第02講平行線和全等三角形考點(diǎn)梳理一、幾何圖形知識(shí)回顧（可引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)線面出發(fā)，進(jìn)行游戲）瘋狂開(kāi)火車(chē)?yán)?老師以一排學(xué)生為開(kāi)始,每位學(xué)生說(shuō)出已經(jīng)學(xué)過(guò)的幾何圖形知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)一名同學(xué)回答完畢后，緊挨著的同學(xué)必須馬上說(shuō)出另外不同的知識(shí)點(diǎn)，依次進(jìn)行下去。二、幾何圖形考點(diǎn)概要重點(diǎn)剖析重點(diǎn)一、構(gòu)造全等三角形的方法①倍長(zhǎng)中線法：延長(zhǎng)中線，構(gòu)造一條與中線長(zhǎng)度相等的線段。例1、如圖，AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，已知AC=BF，∠DAC=35°，∠EBC=40°，求∠C度數(shù)【解析】如圖，延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM．在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA，∴BM=AC=BF，∠M=∠CAD=35°，∠C=∠DBM，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠M=∠BFM=35°，∴∠MBF=180°﹣∠M﹣∠BFM=110°，∵∠EBC=40°，∴∠DBM=∠MBF﹣∠EBC=70°，∴∠C=∠DBM=70°【舉一反三】在△ABC中，AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，

過(guò)C作直線CE,分別交AM、AB于點(diǎn)D、E，

且AD=AE，AE=6，AC=8，

求AM的長(zhǎng)【解析】如圖，延長(zhǎng)AM，使得AM=MN，連接CM在ABM△和△NCM中，∴△ABM≌△NCM（SAS）∴AB=CN=AC=8,∴AB∥CN∴∵AE=DE=6∴∵∴∵（已證）∴∴DN=CN=8∴AN=DN+AD=8+6=14∴AM=7②截長(zhǎng)補(bǔ)短法：在一條較長(zhǎng)線段上，截取一條與已知線段相等的線段，通常還有角平分線這一條件。一般用于證明線段的和差關(guān)系。例2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC【解析】證明：在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS）∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C∴∠AED=2∠C而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠C=∠EDC∴DE=CE∴AB+BD=AE+CE=AC【舉一反三】已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解析】證明：在BC上取點(diǎn)G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°∴∠BOE=∠COD=60°∵在△COD和△COG中，，∴△CODF≌△COG（SAS）∴∠COG=∠COD=60°∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE∵在△BOE和△BOG中，∴△BOE≌△BOG（ASA）∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．③運(yùn)用角平分線法：根據(jù)角平分線性質(zhì)，可以得到垂線段相等，運(yùn)用這個(gè)來(lái)解題。例3、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．證明：BE=CF【解析】證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）∴BE=CF【舉一反三】已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，且DM平分∠ADC．（1）求證：AM平分∠DAB．（2）試說(shuō)明線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【解析】（1）證明：過(guò)M作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，∴MC=ME，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM=MC=ME，在Rt△AEM與Rt△ABM中 ∴Rt△AEM≌Rt△ABM（HL）∴∠EAM=∠BAM∴AM平分∠DAB（2）AM⊥DM，證明：∵AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∴AM⊥DM．搶答環(huán)節(jié)：構(gòu)造搶答環(huán)節(jié)：構(gòu)造全等三角形的方法有哪幾種？輔助線的大致做法？重點(diǎn)二、平行線問(wèn)題中的構(gòu)造方法①平行線中有一個(gè)拐點(diǎn)或者多個(gè)拐點(diǎn)的情況，常見(jiàn)的輔助線就是過(guò)這個(gè)拐點(diǎn)或幾個(gè)拐點(diǎn)做已知直線的平行線或者延長(zhǎng)平行線之間的第三條直線。常見(jiàn)輔助線如下:例1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會(huì)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．【解析】（1）證明：作OM∥AB，如圖，∴∠1=∠BEO∵AB∥CD∴OM∥CD∴∠2=∠DFO∴∠1+∠2=∠BEO+∠DFO即：∠O=∠BEO+∠DFO（2）解：∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如圖∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．【舉一反三】如圖，已知直線a∥b，直線m和直線a、b交于點(diǎn)C和D，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B在直線b上，點(diǎn)P在直線m上，且點(diǎn)A、B的位置不變，記∠PAC=α，∠APB=β，∠PBD=γ．（1）當(dāng)點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)α、β、γ之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索α、β、γ之間的數(shù)量關(guān)系是（直接寫(xiě)出答案）．【解析】（1）β=α+γ如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥a∴∠APQ=∠PAC=α又∵a∥b∴PQ∥b∴∠BPQ=∠PBD=γ∵∠APB=∠APQ+∠BPQ∴β=α+γ（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)做PQ∥a．∵a∥b，∴PQ∥a∥b，∴∠APQ=∠PAC，∠QPB=∠PBD，∴∠QPB﹣∠QPA=∠PBD﹣∠PAC，∵∠QPB﹣∠QPA=∠APB，∴∠APB=∠PBD﹣∠PAC，即β=γ﹣α；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)做PM∥a，∵a∥b，∴PM∥a∥b，∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，∴∠MPA﹣∠MPB=∠PAC﹣∠PBD，∵∠MPA﹣∠MPB=∠APB，∴∠APB=∠PAC﹣∠PBD，即β=α﹣γ，故答案為：β=γ﹣α或β=α﹣γ．期末熱點(diǎn)題型1、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：（1）PC=cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCP？（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，BP=2t，則PC=10﹣2t（2）當(dāng)t=2.5時(shí)，△ABP≌△DCP∵當(dāng)t=2.5時(shí)，BP=2.5×2=5∴PC=10﹣5=5∵在△ABP和△DCP中，∴△ABP≌△DCP（SAS）（3）①當(dāng)BP=CQ，AB=PC時(shí)，△ABP≌△PCQ∵AB=6∴PC=6∴BP=10﹣6=4，2t=4，解得：t=2，CQ=BP=4，v×2=4，解得：v=2；②當(dāng)BA=CQ，PB=PC時(shí)，△ABP≌△QCP，∵PB=PC∴BP=PC=BC=5，2t=5，解得：t=2.5，CQ=BP=6，v×2.5=6，解得：v=2.4．綜上所述：當(dāng)v=2.4或2時(shí)△ABP與△PQC全等．【舉一反三】如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，點(diǎn)P為正方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x，△APD的面積為y（1）如圖2，當(dāng)x=2時(shí)，y=；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=；（3）當(dāng)y=12時(shí)，求x的值；（4）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得△APD的周長(zhǎng)最??？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）如圖2，∵AP=x=2，AD=6，∠A=90°，∴y=S△APD=AP?AD=6；（2）如圖3，y=S△APD=AD?AB=×6×6=18；（3）解：由已知得只有當(dāng)點(diǎn)P在邊AB或邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=12，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵S△PAD=AD?PA，∴×6×PA=12，解得PA=4，即x=4；當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵S△PAD=AD×PD，∴×