數(shù)學(xué)

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合加={()/,2},N={x|()<x<2},則()

A.{0,1,2}B.{1}C.(0,2)D.[0,2]

2.已知復(fù)數(shù)z=l-i+'L為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)()

1-1

A.-1B.1

C.-2D.2

3.某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度

條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)G，y)(i=L2,???,20)得到下面的散點(diǎn)圖,由此散點(diǎn)圖，在

10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率丁和溫度工的回歸方程類(lèi)型的是

)

A.y=ax+bB.y=ax2+h

C.y=a\nx+bD.y=

1

4.設(shè)拋物線(xiàn)丁=在0/上一點(diǎn)尸到x軸的距離是i,則點(diǎn)P到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離是()

A.3B.4C.7D.13

5.某小區(qū)因疫情需求，物業(yè)把招募的5名志原者中分配到3處核酸采樣點(diǎn)，每處采樣點(diǎn)至少分配一

名，則不同的分配方法共有()

A.150種B.180種C.200種D.280種

I7

6.設(shè)直線(xiàn)+l=0(m>0,〃>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-1),則一+一的最小值為()

mn

A.16B.8C.4D.2

7.如圖，某港口一天從6時(shí)到18時(shí)的水深曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)

/JIJI\

＞=45皿8+9）+5[4＞0,/＞0,一萬(wàn)＜。＜,＞據(jù)此可知當(dāng)天12時(shí)的水深為（）

A.3.5B.4C.5-^-D.5-^-

22

8.已知直線(xiàn)/：3x+4y+m=0（加＞0）被圓。：/+/2+2%一2丁-6=0所截的弦長(zhǎng)是圓心C

到直線(xiàn)/的距離的2倍，則加=

A.6B.8C.9D.11

9.在棱長(zhǎng)均等的正三棱柱ABC-A4G中，直線(xiàn)與BG所成角的余弦值為（）

D

AY管c—-7

10.己知奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足/(-x)=/(x+2),當(dāng)xe[O,l]時(shí)，/(%)=2x2,則/⑺=()

A.-2B.-1C.1D.2

11.已知球。半徑為3,其內(nèi)接圓柱的體積最大值為（）

A.兀B.65/3^C.12垂>兀D.兀

12.設(shè)a=Lle09力=0.99e,c=0.93」,則()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>b

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,而=一2前，則/.而=.

14.從2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，則所取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為

15.已知點(diǎn)尸為曲線(xiàn)y=lnx上的動(dòng)點(diǎn)，則尸到直線(xiàn)y=x+4的最小距離為.

16.若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在該雙曲線(xiàn)上，則該雙曲線(xiàn)的離心率為

三.解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，％=2,且％為生與《I的等比中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若a=2"4,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Sn.

18.記AABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a/,c,且2b=3c,8=2C.

（1）求cosC;

（2）若。=5,求c.

19.為了監(jiān)控某一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,

由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［55,65）,［65,75）,［75,85］內(nèi)

的頻率是公比為3的等比數(shù)列.

A頻率

麗

0.030------------------.

0.019------------廠(chǎng)-

0.012---------1=1

0.004----,—IIIII—

/IIIIIIII?

01525354555657585質(zhì)量指標(biāo)值

（1）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［75,85］內(nèi)的頻率；

（2）若將頻率視為概率，從該條生產(chǎn)線(xiàn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)位

于區(qū)間［45,75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，在四棱錐尸―ABC。中，底面A3CD為正方形，/%，平面43。。,/弘=43,

PD=3FD,BE=3EP.

（1）求證:AEL/C;

（2）求AE與平面AC萬(wàn)所成角的余弦值.

21.已知線(xiàn)段的長(zhǎng)度為3,其端點(diǎn)M,N分別在X軸與y軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足而=2兩.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為［￥，()),且點(diǎn)尸在第一象限時(shí)，設(shè)動(dòng)直線(xiàn)/與C相交于A5兩點(diǎn)，且兩直

線(xiàn)PA.PB的斜率互為相反數(shù)，求直線(xiàn)/的斜率.

22.己知函數(shù)=

(1)求〃幻的單調(diào)性；

(2)證明：/(幻22^1

1-5：DCCBA6-10:BACDA11-12:CD

15.比

2

16.#)

17.【小問(wèn)1】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d，則%=2+2d,即=2+10J,

由已知得(2+21)2=2(2+104),因?yàn)樗?=3,

故%=3〃-1；

【小問(wèn)2】

由⑴知2=2"4=(3〃-1)2".

所以S“=2.2+5.22+…+(3"1).2"①

2S?=2-22+5-23+---+(3n-l)-2,,+l(2)

由①一②得:_S,,=4+3?(22+…+2")_(3〃_1>2用

=4+3,'

=-(3n-4)-2"+l-8,

所以S,,=(3〃-4)2用+8.

18.【小問(wèn)小

因?yàn)?=3c,由正弦定理得2sinB=3sinC

又B=2C,所以5由3=2$畝。（：0§。,5皿。工0.

3

故cosC=—.

4

小問(wèn)2】

由余弦定理/=〃2+公一2abcosC

將a=5,b=一代入c?=25+^--—c；解得c=4或c=5

244

11

當(dāng)c=4時(shí)，Z?=6,cosB=—,cos2C=2cos~0C-l=-,滿(mǎn)足B=2C

88

當(dāng)c=5時(shí)，匕=7.5,cos8=不滿(mǎn)足6=2C,故舍去.

8

綜上:c=4.

19.【小問(wèn)1】

設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［75,85］內(nèi)頻率為x,則在區(qū)間［65,75),［55,65)內(nèi)的頻率分

別為2%和4尤.

依題意得(0.004+0.012+0.019+0.03)xl0+4x+2x+x=l,解得x=0.005.

所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［75,85］內(nèi)的頻率為0.005x10=0.05.

【小問(wèn)2】

由(1)得，這此產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［45,75)內(nèi)的頻率為0.3+02+0.1=0.6,將頻率視為

概率得p=0.6.

從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

所以X其中〃=3.

因?yàn)閄的所有可能取值為0，1，2,3,

且P(X=0)=C；x0.6°x(Id，=0.064,

p(X=1)=C；xO.61x0.42=0.288,

p(X=2)=C；X0.62X0.4'=0.432,

P(X=3)=C>O.63xO.4°=0.216.

所以X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320216

根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式可知，X的數(shù)學(xué)期望為￡(X)=〃"=3x0.6=1.8.

20.【小問(wèn)小

因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，且P4_L平面ABCQ,

則可得AB,AD,AP兩兩垂直.

以A民AD,AP所在直線(xiàn)分別為X,Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=1，

則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

因?yàn)镻D=3FD,BE=3EP,所以尸(0彳,￡|

所以是與布局“宗!

故而.定=8詞］公用=0,

所以AEJ_FC.

【小問(wèn)2】

由⑴可知:1,0)

設(shè)平面ACF的法向量為n=(x,y,z),

n-AF-0

則《

n-AC=0

2y+z=0

即《-八取x=l,則y=—Lz=2.

x+y=0

所以”=(1,T2).且亂=(；,0,q

設(shè)AE與平面AC『所成角為。,

30

21.【小問(wèn)1】

設(shè)M（m,0）,N（0,ri）,P（x,y）,則病+〃2=9

3

由已知得（x,y-〃）=2（m-x,-y）,故機(jī)=5%,〃=3y

2

代入上式整理得：—+/=1.

4

2

所以動(dòng)點(diǎn)。的軌跡C的方程為工+尸=1.

4-

【小問(wèn)2】

因?yàn)楣庶c(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為后，又點(diǎn)尸在第一象限，故尸血，

2

設(shè)/的方程為丁=乙+「代入亍+丫2=1整理得（4公+l）f+8依+4/-4=0

由已知A>0,設(shè)4（玉,y）,3（天,必），

n?—8kt4廣-4

則x.1+右=--——=-z——①

-4公+1?24/+1

由已知直線(xiàn)PA,PB的斜率互為相反數(shù)，則X—5十乂―j=0

%1一,'Jo,X-,一^2

將X=依1+f,%=依2+，代入上式整理得

2kx