第2講

充分條件與必要條件第一章

集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式1．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件激活思維C2．“x∈A”是“x∈A∩B”的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件B3．(多選)若“x2－x－2＜0”是“－2＜x＜a”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是

( )A．1 B．2C．3 D．4BCD【解析】由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2，所以(－1，2)

(－2，a)，所以a≥2，所以實(shí)數(shù)a的值可以是2，3，4.4．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，則“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)充分不必要【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且x1＋x2＝0，所以x1＝－x2，則f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x1＝x2＝2時(shí)，滿足f(x1)＝f(x2)＝0，此時(shí)滿足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要條件．5．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么r是q的________條件，p是q的________條件．充要【解析】必要因?yàn)閝?s?r?q，所以r是q的充要條件．又q?s?r?p，所以p是q的必要條件．1．充分條件、必要條件與充要條件充分聚焦知識(shí)必要充分不必要充要既不充分又不必要2．命題(補(bǔ)充內(nèi)容)命題能夠判斷真假的語(yǔ)句原命題：若p，則q逆命題：若q，則p否命題：若?p，則?q逆否命題：若?q，則?p(1)已知x∈R，則“x＜－1”是“x2＞1”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件充要條件的判斷舉題說(shuō)法1【解析】A解不等式x2＞1，可得x＞1或x＜－1，則由充分不必要條件的判定可知“x＜－1”是“x2＞1”的充分不必要條件．(2)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件【解析】B1當(dāng)sinα＋cosβ＝0時(shí)，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即由sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要不充分條件．1．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件B【解析】由a2＝b2，得a＝±b，當(dāng)a＝－b≠0時(shí)，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，顯然a2＝b2成立，必要性成立．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．2．“x為整數(shù)”是“2x＋1為整數(shù)”的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件A【解析】3．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，則“M?N”是“a＝0”的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【解析】若M?N，則a＝0或a＝－1，故“M?N”推不出“a＝0”；反之，若a＝0，則M?N.故“M?N”是“a＝0”的必要不充分條件．B4．已知直線l：y＝kx和圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，則“k＝0”是“直線l與圓C相切”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件【解析】C(1)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則m的取值范圍是(

B

)A．(－∞，3] B．(2，3]C．? D．[2，3]結(jié)合充要條件確定參數(shù)2【解析】【解析】2(2，＋∞)變式

(1)已知a∈R，且“x＞a”是“x2＞2x”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．[2，＋∞)【解析】由x2＞2x，得x＜0或x＞2.因?yàn)椤皒＞a”是“x2＞2x”的充分不必要條件，所以a≥2.變式

(2)已知p：|x－1|＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．(0，2]【解析】已知a，b是實(shí)數(shù)，求證：a4－b4－2b2＝1成立的充要條件是a2－b2＝1.充要條件的證明3【解答】先證明充分性：若a2－b2＝1，則a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立，所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1”成立的充分條件．再證明必要性：若a4－b4－2b2＝1，則a4－b4－2b2－1＝0，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，所以a4－(b2＋1)2＝0，所以(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0，因?yàn)閍2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1成立．所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1”成立的必要條件．綜上，a4－b4－2b2＝1成立的充要條件是a2－b2＝1.【解答】隨堂練習(xí)1．已知a，b∈R，則“a＜b”是“a＜b－1”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件B【解析】如2＜2.9，但2＞2.9－1，所以由“a＜b”推不出“a＜b－1”；由a＜b－1可得a＜b－1＜b，所以由“a＜b－1”能推出“a＜b”．所以“a＜b”是“a＜b－1”的必要不充分條件．【解析】A3．設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，則“點(diǎn)M在第四象限”是“ab＜0”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．既不充分又不必要條件

D．充要條件A【解析】當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，a＞0，b＜0，可得ab＜0；當(dāng)ab＜0時(shí)，a＞0，b＜0或a＜0，b＞0.從而可判斷是充分不必要條件．4．已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，則p是q的 (

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件D【解析】當(dāng)a＝－1，b＝4時(shí)，p不能推出q；當(dāng)a＝－2，b＝－2時(shí)，q不能推出p，所以p是q的既不充分又不必要條件．【解析】(－∞，0]配套精練一、

單項(xiàng)選擇題1．a(chǎn)3＋a9＝2a6是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件B【解析】如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則一定有a3＋a9＝2a6；反之，由a3＋a9＝2a6不一定能得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列.故a3＋a9＝2a6是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的必要不充分條件．A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件【解析】C【解析】C4．關(guān)于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0有兩個(gè)不相等正根的充要條件是(

)A．a(chǎn)＜－1 B．－1＜a＜0C．a(chǎn)＜0 D．0＜a＜1B【解析】5．若1＜x＜2是不等式(x－a)2＜1成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A．[1，2) B．(1，2]C．[1，2] D．(1，2)C【解析】二、

多項(xiàng)選擇題6．下列說(shuō)法正確的是

(

)A．“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分條件B．“圓心到直線的距離等于半徑”是“這條直線為圓的切線”的充要條件C．“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要條件D．“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件BD7．下列選項(xiàng)與“x2＞x”互為充要條件的是 (

)【解析】BCx2＞x的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞).對(duì)于A，因?yàn)?1，＋∞)為(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)?x2＞2x等價(jià)于x2＞x，解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合；對(duì)于D，由|x(x－1)|＝x(x－1)，得x(x－1)≥0，解集為(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)為(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合．8．已知p：|2x－1|＜3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的一個(gè)必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是

(

)A．(－1，0) B．(－2，0]C．(－1，1) D．(－1，2]【解析】綜上，可得－1＜a＜2.故只要實(shí)數(shù)a的取值集合是集合{a|－1＜a＜2}的子集即可．【答案】AC三、

填空題9．“x＞1”是____________________的充分不必要條件．(請(qǐng)?jiān)跈M線處填上滿足要求的一個(gè)不等式)x＞0(答案不唯一)【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，例如：由x＞1，一定有x＞0；而x＞0，不一定有x＞1.10．已知條件p：－1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．(－∞，－1]【解析】因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以{x|－1＜x＜1}

{x|x＞m}，故m≤－1.乙：a為整數(shù)；丙：p是q成立的充分不必要條件；?。簉是q成立的必要不充分條件；甲：三位同學(xué)說(shuō)得都對(duì)．則a的值為_______．【解析】【答案】－1四、

解答題12．已知集合A＝{x|m－1＜x＜m2＋1}，B＝{x|x2＜4}．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求A∪B，A