北辰區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中檢測試卷高二數(shù)學(xué)說明：本試卷共有選擇、填空、解答三道大題，共計(jì)120分，考試時(shí)間：100分鐘一、選擇題.（本大題共9個(gè)小題，每小題4分，共36分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請把它選出并填在答題卡上）1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算法則判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，D正確.故選：D.2.已知，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選：C.3.如果記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為，，，，那么y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過中心點(diǎn),計(jì)算即得.【詳解】由0,1，，，，可得，，，則y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn).故選：A.4.若5名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)、航模興趣小組，每人選報(bào)1項(xiàng)，則不同的報(bào)名方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式即得.【詳解】依題意，每名學(xué)生有4種報(bào)名方式，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的報(bào)名方式有種.故選：A5.在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的展開式通項(xiàng)公式，再求出x的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式，所以當(dāng)時(shí)，x的系數(shù)為.故選：B.6.設(shè)隨機(jī)變量，，則（）A.0.25 B.0.35 C.0.3 D.0.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性分析求解.【詳解】因?yàn)?，則，且，所以.故選：D.7.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A.在處取得極大值 B.是函數(shù)的極值點(diǎn)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解的單調(diào)性，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無極大值.故選：C8.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用求導(dǎo)，將函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立問題，即求出二次函數(shù)在上的最大值即得.【詳解】由可得，因在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故，即a的取值范圍是.故選：A.9.從0，2，4中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.48 B.30 C.24 D.6【答案】B【解析】【分析】考慮到百位數(shù)字非零的限制，將三位奇數(shù)分成三類，分別用排列組合數(shù)表示方法數(shù)，最后運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.【詳解】依題意，這樣的三位奇數(shù)分為三類：①元素0被選中，則應(yīng)放在十位，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有種方法；②元素2被選中，則可放在百位或十位，再從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字排在余下的兩個(gè)數(shù)位，有種方法；③元素4被選中，與②情況相同，有種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.二、填空題．（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．請將正確答案填在答題卡上）10.______．【答案】【解析】【分析】利用排列、組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即得.【詳解】因.故答案為：.11.已知，則______．【答案】【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后令可求出的值，從而可求出，進(jìn)而可求出.【詳解】由，得，所以，得，所以，所以，故答案為：12.假設(shè)某市場供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率為，乙廠產(chǎn)品的合格率為，若在該市場中隨機(jī)購買一個(gè)燈泡，則這個(gè)燈泡是合格品的概率為__．【答案】0.85##【解析】【分析】利用全概率公式求解．【詳解】由題意可知，這個(gè)燈泡是合格品的概率為．故答案為：0.85．13.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為______m/s．【答案】8【解析】【分析】利用質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)瞬時(shí)速度即質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的位移的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)在的函數(shù)值即可.【詳解】依題意，質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為，故質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故答案為：8.14.甲、乙兩射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為和，且各次射擊的結(jié)果互不影響．則甲射擊3次，擊中目標(biāo)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______；甲、乙兩射手各射擊2次，至少有1人擊中目標(biāo)的概率為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即得第一空；利用對立事件的概率公式，計(jì)算求解易得.【詳解】設(shè)甲射擊3次，擊中目標(biāo)次數(shù)為，依題意，,則；再設(shè)甲、乙兩射手各射擊2次，擊中目標(biāo)次數(shù)分別為和,則,因“至少有1人擊中目標(biāo)”的對立事件為“兩人都沒有擊中目標(biāo)”，故其概率為.故答案為：2；.15.已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，且滿足，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)為單調(diào)遞減，從而可得在上，在上，，求出不等式的解集即可.【詳解】令gx=f可知在上為減函數(shù)，而，在0,1上，，gx>0，所以；在1,+∞上，，gx<0，而，；可得在上，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則在上，，不等式等價(jià)于x>2fx<0或x<2fx故不等式的解集為.故答案為：.三、解答題．（本大題共5個(gè)小題，共60分）16.已知二項(xiàng)式展開式中，前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是11．（1）求n值；（2）求其二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差；（3）設(shè)，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)求參；（2）應(yīng)用系數(shù)和及二項(xiàng)式系數(shù)和求差；（3）賦值法做差即可求出偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.【小問1詳解】因?yàn)椋?，解得：【小?詳解】二項(xiàng)式系數(shù)之和為，令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差為小問3詳解】設(shè)，則所以17.已知箱中裝有2個(gè)白球，2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從該箱中任?。o放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）3個(gè)球，（1）求取出的三個(gè)球的顏色互不相同的概率；（2）記隨機(jī)變量為取出3球中白球的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由古典概型概率公式計(jì)算即得；（2）確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，求出它們對應(yīng)的概率，列出分布列并計(jì)算期望.【小問1詳解】設(shè)取出的三個(gè)球的顏色互不相同的事件為，則；【小問2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2．則，，．所以X的分布列為:012隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：．18.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及在的最大值與最小值．【答案】（1）（2）增區(qū)間是，減區(qū)間是，最大值是1，最小值是【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)進(jìn)而求出斜率再應(yīng)用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）先根據(jù)極值求參，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間最后再求出最值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，又，所以切線方程為，即【小問2詳解】，由題意，所以，，或時(shí)，f'x>0，時(shí)，f'所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是，由此也說明滿足題意．時(shí)，在上遞增，在上遞減，，又，，所以在上最大值是1，最小值是．19.在某次世界乒乓球錦標(biāo)賽的團(tuán)體比賽中，中國隊(duì)將對陣韓國隊(duì)．比賽實(shí)行5局3勝制，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊(duì)在每一局中獲勝的概率都是（1）求中國隊(duì)以3:0的比分獲勝的概率；（2）求中國隊(duì)在先失1局的前提下獲勝的概率；（3）假設(shè)全場比賽的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，在韓國隊(duì)先勝第一局的前提下，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；（2）利用互斥事件的概率加法公式計(jì)算即得；（3）由題意，確定的所有可能取值為，分別計(jì)算概率，列出分布列并計(jì)算.【小問1詳解】設(shè)中國隊(duì)以3：0的比分獲勝的事件為，因中國隊(duì)在每一局中獲勝的概率都是，故事件的概率為：；【小問2詳解】設(shè)中國隊(duì)在先失一局的前提下獲勝的事件為B，則有兩類情況：①中國隊(duì)連勝3局（獲勝）記為事件，則其概率為：；②中國隊(duì)在2到4局中勝2局，再勝第5局（獲勝）記事件，則其概率為：；因與是互斥事件，故；【小問3詳解】由題意知，則，，，所以X的分布列為：X345P所以X的數(shù)學(xué)期望為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式應(yīng)用和隨機(jī)變量的分布列，屬于較難題.解題關(guān)鍵在于正確理解題意，弄清所求事件的內(nèi)涵，各事件之間的關(guān)系，借助于獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進(jìn)行推理和計(jì)算.20.設(shè)函數(shù)．（1）若在點(diǎn)處的切線斜率為，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求證：在時(shí)，．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）通過計(jì)算，可求解