三角恒等變換專項練習

一、選擇題

1.已知COS(TT—a)=1,sin(.+夕)=|,其中a,]W(O,/r),則sin(a+0)的值為

()

A4內(nèi)石B4V2+V5C—4V2+V5D-4在一通

?9?999

2.若將函數(shù)/(%)=sin2x+cos2%的圖象向右平移w個單位，所得圖象關于y軸對

稱，則9的最小正值是()

3.若tan(2x+：)=-巳，則sin2x-3cos2%=()

A.5或，B.：或一個C.3或：D.：或一g

4.已知函數(shù)f(%)=sinx+QCOSX的圖象的一條對稱軸是直線x=則函數(shù)g(x)=

asinx+cos%的最大值是()

B—D.2疾

A考?33

5.已知sina—cosa=0<a<TT,則sin(2a-力=()

B22ec.警D.19V2

A?甯?5050

l-tan2390

6.設a=cos50°cosl27°+cos40°cos370,b=y(sin56°—cos56°)?C=----;~:，

l+tan239<>

則mh,c的大小關系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

7.已知函數(shù)/(無)=sin2*sin"-">°),xER,若f(%)在區(qū)間(n,2兀)內(nèi)沒

有零點，則3的取值范圍是()

A.(0)1]B.(0,i]U[|,l)C.(0,j]D.(O,1]U[ij]

8.V14-coslOO~°—V1-coslOO~~°=()

A.—2cos50B.2cos50C.—2sin50D.2sin50

9.函數(shù)/(x)=siMx+Hsinxcosx在區(qū)間[彳用上的最大值是()

A.1B.上更C.fD.1+V3

2/

10.已知函數(shù)/'(x)=2sinxcos(x——cos?%+V5sinxcosx,將函數(shù)f(x)圖象上的所

有點向右平移盤個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在區(qū)間曲用上()

A.先增后減B.先減后增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.已知cos(a-9=-￡sin(/-.)=|,且;<a<兀，0</?<p則sin(a-g)

的值為cos*的值為_(2)_.

12sin70+cos150sin80_

'cos7*-sin15°sin80,

13.已知sina+cos0=1,cosa4-sin/?=0,則sin(s+3)=.

Xf

14.設常數(shù)Q使方程s譏％+Ecos%=出在閉區(qū)間[0,2網(wǎng)上恰有三個解%],乂2,3則

入1+%2+%3=-------------?

15.設向量萬(&siuU+cos仇1),b=(1,1).8€冷爭，，"是向量蒼在向量方方向

上的投影，則”的最大值是.

三、解答題

16.已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點

(1)求sin(a+兀)的值;

(2)若角夕滿足sin(a+￡)=噂，求cos/7的值.

17.已知函數(shù)f(%)=sinx+V3cosx+a在(0,2江)內(nèi)有兩個不同的零點a,￡.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)求tan(a+')的值.

第2頁，共19頁

18.已知函數(shù)/(無)=V3(cos|-sin^)(cos+sinj)+2sin|cos|.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若將f(x)的圖像向右平移?個單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)的單調(diào)

遞增區(qū)間.

19.已知戊6(3，兀)，cosa=——

N5

(1)求sin?+a)的值;

(2)求cos得-2a)的值.

20.已知函數(shù)/'(x)=4cosxsin(x+/)—1.

(1)求/(%)的最小正周期：

(2)求f(x)在區(qū)間卜河*h的最值.

21.設函數(shù)f(x)=sin(3X-g)+sin(3X-g),其中0<3<3,已知/?)=0.

bN0

(I)求3；

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將

得到的圖象向左平移濘單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在［-，爭上的

最小值.

22.已知函數(shù)/'(%)=V5cosxsinx-：cos2x.(1)求/'(x)的最小正周期;

(2)求/■(#)在［0,自上的最大值和最小值.

第4頁，共19頁

23.已知五=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)>函數(shù)

(1)求f(x)的對稱軸方程；

(2)求使f(x)>1成立的x的取值集合；

(3)若對任意實數(shù)不等式f(x)-m<2恒成立，求實數(shù)，”的取值范

圍.

答案和解析

1.【答案】A

【分析】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和的正弦公式，是基礎

題.

由誘導公式可得cosa=-1,cos0=|,再由同角三角函數(shù)的基本關系可得sina,

sin/?,故由兩角和的正弦公式可得答案.

【解答】解：因為cos（7T-a）=*sinC+￡）=|,

12

所以cosa=cosp=

因為Q,/?E（0,兀），所以sina="—cos2a=言,

sin/?=Jl—cos2s=當，

所以sin（a+夕）=sinacosg+cosasin）?

33'3，39

故選A.

2.【答案】C

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查三角函數(shù)圖像的特點，屬于基礎題.

利用輔助角公式對解析式進行化簡，由所得到的圖像關于y軸對稱，根據(jù)對稱軸方程

求出8的最小正值.

【解答】

解：函數(shù)/"）—si〃2r+co?2jgsin（2_r+：）的圖像向右平移8個單位，

所得圖像是函數(shù)y=V2sin（2x+E—2“），

圖像關于），軸對稱，可得?20="+ak&Z,

rir-ikjT7T■

即9=一三一金，k€Z,

當％=-1時，樞的最小正值是弓.

O

故選C.

3.【答案】B

【分析】本題主要考查兩角和的正切公式，二倍角的正切公式以及同角三角函數(shù)基本

關系，為中檔題.

第6頁，共19頁

由題意求出tanx=2或tanx=一點再利用二倍角的正弦公式結合同角三角函數(shù)基本關系

化為sin2i-3e?2j如心’?，再代值求解即可.

【解答】解：tan（2合+g）==_g化簡得tan2x=-g

4，l-tan2x73

由二倍角的正切公式得，］2"tM:m再=一4；,

解得tan%=2或tanx=

.22silLTCOST—3cos212taiLT—3

siii2j,-3<<?"/=---------------------=----------T9

sura:+cos-xtan-jr+1

將tan%的值代入，可得sin2x-3cos2x=，或一冷.

故選私

4.【答案】B

【分析】本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于基礎

題.

由題意可得，/（（））/（=），可得&=一/_會解出a的值，即可求出

由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】

解：由于函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=^對稱,

/(。)=/■管)，皿=*-1

…-叵,

3

???g(x)=-gsinx+cosx

2yf3.ft2n\

=-Sln^+-J,

???gOOmax=券

5.【答案】C

【分析】

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式以及二倍角公式

的應用，屬于基礎題.

根據(jù)同角三角函數(shù)關系式及二倍角公式得到sin2a=g,進而有cos2a=-卷，再通過

兩角和與差的三角函數(shù)公式求解即可.

【解答】

解：sina-cosa=1,0<a<TT,

所以sin?c+c—sin2c解得sin2a=上，

即sin2a=2sinacosa=|^>0,所以。VaV

________I，，47

故：sinn+cosn=v14-siii2a=\ll4--=一，

V255

7

cos2a=(cosa+sina^cosa—sina)=——,

,cn.V2.y[2V224,\/273172

sin(2a——)=—sion2a---cos2oa=-------------=----?

,472222522550

故選：C.

6【答案】D

本題考查比較大小，考查同角三角函數(shù)的基本關系和兩角和與差的三角函數(shù)公式，正

弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

分別將a,b,c化簡為正弦函數(shù)，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答】解：a=cos50°cosl27°+cos40°cos37°=cos50°cosl270+sin50°sinl27°=

cos(50°-127°)=cos(-77°)=cos77°=sinl3°,

b=y(sin560-cos56")=ysin560-ycos56°=sin(560-45。)=sinll。,

2

sin239?

「-239。1一記麗

=coti2：^0-sin239^=cos78°=sin12°

1+tair39°siir390

1-i-------

W39,

因為y=s比》在(03)單調(diào)遞增,所以sinl3°>sinl2°>sinll°,

第8頁，共19頁

所以a>c>b,

故選。.

7.【答案】D

本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

化簡可得函數(shù)f(x)=￥sin(3X—》，由f(x)=O,可得sin(3X-3=0,解得x=

三JC(兀,2兀)(卜ez),因此3CC，[)uu舄，)u...=g,[)u(|,+8),即可得

出答案.

【解答】

解：函數(shù)/(x)=sin2—+-sina)x--=+-i)x--=—sin(a)x—

7v722222sn(i22v4，

由f(x)=0，可得sin(a%-3)=0,則有x=1+土，kEZ,

4O)

???/(%)在區(qū)間(兀,2兀)內(nèi)沒有零點，

?'X=￡(7l,27l)(keZ)?且3>0,

1I559Q1I5

二3，，”■)u(鑄)u…=q，”q，+8),

3e(0,1]u

故選D.

8.【答案】C

本題考查三角函數(shù)化簡求值，考查推理能力和計算能力，屬于基礎題.

利用二倍角公式和輔助角公式將原始化為2sin(J5-5。＞),再求解.

【解答】

解：原式=V2cos250—°—V2sin250一°

=V2(cos50°-sin500)

/V2V2\

=2(YCOS500-Ysin500)

=2sin(450-50°)

=-2sin50.

故選C.

9.【答案】C

【分析】本題考查二倍角公式及輔助角公式，以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值，屬于

中檔題目.

先利用二倍角公式與輔助角公式化筒/(X),再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出外為在閉區(qū)間上

的最大值即可.

【解答】

解：f(x)=?+3sin2x=—sin2x--cos2x+」=sin—工)+乙，

/'，22222\6/2

1Q

???f(%)=14--=-.

)、，mIlldaXx22

10.【答案】c

本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于基礎題.先利用二倍角公式以及兩

角和與差的三角函數(shù)公式化簡f(x),再平移可得9")2sin(21-；)，結合正弦函數(shù)

的性質(zhì)求解即可.

【解答】

解：函數(shù)/'(j)=2fflUXCO8(X---)—CO82Z+&silLTCOBH

6

/2

=2v3siiL/c<)s.r+sin.r-<XJS2J,=2sin^2J--,

將函數(shù)/(%)圖象上的所有點向右平移看個單位，

得到函數(shù)9(1)=2sin[2(x-^)-^)=2sin(2H-,

因為工喑智,所以2廠汨羽，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間碎，居]上單調(diào)遞增，

故選C.

11.【答案】延，運

927

【分析】本題考查了三角函數(shù)的同角三角函數(shù)基本關系以及余弦的差角公式，難度一

般.

本題應利用同角三角函數(shù)基本關系利用cos("9=/計算出sin("9,注意對

第10頁，共19頁

a,/?角的范圍分析，然后正確判斷正弦的符號;利用早=(a-。-仔-。)的關系，結

合余弦的差角公式，可以計算結果.

【解答】

解：???￥<0<〃，.?.2<±<±

nr2‘422

,?,0</?V5，???一彳V—0<0,—-<——<0.

/N42

又???cos(a-0,sin《-0)=|>0,

a——<n,0<

222廠2

12.【答案】2-6

本題考查三角函數(shù)化簡求值，考查推理能力和計算能力，屬于基礎題.

利用同角基本關系和兩角差的正余弦及正切即可求解.

【解答】

盾sin(15。-89+COS15*in8。

解：原cos(15。-8")-sinl5*in8。

sinl5cos8

———-----------——=tan15tan(45°-30°)

cosl5°cos8°

tan45°-tan30°_?

1+tan450tan30°-'

故答案為2-V3.

13.【答案】一：

【分析】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式.考查學生方程思想以及計算能力，屬

于基礎題.

利用已知e?3=1-siiKKsinJ=-代入同角基本關系式，計算出sine.的

值，利用正弦的兩角和公式展開計算答案..

【解答】

解：vsina+cos/?=1,cosa+sin/?=0,

:.(1—sina)2+(—cosa)2=1,:.sina=[,?,?cos/?=

因此sin(a+0)=sinacos^?+cosasin^5=:x工一cos2a=-—14-sin2a=-—1+-=

22444

__1

2,

14.【答案】y

本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì).運用了數(shù)形結合的思想，較為直觀的解決問

題，屬于中檔題.

先利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡，畫出函數(shù)y=2S譏(X+9的圖象，方程的解的

個數(shù)即為直線與三角函數(shù)圖象的交點個數(shù)，在[0,2初上，當a=B時，直線與三角函

數(shù)圖象恰有三個交點，進而求得此時與，x2,x3,最后相加即可.

【解答】

解：???sinx+y/3cosx=2(^sinx+cosx)=2sin(x+；)=a，

方程的解個數(shù)即為在[0,2兀]上直線y=a與三角函數(shù)y=2s譏1+§圖象的交點個

數(shù)，

recr7T_r7T77T,

XE[0,2TT],T+；-e..,

<5<5<5

???當￡1=次時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點，

第12頁，共19頁

不妨令sin(x+|)=y>

■.x+^=2kn4-p即x=2/C7T,keZ,

或X+W=2/OT+拳即x=2k7r+g,fceZ,

分析可得X]=0,x2~px3=2n,

???/+&+無3=0+g+2兀=?.

本題主要考查了向量的投影以及數(shù)量積公式和三角函數(shù)的相關知識的簡單應用，屬于

中檔題.

解答本題的關鍵在于利用向量的數(shù)量積運算公式得到向量五在方方向上的投影，再運用

三角函數(shù)的相關知識即可確定m的最大值.

【解答】

解：設W與b的夾角為a,則五?b=|五|?|b|?cosa，

所以向量五在方上的投影：

m=IaI-cosa=r—

w

伍in8+c?ig+l2shMJ+0)+1

/i2+12-x/2

因為。eg,手，所以>。eg,*],

所以sing+0)￡[i,1],

所以Mmax=當.

故答案為虛.

2

4

16?【答案】解：(l)sin(a+兀)=—sina=—y=|-

(2)v￡=(Q+S)—Q,:.cos。=cos[(a+S)—a],

vsin(a+/?)=*???cos(a+￡)=±1|,

又???sina=-g,且a終邊在第三象限，??.cosa=-|.

①當cos(a+￡)=葭時，

/小.y小.12,3、5/4\-36-2()56

coso=co?(n+J)cos?+sin(a+U)sina=—x(—)H--x(—)--------------——

1351356565

②當cos(a+/?)=-II時，

cos/?=cos(a+0)cosa+sin(a+夕)sina=一絲x(—§)+三x(一：)=竺.

13\5/13\5/65

【解析】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了三角函數(shù)的誘導公式的應用，

是中檔題.

(1)由已知條件即可求sina,則sin(a4-兀)的值可得；

(2)由已知條件即可求sina,cosa,cos(a+(),

再由cos/?=cos[(a+夕)一a]=cos(a+0)cosa+sin(a+￡)sina代值計算得答案.

17.【答案】解：(1)由題意得sinx+V^cosx

=2Gsin%+Ycos%)=2sin(%+*

???函數(shù)/(%)=sinx+V3cosx+Q在(0,2兀)內(nèi)有兩個不同的零點，

?,?關于x的方程sinx+V3cosx+Q=0在(0,2TT)內(nèi)有兩個不同的根，

第14頁，共19頁

???方程5①(％+§=-B在(02九)內(nèi)有兩個不同的根.

v0<x<2n,

333

結合圖像可得，若方程有兩個不同的解，則滿足-IV-5Vl且-3，

222

解得一2<a<2且Q工—V3.

，實數(shù)a的取值范圍是(一2,-遮)U(-V3,2).

(2)v%/?是方程的相異解，

???sina+V3cosa+Q=0,①

sin￡+V3cos/?+a=0,②

①一②得(sina-sin/?)+V3(cosa-cosy?)=0，

???2sincos-2V3sinsin=0,

2222

又sin?，。,二tan?

2tan岑

???tan(a+/?)

l-tan2^^

18.【答案】解：⑴/'(x)=W(cos；-sin|)(cos；+siW)+2sin；cos]

LXX

=V3(cos9z--sin"9-)+sinx

=yf3cosx+sinx

n

—2sin(x+-).

???/(X)的最小正周期T，；=2TT;

(2)由題意，將/(x)的圖像向右平移巳個單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，

所以g(x)=2sin(x-'+§=2sin(x+

令一￡+2/CTTW%+巴工區(qū)+2攵〃，k6Z,

262

解得—~+2lcn<x<^-+2/CTT,keZ,

二g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[―4+2ZOT,(+2/OT],kEZ.

【解析】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變

換，屬于中檔題.

(1)化簡得f(x)=V3cosx+sinx=2sin(x+§,即可求出結果;

(2)由三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得g(x)=2sin(x+》，即可求出結果.

19.【答案】解：(1)a6(；,兀)，cosa=—?，

:.sina=V1—cos2cr—濃

./IT,\.n.n.75/,?、Vio

:.sin^-+aj=sin-cosa+cos-sina=—(cosa+sina)=——;

(2)vsin2a=2sinacosa=—,cos2a=cos2a—sin2a=|,

fSTT?\5n?,.57T.?83,1、，(4、3V3+4

???cos-----2a=cos——cos2a+sin——sin2a=------x-+-x—=---------

\6766252\5/10

【解析】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關系式，

兩角和與差的三角函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.

(1)利用同角三角函數(shù)基本關系式，得出sina,再利用兩角和的正弦函數(shù)公式求解即

可；

(2)利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關系式，求出s譏2a和cos2a,然后再利用兩角

差的余弦函數(shù)公式求解即可.

【答案】解：⑴

20./(x)=4cosxsin(x+^O)-1

V31

=4cosx(—sinx+-cosx)—1

=2y/3sinxcosx+2cos2x—1

=y/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

6

???/(X)的最小正周期T=7T；

⑵?一三”號，?一牌2x號，

第16頁，共19頁

???當2X+旨Y，即V時，=-1.

當24+合三即X屋時，f(X)max=2.

【解析】本題考查三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

(1)由和差角公式及二倍角公式化簡得：/(x)=2sin(2x+^),進而得最小正周期;

(2)由一?<x<9得一￡W2x+￡W根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)可得最值.

o46o3

21.【答案】解：(1)函數(shù)/。)=而(3—1+成11(5：—今

TC71n

sina)xcos---cosa)xsin---sin

66(2一的

V33

—sincox--cosa)x

22

=V3sin(a)x—g),

又/"G)=gsind3_§=0,

ooo

nn..?

-o)--=knkEZ,

o3t

解得3=6fc4-2,

又0<3V3,

??o)=2；

(U)由(I)知，/(x)=V3sin(2x-=),

將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y

bsin(x—9的圖象：

再將得到的圖象向左平移弓個單位，得到丫=