綜合測評

(滿分：150分;時間：120分鐘)

-、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的)

1.若集合爐{0,l,2,3},AMxeN|0W啟2},則MCA：中元素的個數(shù)為()

2.命題p:-J+2x+2W0,貝IJ力為()

A.VxWR,/+2A+2>0

B.VxGR,丁+2戶2》0

C.3xeR,/+2A+2>0

D.3xWR,f+2用2/0

3.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當xW[0,+8)時,f(x)是增函數(shù)，則f(-2),f(n),f(-3)的大小關(guān)系是()

A.f(n)>f(-3)>f(-2)

B.f(Ji)>f(-2)>f(-3)

C.f(“)<f(-3)〈f(-2)

D.f(n)</(-2)<f(-3)

4.設(shè)函數(shù)片/'(x)有5個零點Xi,X2,Xt,XA,Xr?且對一切實數(shù)X均滿足f(xM)+f(-x)=0,則吊+%+吊+的+晶=()

5.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+8)單調(diào)遞增，則對實數(shù)46,2〉6是汽2)〉,(6)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.若函數(shù)g(x)=xf(x)的定義域為R,圖像關(guān)于原點對稱，在(-8,0)上是減函數(shù),且以2)=0,則使得/UX0的x

的取值范圍是()

A.(…⑵B.(2,+°°)

C(y,-2)U(2,+8)D.(-2,2)

7.已知x〉0,y〉0,且4戶片xy,則廣y的最小值為()

8.用符號Ur]表示不超過x的最大整數(shù),如[1.8]=1,[T.3]=-2,設(shè){*}=尸聞,若方程5}+31=0有且只有3個

實數(shù)根，則正實數(shù)"的取值范圍為()

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,

全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分)

9.若全集滬{0,1,2,3,4},集合出{0,1,4},.滬{0,1,3},則()

A.MCIAM0,1}

B.「滬⑷

C.集合"的真子集個數(shù)為8

D.J/C1((血={4}

10.下列函數(shù)中值域為R的有()

A.f{x)=3x-\B.f(x)」

(2v2

C.F(x)=1'qD.f(,x)=\x\-2

1-(-2),>2

11.已知則下列各式成立的是()

-1

A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)--=0

(-)

C.f(x)?f(-x)=1D.f(x)-/'(-x)=0

12.下列函數(shù)在其定義域上既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的有()

A.B.f(x)=-V

C.f[x)=x\x\D.f{x)=-x

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題中橫線上)

13.已知全集小R,集合a{xx(田2)<0},代{x|Ixlwi},則如圖所示的陰影部分表示的區(qū)間

是.

14.已知函數(shù)f(x)=-2：1'2若40)=-6,則實數(shù)a的值為.

15.對于函數(shù)f(x)/(x>0)的定義域中任意xi,及(為#及)有如下結(jié)論：

①f(xi+xz)=f(汨)+/.(冠：②代的版)=f(xjf(xz);

③<1：2)>0例(弋。(’)；<

其中正確結(jié)論的序號是.

16.若關(guān)于X的不等式a『lW2在[-1,1]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)設(shè)集合4=3片《加〈犬.2},比{|=1+看},白以|計1<#：2￡,tGR}.

⑴求4n8;

(2)若AOOC求實數(shù)t的取值范圍.

18.(12分)在①mxGR,*+2ax+2-a=0,②存在區(qū)間J=(2,4),廬(a,3a),使得4n廬。這兩個條件中任選一個，

補充在下面問題中，并解答.

問題:求解實數(shù)a,使得命題p:VxG[1,2],*-a>O,命題q-都是真命題.

(若選擇兩個條件分別解答,則只按第一個解答計分)19.(12分)某小區(qū)要建一座八邊形的休閑公園，如圖所示，

它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形3和￡也7/構(gòu)成的面積為200m°的十字形地域,計劃在正方形

劭明2上建一座花壇,造價為4200元41；在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價為210元/fn；

再在四個角上鋪草坪,造價為80元受地域影響，初的長最多能達到28m,其余的邊長沒有限制.

(D設(shè)總造價為S元,4〃的長為和，試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當x取何值時,S最小,并求出這個最小值.

20.(12分)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時，/,(X)=2A+1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)當求0時，方程f(x)=/+t戶2t僅有一實根(若有重根按一個計算)，求實數(shù)t的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/■(*)=*+5,a"均為正數(shù).

(1)若S+ZF2,求證:F(a)+F(求23;

(2)若…毋垃,求a^b的最小值.

22.(12分)已知函數(shù)片產(chǎn)一有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0,A/-]上是減函數(shù)，在W-,+8)上是

增函數(shù).

(D已知f(*)W：-二；XE[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間和值域；

(2)對于(D中的函數(shù)f(x)和函數(shù)&(*)=-獷2a,若對任意xy[0,1],總存在版e[0,1],使得g(十)=/%)成立,

求實數(shù)a的值.

答案全解全析

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一、單項選擇題

l.D???AHxGN|0WxW2}={0,1,2},；.加快{0,1,2},，Mn/V中元素的個數(shù)為3.故選D.

2.A因為命題p為存在量詞命題，所以下為“VxdR,*+2A+2〉0”.故選A.

3.AV偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當xe[0,+8)時；久代是增函數(shù)，.?.在區(qū)間(-8,o]±f(x)是減函數(shù),f[-

n)=/(n),/./■(it)>f(-3)>/(-2).故選A.

4.B對于任意xeR,函數(shù)f(x)滿足f(戶4)+f(-*)=0,.?.函數(shù)的圖像關(guān)于點(2,0)對稱，函數(shù)F(x)的零點關(guān)

于直線產(chǎn)2對稱，二函數(shù)f(x)的5個零點中有2對關(guān)于直線產(chǎn)2對稱,中間的零點是

2,.,.XI+X2+XS+XI+XS=2X4+2=10.故選B.

5.D因為/(*)為偶函數(shù)，且在[0,+8)單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(*)在(-8,0]單調(diào)遞減，且函數(shù)/'(*)的圖像關(guān)于

y軸對稱.若a>0>-a>4根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得即所以由a>6不能推出f(a)〉f(b);若

f(a)>fS),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得a|>|引，也不能推出a>b.

綜上,a>Z>是/?%)>/■(?的既不充分也不必要條件.故選D.

6.C函數(shù)g(x)=xf(x)的定義域為R,圖像關(guān)于原點對稱,所以g(x)是奇函數(shù)，所以g(-2)=-g(2)=0,g(0)=0.因

為函數(shù)g(x)在(-8,0)上是減函數(shù),所以g(x)在(0,+8)上也是減函數(shù).作出函數(shù)g(x)=xf(x)的大致圖像如圖

由圖可知，使得f[x)<0的X的取值范圍為(-8,-2)U(2,+8).

7.B由4盧尸孫得上4=1,則武片(世W+工)‘一+—+1+4》2a+5=9,當且僅當一一,即產(chǎn)3,尸6時取等號.

故選B.

8.B方程{x}+4『l=0有且只有3個實數(shù)根等價于片{*}的圖像與片-比葉1的圖像有且只有3個交點，當0W

K1時，{*}=x,當1WK2時，{*}=尸1,當2WK3時，{*}=尸2,當3WK4時，{0=六3,以此類推，如圖所示,則正

實數(shù)4的取值范圍為C].故選氏

二、多項選擇題

9.AD由題意，科nN={0,1},A正確;「法{2,4},B不正確;集合材的真子集個數(shù)為23-1=7,C不正確;J/n([

戒={0,1,4}n{2,4}={4},D正確.故選AD.

10.AC對于A,函數(shù)f(x)=3x-l的值域為R,故A正確；

對于B,函數(shù)f\x)。的值域為{x|掙0},故B錯誤；

對于C,當痣2時,函數(shù)Ax)=/e[0,+8),

當x>2時，f(x)=-(.2)?G(-8,o),

所以函數(shù)/'(x)//j2,的值域為R,故C正確；

1-(-2)\>2

對于D,函數(shù)f(x)=x|-2的值域為12,+8),故D錯誤.

11.BC,/f(x)+f(-x)T+-+：//wo,:.A不符合題意；

f(x)_(J-)I+-1：--==+10,B符合題意；

-1--1

.'.C符合題意；

ra)-r(-x)4V不恒等于o,

-1+1

；.D不符合題意.

故選BC.

12.BD對于A,/'(x)」在定義域(-8,0)U(0,+8)上是奇函數(shù)，但在定義域上不是減函數(shù)，故不滿足題意;對

于B"(x)=F'在定義域R上是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故滿足題意;對于C"(x)=x3=f'八在定義域R

上是奇函數(shù),且是增函數(shù)，故不滿足題意;對于D,f(x)=-x在定義域R上是奇函數(shù),且是減函數(shù),故滿足題意.故

選BD.

三、填空題

13.答案(-2,-l)U[0,l]

解析因為集合左{x|x(盧2)<0},后{3所以主{x|-2〈水0},爐bd-lWxWl},所以4U田(-2,1],4C

住11,0),所以題圖中陰影部分表示的區(qū)間為而=(-2,T)U[0,1].

14.答案-5

解析,??/?=3X：+1=3,

二/(g))=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.

15.答案②④

解析①令M=l,x>=2,則/'(苞+%)片F(xiàn)(X|)+f(xz)=|,故①錯誤；

②對于任意Xi,&(汨#&),有/(%1*)=~=f(xj/'(意，故②正確；

12

③(>(:'VO,故③錯誤；

I-2I2

_L+_L2

④2Th)〈。，故④正確.

\Z/21+2，2I2(l+2)

則正確結(jié)論的序號是②④.

16.答案[-1,11

解析I?不等式

；.-2WaZW2,

.?.TWa;<3,xW[-1,1],

若a>0,貝iJ-aWaxWa,

(43,

A-NT,解得0<aWl;

(>0,

若平0,則-1W0W3,滿足條件；

若a<0,貝！]aWa后-a,

<3,

NT,解得TWa<0.

<0,

綜上,實數(shù)a的取值范圍是[-1,1].

四、解答題

17.解析⑴,.,J=3T=V,&WxW2},

."={y|2WK4}.（2分）

.?俎I=廠+4}

...比{x|0W”〈3},（4分）

生（x|2W水3}.（5分）

（2）-AQOC,：.CCA,（6分）

①若。是空集，則2怎計1,解得tW1,符合題意；

（+1>2,

②若C為非空集合,則2<4,

（+1<2,

解得1<￡W2.（9分）

綜上所述,實數(shù)t的取值范圍為fW2.（10分）

18.解析選條件①.

由命題P為真,可得不等式V-aOO在xC[1,2]上恒成立.（1分）

因為x€[l,2],所以1W/W4,所以aWl.（3分）

由命題q為真,可得方程f+2a戶2-a=0有解，（5分）

所以判別式4=4/-4（2-4>0,

所以或aW-2.（8分）

又因為都為真命題，

所以aW-2或華1.（10分）

所以實數(shù)a的取值范圍是{aaW-2或平1}.（12分）

選條件②.

由命題P為真，可得不等式*-a》0在xe[l,2]上恒成立.（1分）

因為xd[l,2],所以1W/W4,所以aWL（3分）

因為集合田（a,3a）,所以a>0,（5分）

由/。生0得a34或3aW2,

即O〈aW：或a，4.(8分)

又因為都為真命題，所以O(shè)〈aW|.(10分)

所以實數(shù)a的取值范圍是{|0<<|}.(12分)

19.解析⑴設(shè)月JUzm,則4z^+x=200,(2分)

???^^，(4分)

/.94200/+210X(200-V)+80X2XX^12

44

=4000(2+-^)+38000(0<x^2V3).(8分)

⑵?4+寫》20(當且僅當屋丹,即產(chǎn)舊時,等號成立)，(10分)

二當產(chǎn)YTU時，5最小，

最小值為4000X20+38000=118000.(12分)

20.解析⑴由題意得，當齊0時，f(x)=0;(2分)

當X0時,一入>0,則f\-x)=2(-x)+1=-2^+1,即f(x)=-/1(-*)=-(-2戶1)=2尸1.(4分)

(2+1,>0,

綜上，/.(x)=0,=0,(6分)

(2-1,<0.

(2)當水0時，方程/(%)=/+5+21僅有一實根，

即2尸1=V十七戶2,的負根僅有一個，(7分)

即A(Z-2)X+2Z+l=0的負根僅有一個,設(shè)g(x)=x+(t-2)x+2t+l,g(x)=0的兩實根分別為矛i,物

當水0<%時,g(0)<0,即2，+1<0,解得儀T符合題意；

當為<0=小時，g(0)=0,即￡=-g,此時Y-；A=0,

解得產(chǎn)0或焉,不符合題意，舍去；

=(-2)-4(2+1)=0,

當％=*2〈0時,

解得i=12,符合題意.(10分)

綜上,實數(shù)r的取值范圍是t=12或r<-i(12分)

21.解析⑴證明：5生2,且a"均為正數(shù)，當且僅當彳ki時,取等號，(2分)

22

令t=ab,貝ij0<1,/.f(a)+AA)=a+A+?!-+^-=4-2aZH-^-=4-2?+-,令A(yù)(i)=4-2Z+-,易知力(t)在(0,1］上為減

函數(shù)，(4分)

：.h(t)>A(l)=4-2+l=3,即f(a)+f(b)33.(6分)

⑵?"(-a)=/U),作臉

Ya,b均為正數(shù)，，外后。，

；.b“一>0,.2*