隨機(jī)變量的分布列【考點(diǎn)系統(tǒng)歸納】離散型隨機(jī)變量——如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的概率分布（離散型隨機(jī)變量的分布列）XP離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：.離散型隨機(jī)變量的期望與方差：……為…，則有…，…，所以(2)對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機(jī)變量ξ的期望．4.幾種分布列：二點(diǎn)分布：X10P其中，則稱離散型隨機(jī)變量的X服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布.舉例：籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得一分，不中得0分.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中得概率為0.8，則他罰球一次的得分的分布列為隨機(jī)變量X服從參數(shù)的二項(xiàng)分布.二點(diǎn)分布的期望與方差：期望,方差.(2).超幾何分布：設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n≤N)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率P(X＝m)＝eq\f(CMmCN－Mn－m,CNn)(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個(gè))，稱這種離散型隨機(jī)變量的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布．超幾何分布給出了求解這類問題的方法，可以當(dāng)公式直接運(yùn)用求解．超幾何分布的期望：（3）.二項(xiàng)分布：如下：X…………由于恰好是二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中，為參數(shù)，并記＝．…二項(xiàng)分布的期望與方差：若，則正態(tài)分布：正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式：正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在x軸的上方，并且關(guān)于對(duì)稱；曲線在處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸,呈現(xiàn)“中間，兩邊”的形狀；曲線的形狀由參數(shù)確定，越大，曲線越“”，越小，曲線越“”.【典型例題精講】求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：要確定隨機(jī)變量的可能取值有哪些.明確每個(gè)值所表示的意義.分清概率類型，計(jì)算取得每一個(gè)值時(shí)的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣）.列表，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.【例1】（2010年高考上海市理科6）隨機(jī)變量的概率分布率由下圖給出：則隨機(jī)變量的均值是【例2】.(2010年全國高考寧夏卷6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（A）100（B）200（C）300（D）400【例3】（上海理9）馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律如下表請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案.【例4】（浙江理15）某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙丙公司面試的概率為，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的。記X為該畢業(yè)生得到面試得公司個(gè)數(shù)。若，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望【例5】（湖北理5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且Ｐ（＜4）＝，則Ｐ（0＜＜2）＝ Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2【例6】（天津理16）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戲中，（i）摸出3個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例7】某公司通過三次測試來聘用職員，一旦某次測試就聘用，否則就已知測試到第三次為止.設(shè)每位職員每次通過測試的概率依次為.（Ⅰ）求某職員能聘用的概率；(Ⅱ)當(dāng)為多少時(shí)，4位職員中恰有2人被聘用的概率最大，求4位職員中被聘用人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例8】【20122012海淀模擬】為了加強(qiáng)大學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)高等教育教學(xué)改革，交于部門主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽，該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參加決賽的隊(duì)伍按照抽簽的方式確定出場順序，通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊(duì)伍參加比賽。求決賽中甲，乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩個(gè)位置的概率。若決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。【例9】【2012東營一?！磕硨W(xué)校為調(diào)查了解學(xué)生體能狀況，決定對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行一次體育達(dá)標(biāo)測試，具體測試項(xiàng)目有100米跑、立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球.測試規(guī)定如下：①三個(gè)測試項(xiàng)目中有兩項(xiàng)測試成績合格即可認(rèn)定為體育達(dá)標(biāo)；②測試時(shí)要求考生先從三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)行測試，若抽取的兩個(gè)項(xiàng)目測試都合格或都不合格時(shí)，不再參加第三個(gè)項(xiàng)目的測試；若抽取的兩個(gè)項(xiàng)目只有一項(xiàng)合格，則必須參加第三項(xiàng)測試.已知甲同學(xué)跑、跳、擲三個(gè)項(xiàng)目測試合格的概率分別是、、，各項(xiàng)測試時(shí)間間隔恰當(dāng)，每次測試互不影響.（Ⅰ）求甲同學(xué)恰好先抽取跳、擲兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行測試的概率；（Ⅱ）求甲同學(xué)經(jīng)過兩個(gè)項(xiàng)目測試就能達(dá)標(biāo)的概率；（Ⅲ）若甲按規(guī)定完成測試，參加測試項(xiàng)目個(gè)數(shù)為，求的分布列和期望.【例10】【2012煙臺(tái)一?！吭谝淮螖?shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為.（1）求其中甲、乙二名學(xué)生選做同一道題的概率；（2）設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【例11】（2012湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。（Ⅰ）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。【例12】（山東理18）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例13】（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)。（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；【典型例題】參考答案【例1】（2010年高考上海市理科6）【答案】8.2【例2】.(2010年全國高考寧夏卷6）【答案】B解析：根據(jù)題意顯然有，所以，故【例3】【答案】2【例4】【答案】【例5】（湖北理5）【答案】C【例6】（天津理16）解析：（I）（i）解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則（ii）解：設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.所以X的分布列是X012PX的數(shù)學(xué)期望【例7】解析：(Ⅰ)某職員被聘用的概率為.(Ⅱ)若4位職員中恰有2人被聘用的概率由于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得.4為職員中被聘用人數(shù)的取值為0、1、2、3，01234由于服從二項(xiàng)分布，所以=2.【點(diǎn)評(píng)】此題巧妙在第二問中涉及到的最值問題.把概率問題和函數(shù)最值問題聯(lián)系到一起.利用了均值不等式求最值，確定P的值.【例8】【20122012海淀模擬】.隨機(jī)變量的分布列為：因?yàn)?，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【例9】【2012東營一模】【例10】【2012煙臺(tái)一?！拷馕觯海?）設(shè)事件表示“甲選做第21題”，事件表示“乙選做第21題”，則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”，且事件、相互獨(dú)立∴=.（2）隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且～.∴∴變量的分布表為：01234【例11】（2012湖南理18）解析：（I）（“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（Ⅱ）由題意知，的可能取值為2,3.（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為【例12】（山東理18）解析：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因?yàn)橛蓪?duì)立事件的概率公式知紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果