【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)2-2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理知能演練新人教A版選修4-1一、選擇題1．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，下列結(jié)論中正確的有()．①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形③∠A的外角與∠C的外角互補(bǔ)④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析由“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”可知：①相等且互補(bǔ)的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對(duì)角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補(bǔ)兩內(nèi)角的外角也互補(bǔ)；④兩組對(duì)角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯(cuò)誤．答案B2．如圖所示，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊相交于E和F兩點(diǎn)，如果∠E＝30°，∠F＝50°，那么∠A為()．A．55° B．50°C．45° D．40°解析由∠A＋∠ADC＋∠E＝180°，∠A＋∠ABC＋∠F＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠A＝eq\f(1,2)(180°－∠E－∠F)＝50°.答案B3．圓內(nèi)接平行四邊形一定是()．A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形解析由于圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，平行四邊形的對(duì)角相等，所以圓內(nèi)接平行四邊形的各角均為直角，故為矩形．答案D4．如圖所示，已知在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC和BD相交于點(diǎn)E，則圖中共有相似三角形()．A．5對(duì)B．4對(duì)C．3對(duì)D．2對(duì)解析由圓周角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB.答案B二、填空題5．若BE和CF是△ABC的邊AC和AB邊上的高，則________四點(diǎn)共圓．解析由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圓．答案B、C、E、F6．若圓內(nèi)接四邊形中3個(gè)相鄰的內(nèi)角比為5∶6∶4，則這個(gè)四邊形中最大的內(nèi)角為______，最小的內(nèi)角為______．解析四邊形ABCD內(nèi)接于圓且三個(gè)相鄰內(nèi)角比為5∶6∶4，故四個(gè)角之比一定為5∶6∶4∶3，從而最大角為360°×eq\f(6,5＋6＋4＋3)＝120°，最小角為360°×eq\f(3,5＋6＋4＋3)＝60°.答案120°60°7．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝60°，則∠BAD＝________，∠BCD＝________.解析由∠A＝eq\f(1,2)∠BOD＝30°，∠BCD＝180°－∠A＝150°.答案30°150°8．若兩條直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓，則實(shí)數(shù)a解析由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a答案1或－1三、解答題9．試說明矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上．證明∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，∴OA＝OC＝OB＝OD.則點(diǎn)A、B、C、D到點(diǎn)O的距離相等，∴A、B、C、D這四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上．10．如圖所示，AB、CD都是圓的弦，且AB∥CD，F(xiàn)為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FD、AB交于點(diǎn)E.求證：AE·AC＝AF·DE.證明連接BD，因?yàn)锳B∥CD，所以BD＝AC.因?yàn)锳、B、D、F四點(diǎn)共圓，所以∠EBD＝∠F.因?yàn)椤螮為△EBD和△EFA的公共角，所以△EBD∽△EFA.所以eq\f(DE,AE)＝eq\f(BD,AF).所以eq\f(DE,AE)＝eq\f(AC,AF)，即AE·AC＝AF·DE.11．(拓展深化)如圖，已知△ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.(1)證明：B、D、H、E四點(diǎn)共圓；(2)證明：CE平分∠DEF.證明(1)在△ABC中，因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因?yàn)锳D，CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因?yàn)椤螮BD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四點(diǎn)共圓．(2)連接BH，則BH為∠ABC的平