PAGE課時素養(yǎng)檢測二十四冪函數(shù)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是 ()A.y=5x B.y=x5 C.y=5x D.y=(x+1)3【解析】選B.函數(shù)y=5x是指數(shù)函數(shù),不是冪函數(shù);函數(shù)y=5x是正比例函數(shù),不是冪函數(shù);函數(shù)y=(x+1)3的底數(shù)不是自變量x,不是冪函數(shù);函數(shù)y=x5是冪函數(shù).2.已知m=(a2+3)-1(a≠0),n=3-1,則 ()A.m>n B.m<nC.m=n D.m與n的大小不確定【解析】選B.設(shè)f(x)=x-1,已知a≠0,則a2+3>3>0,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),則f(a2+3)<f(3),即(a2+3)-1<3-1,故m<n.【補(bǔ)償訓(xùn)練】冪函數(shù)f(x)=(m∈N)在(0,+∞)上是減函數(shù),且f(-x)=f(x),則m可能等于()A.0B.1C.2D.3【解析】選B.f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以3m-5<0(m∈N),則m=0或m=1,當(dāng)m=0時,f(x)=x-5是奇函數(shù),不合題意.當(dāng)m=1時,f(x)=x-2是偶函數(shù),因此m=1.3.(2024·成都高一檢測)已知a=1.QUOTE,b=0.QUOTE,c=QUOTE,則 ()A.c<b<a B.c<a<bC.b<a<c D.a<c<b【解析】選A.b=0.QUOTE=QUOTE=QUOTE,c=QUOTE=1.QUOTE,因?yàn)閒(x)=QUOTE在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且1.2>QUOTE>1.1,所以1.QUOTE>QUOTE>1.QUOTE,即a>b>c.4.已知當(dāng)x∈(1,+∞)時,函數(shù)y=xα的圖象恒在直線y=x的下方,則α的取值范圍是 ()A.0<α<1 B.α<0C.α<1 D.α>1【解析】選C.由冪函數(shù)的圖象特征知α<1.5.下列命題中,不正確的是 ()A.冪函數(shù)y=x-1是奇函數(shù)B.冪函數(shù)y=x2是偶函數(shù)C.冪函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.y=QUOTE既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)【解析】選C.因?yàn)閤-1=QUOTE,QUOTE=-QUOTE,所以A正確;(-x)2=x2,所以B正確;-x=x不恒成立,所以C不正確;y=QUOTE的定義域?yàn)閇0,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以D正確.6.冪函數(shù)f(x)=xα滿意x>1時f(x)>1,則α滿意條件 ()A.α>1 B.0<α<1C.α>0 D.α>0且α≠1【解析】選C.當(dāng)x>1時f(x)>1,即f(x)>f(1),在(1,+∞)上f(x)=xα是單調(diào)遞增的,所以α>0.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知2.4α>2.5α,則α的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)?<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上為減函數(shù).故α<0.答案:α<08.冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(diǎn)(3,9),那么函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是________.

【解析】由題設(shè)知f(3)=9,即3α=9,所以α=2.所以f(x)=x2,其增區(qū)間為[0,+∞).答案:[0,+∞)三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)QUOTE.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并推斷奇偶性.(2)推斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明.(3)作出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的大致圖象(不必寫出作圖過程).【解析】(1)依題意得QUOTE=(QUOTE)α,α=-2.故f(x)=x-2.f(-x)=(-x)-2=QUOTE=x-2=f(x),因?yàn)閒(x)=的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且關(guān)于圓點(diǎn)對稱，所以f(x)是偶函數(shù).(2)假設(shè)隨意x1<x2<0,f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞增的.(3)如圖.10.已知冪函數(shù)y=QUOTE(m∈Z)的圖象與x,y軸都無公共點(diǎn),且關(guān)于y軸對稱,求m的值,并畫出它的圖象.【解析】由已知,得m2-2m-3≤0,所以-1≤m≤3.又因?yàn)閙∈Z,所以m=-1,0,1,2