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，屬于簡(jiǎn)潔題.7.已知圓，一個(gè)直徑為的小圓與是圓相內(nèi)切且在圓內(nèi)滾動(dòng)，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則能被小圓覆蓋的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，找出小圓能覆蓋的區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，并計(jì)算出圓環(huán)的面積與圓的面積，利用幾何概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)樾A覆蓋的區(qū)域，即由圓和圓構(gòu)成的圓環(huán)，圓環(huán)的面積為，圓的面積為.因此，能被小圓覆蓋的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知實(shí)數(shù)滿意，直線過定點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由直線可得，可知解得即直線過定點(diǎn)，作出可行域如圖，所以目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)可視為點(diǎn)A與可行域中的點(diǎn)連線的斜率，∴，故選D．9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.1B.2C.3D.6【答案】B【解析】【分析】畫出幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【詳解】解：由題意可知幾何體的形態(tài)如圖：，，，，BCDE是矩形，，所以幾何體的體積為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，三視圖與幾何體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的推斷是解題的關(guān)鍵．10.已知焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，則（）A.2或 B.2 C.1 D.1或【答案】B【解析】【分析】把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得出的關(guān)系,利用拋物線的定義求出圓的半徑,利用垂徑定理列方程解出.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上，則，得，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，則半徑，到軸的距離則，得，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義和垂徑定理，學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，屬于簡(jiǎn)潔題.11.已知數(shù)列的首項(xiàng)，對(duì)隨意，都有，則當(dāng)時(shí)，()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令得到，故數(shù)列是等比數(shù)列，，故答案為C．12.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿意，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，由圖像可確定，，，由此可將所求式子轉(zhuǎn)化為，依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求得取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：又設(shè)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，的取值范圍是本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，若，則__________．【答案】【解析】∵，，∴又，∴，解得，∴，∴．答案：14.__________．【答案】2【解析】分析】利用微積分基本定理及定積分的幾何意義計(jì)算可得；【詳解】解：，表示以為圓心，為半徑的圓在軸上方部分的面積，所以．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理以及定積分幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，，，已知時(shí)，函數(shù)的全部零點(diǎn)和為21，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的全部零點(diǎn)的和為__________．【答案】35【解析】【分析】確定三角函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)的對(duì)稱中心為，依據(jù)零點(diǎn)和得到有三個(gè)零點(diǎn)，畫出圖象得到答案.【詳解】時(shí)，，是函數(shù)的對(duì)稱中心，周期為，，則是函數(shù)的對(duì)稱中心，的全部零點(diǎn)和為21，故有三個(gè)零點(diǎn)，直線與三角函數(shù)相切，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的對(duì)稱中心，依據(jù)圖象知有五個(gè)零點(diǎn)，故全部零點(diǎn)和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力，確定對(duì)稱中心畫出圖象是解題的關(guān)鍵.16.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的輪割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不能割，則與圓合體而無所失矣”它體現(xiàn)了一種無限與有限轉(zhuǎn)化過程．比如在表達(dá)式“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程求得，類似上述過程，則__________．【答案】2024【解析】【分析】依據(jù)題意得到方程，解得答案.【詳解】設(shè)，則，即，解得或（舍去）.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和推理實(shí)力.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選做題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.在等比數(shù)列中,,且,又的等比中項(xiàng)為16.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式:（2）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得對(duì)隨意恒成立.若存在,求出正整數(shù)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）3.【解析】試題分析：（1）由題意可得，又，故，由此可得等比數(shù)列的公比，因此可得．（2）由（1）得，所以，從而，求和可得，所以可得，故存在滿意題意得，且的最小值為3．試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵的等比中項(xiàng)為16．∴，又，，∴，∴．（2）由（1）得，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且．∴，∴，∴，∴，∴存在滿意題意得，且的最小值為3．點(diǎn)睛：用裂項(xiàng)法求和原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)覺被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)，消項(xiàng)后的剩余部分具有對(duì)稱性．18.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年在北京-張家口實(shí)行，為了搞好接待工作，組委會(huì)在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高變成如右所示的莖葉圖（單位：）：若身高在以上（包括）定義為“高個(gè)子”，身高在以下（不包括）定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)當(dāng)“禮儀小姐”．（1）假如分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（2）若從全部“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)當(dāng)“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）見解析，1【解析】【分析】（1）先依據(jù)分層抽樣確定5人中“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”人數(shù)，再先求對(duì)立事務(wù)（都不是“高個(gè)子”）概率，最終依據(jù)對(duì)立事務(wù)概率公式求結(jié)果；（2）先確定隨機(jī)變量，再分別求對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列，最終依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得結(jié)果.【詳解】解：（1）依據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是，所以選中的“高個(gè)子”有人，“非高個(gè)子”有人．用事務(wù)表示“至少有一名高個(gè)子”被選中”，則它的對(duì)立事務(wù)表示“沒有一名“高個(gè)子”被選中”，則，因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是．（2）依題意，的取值為0，1，2，3．，，，．因此，的分布列如下：0123∴．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣、莖葉圖、古典概型概率、分布列、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.19.在四棱錐中，側(cè)面底面，，為中點(diǎn)，底面是直角梯形，，=90°,，．（I）求證：平面；（II）求證：平面；（III）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角為45°．【答案】（I）證明見解析．（II）證明見解析．（III）【解析】【詳解】（I）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以EF//CD，且在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，所以EF//AB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE//AF，BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE//平面PAD．（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz．則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.所以又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PBD．（III）平面PBD的法向量為所以，設(shè)平面QBD的法向量為=（a，b，c），，由，，得所以=所以留意到，得．20.過拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)，作直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)．（1）證明：、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；（2）若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn)，設(shè)三條直線，，的斜率分別為，，，證明【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)設(shè)，設(shè)直線的方程為與聯(lián)立方程組，再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可證得為定值；(2)將，，表示出，并化簡(jiǎn)可證得【詳解】（1）證明：由題意設(shè)直線的方程為，，，消得：．∴為定值．（2）解：三條直線，，的斜率成差數(shù)列，下證之：設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為，直線的斜率為，∴又∵直線的斜率為，∴．【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓雉曲線的位置美系，斜率公式，考查了基本技巧：設(shè)而不解，聯(lián)立方程組，根與系數(shù)的關(guān)系，還考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若曲線在y軸上的截距為，且在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求實(shí)數(shù)a，b的值；記的導(dǎo)函數(shù)為，求在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）實(shí)數(shù)a，b的值分別為1，；（2）【解析】【分析】Ⅰ將，代入，即可求得b的值，求導(dǎo)，由，即可求得a的值；Ⅱ求導(dǎo)，，分類分別取得在區(qū)間上的最小值解析式．【詳解】解：Ⅰ曲線在y軸上的截距為，則過點(diǎn)，代入，則，則，求導(dǎo)，由，即，則，實(shí)數(shù)a，b的值分別為1，；Ⅱ，，，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，即，在上單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，，，恒成立，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程考查發(fā)覺問題解決問題的實(shí)力．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中選一題作答．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（a＞b＞0，為參數(shù)），以Ο為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，已知曲線C1上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)．與曲線C2交于點(diǎn)．（1）求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程；（2），是曲線C1上的兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，消去參數(shù)，得曲線C1一般方程，先確定曲線C2極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，再利用將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程：（2）由題意得：，∴+=（+）+（+）=．．試題解析：（1）將M（2，）及對(duì)應(yīng)的參數(shù)=；θ=；代入得：得：∴曲線C1的方程為：（為參數(shù)）即：．設(shè)圓C2的半徑R，則圓C2的方程為：ρ=2Rcosθ，將點(diǎn)D（，）代入得：=2R∴R=1∴圓C2的方程為：ρ