平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線,兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作雙曲線的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.3.2

雙曲線3.2.1

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)1

雙曲線的定義知識(shí)點(diǎn)2

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2知識(shí)拓展1.若動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(c,0)之間的距離和它到定直線l:x=

的距離之比是常數(shù)

(c>a>0),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫作雙曲線,定點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn).2.已知定點(diǎn)A(-a,0),B(a,0),若直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為

,則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(不包含點(diǎn)A、B).知識(shí)辨析1.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡一定是雙曲線嗎?2.已知兩定點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0),若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF1-PF2=2a(2a<F1F2),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么?3.雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c的關(guān)系相同嗎?4.方程

-

=1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,對(duì)嗎?5.給定一個(gè)方程Ax2+By2=1(A,B≠0),它一定表示雙曲線嗎?一語(yǔ)破的1.不一定.若常數(shù)為小于兩定點(diǎn)之間的距離的正數(shù),則軌跡是雙曲線;若常數(shù)等于兩定點(diǎn)之間

的距離,則軌跡是分別以?xún)啥c(diǎn)為端點(diǎn)的兩條射線;若常數(shù)大于兩定點(diǎn)之間的距離,則動(dòng)點(diǎn)軌

跡不存在.2.若2a<0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支;若2a=0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F1,F2

為端點(diǎn)的線段的垂直平分線;若2a>0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.3.不相同.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a與b的大小關(guān)系不確定;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,

a2=b2+c2,其中a>b>0.4.不對(duì).若m>0,n>0,則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;若m<0,n<0,則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的

雙曲線.5.不一定.當(dāng)AB<0時(shí)表示雙曲線;當(dāng)A>0,B>0,且A≠B時(shí)表示橢圓;當(dāng)A=B>0時(shí)表示圓.定點(diǎn)1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位:即確定焦點(diǎn)的位置,若焦點(diǎn)位置不明確,需要分情況討論;(2)定量:即確定a2,b2的值,常由條件列方程或方程組求解.2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法:根據(jù)定義得出距離之差的等量關(guān)系式,求出a的值,由定點(diǎn)坐標(biāo)確定c的值和焦點(diǎn)位

置,通過(guò)b2=c2-a2,求得b2,寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)條件求出待定系數(shù),代入方程即可.若焦點(diǎn)在x軸上,則其方程可設(shè)為

-

=1(a>0,b>0);若焦點(diǎn)在y軸上,則其方程可設(shè)為

-

=1(a>0,b>0);若焦點(diǎn)的位置不確定,則方程可設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0).

1.雙曲線上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形.解決與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)

題可以根據(jù)定義,結(jié)合正、余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算,在運(yùn)算

中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)用.2.解決有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的常用結(jié)論令PF1=r1,PF2=r2,∠F1PF2=θ,F1F2=2c,則①定義:|r1-r2|=2a.②余弦公式:4c2=

+

-2r1r2cosθ.③面積公式:

=

r1r2sinθ=

=c|yP|.④△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)恒為定值a或-a.定點(diǎn)2雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題⑤設(shè)∠PF1F2=α,∠F1F2P=β,則

=

=e(e為雙曲線的離心率,下一節(jié)會(huì)講).3.設(shè)A,B是雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的實(shí)軸兩端點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn),∠BPA=θ,則有S△ABP=

.典例設(shè)F1,F2分別為雙曲線

-

=1的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=120°,則△F1PF2的面積為

.解析

由題意可得a=5,b=3,c=

,則|PF1-PF2|=10,F1(-

,0),F2(

,0),故F1

=136,由余弦定理可得F1

=P

+P

-2PF1·PF2cos120°=(PF1-PF2)2+3PF1·PF2=100+3PF1·PF2=136,∴PF1·PF2=12,∴△F1PF2的面積S=

PF1·PF2·sin120°=

×12×

=3

.

1.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法一般地,設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0)①,雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)②.把①代入②,消去y并整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)當(dāng)b2-a2k2=0,即k=±

時(shí),直線與雙曲線C相交于一點(diǎn).(2)當(dāng)b2-a2k2≠0,即k≠±

時(shí),Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2),則Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);Δ=0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn);Δ<0?直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).定點(diǎn)3直線與雙曲線的位置關(guān)系斜率為k的直線l與雙曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=

·|x1-x2|=

·|y1-y2|(k≠0).3.用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦所在直線斜率的關(guān)系問(wèn)題,方法與橢圓一樣,但結(jié)果需要

檢驗(yàn).2.弦長(zhǎng)公式典例已知雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上,焦距為2

,且過(guò)點(diǎn)A(5,

).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為2的直線l與C交于P,Q兩點(diǎn),且

·

=-

(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求PQ的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥

(1)根據(jù)焦距可求得c及焦點(diǎn)坐標(biāo),由雙曲線的定義可求得a,從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線l的方程為y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系

及

·

=-

可求得參數(shù)m,再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求得PQ的長(zhǎng).解析

(1)由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1(a>0,b>0),由題可知c=

,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,

),(0,-

),根據(jù)雙曲線的定義可知

-

=2=2a,解得a=1.∴b2=c2-a2=6-1=5,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-

=1.(2)設(shè)直線l:y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立

消去y,可得19x2+20mx+5m2-5=0,Δ=400m2-4×19×(5m2-5)>0,解得m∈R,則x1