規(guī)范答題增分專項(xiàng)四高考中的立體幾何

1.如圖,在平行四邊形ABCM^,AB=AC=3,ZACM=QO°.以力。為折痕將△孔￥折起,使點(diǎn)〃到達(dá)點(diǎn)〃的

位置，且力方，物.

AB

(1)證明：平面力5_L平面ABC-,

(2)0為線段/〃上一點(diǎn),尸為線段反;上一點(diǎn),且BP=DQ^DA,求三棱錐0T即的體積.

⑴證明：由已知可得/掰G90°,BALAC.

又掰_L/〃且/cn/oy

所以四，平面ACD.

又ABc平面ABC,

所以平面〃7?_L平面ABC.

(2)解：由已知可得DC=CM=AB7,DA々源.

又BP=DQ^DA,所以BPC也

AB

如圖，作QELAC,垂足為E,則QE\DC.由已知及⑴可得加工平面ABC,所以如平面ABC,QEA.因

此三棱錐Q-APB的體積為Vg-^QE?以茲力X1X；X3X2V2-sin45°=1.

2.如圖，〃為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心,/￡為底面直徑,AE=AD.△/灰7是底面的內(nèi)接正三角

形,P為加上一點(diǎn)，尸。啰雙

6

⑴證明：以_L平面PBC;

(2)求二面角6-/笠-￡的余弦值.

⑴證明：設(shè)D0=a,由題設(shè)可得P0當(dāng)a,AO*a,AB=a,PA=PB=PC^-a,因此P#+P^=A百,從而PALPB.

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又P#+Pd=Aj故PALPC.

所以為_(kāi)L平面如C

（2）解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn),—>的方向?yàn)閥軸正方向，/~7為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系Oxyz.

由題設(shè)可得點(diǎn)￡（0,1,0）,/（0,T,0）,。（（,；,0）,/（0,0,y）.

所以—（=（《,3,0）,

—^（0,-1,-）.

''2

設(shè)m-Uy,z）是平面PCE的法向量，

則1?二二：'

I=0,

可取m《-苧,1,⑹.

由⑴知一,=（0,1,苧）是平面PCB的一個(gè)法向量,記n-―\則cos<n,=（所以二面

角6-/心-￡的余弦值為竺.

5

3.（2021山東日照二模）如圖，在三棱錐/如9中，/BCDWO；BC=CDA/ACB=/ACD=9.

（1）證明:/。1劭；

⑵有三個(gè)條件:①6到。；②直線〃'與平面9所成的角為45°;③二面角4-切刃的余弦值為當(dāng)

請(qǐng)你從中選擇一個(gè)作為條件,求直線寬與平面/切所成角的正弦值.

（1）證明：如圖,取物的中點(diǎn)0,連接OA,0C,則0CVBD.

A

C

因?yàn)锽C=DC,Z.ACB=AACD=6,AC=AC,所以△/宛絲△49C；

所以隹4〃所以

又因?yàn)锳OHC0=0,AO,COc平面AOC,所以初_1平面AOC.

因?yàn)镴Ct平面AOC,所以BDkAC.

⑵解:在CA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P,使得NPOCRO。，連接PB,PD,由于%與物是平面BCD內(nèi)兩條相交

直線，故尸。，平面BCD.

分別以O(shè)C,0D,。所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

由已知得BD^2,從而OB=OD=OC當(dāng),所以PB=PD=PC.

若選①個(gè)=60°,則△戶繆是等邊三角形,PD=CD=PC=\,OP4

則《0,0,券)，G，0,0)，《。，y.0),《0,-孝,0),

設(shè)平面■力的法向量是n=(x,y,z),

--->V2V2八

=5-T=°，

一一包+包=o,

令x=l,則y=z=l,所以可取n=(l,1,1).

設(shè)直線與平面戶繆(即平面/切所成的角為。，

貝1Jsina=/cos<*,n>/-j—,'j==興

IIII。lx弓V3"3

若選②，由，平面BCD,得/PCV是&(即AC)與平面板所成的角,

所以/PCOW5°,OP=OC當(dāng)

則《0,0,券),瑞,0,0),棗，y，0),《0,4,0),

/V2V2\—/V2_V2。\一=

設(shè)平面PCD的法向量是n=(x,y,z),

令x=lf則y=z=l,所以可取n=（l,1,1）.

設(shè)直線與平面板（即平面/切所成的角為。，

貝I」sina-/cos<*,n>/j=y.

-j—IIIIlxV）33

若選③，作的切，垂足為〃連接巡

由RZL平面BCD,平面BCD,得POLCD.

因?yàn)镻OCPM=P,PO,PMc.平面汽堰所以平面POM,

又03平面?翻所以CDV0M,

所以/掰9是二面角尸-⑶-8（即二面角A-CD-B）的平面角，

已矢口cosN/W晉廠,貝!jtanZ/WW2,又在RSCW中，OM—^X^—-=

所以O(shè)P=OM?tanNPMO當(dāng)=0C,

則《0,0,,），有，0,0）,棗，V,0），T，o），

設(shè)平面PCD的法向量是n=（x,y,z）,

（.—>_叱一遮_n

令x=l,則y=z=l,

所以可取n=（l,1,1）.

設(shè)直線6。與平面R力（即平面/切所成的角為a,

同.〃//——?〉/I—t?I烽￥+[V6

貝Usm°=/cos<\…〔一Il=FT=T-

4.（2021全國(guó)II,理19）已知直三棱柱ABC-AMG中，側(cè)面留心6為正方形,AB=BC2E,尸分別為熊和

CG的中點(diǎn),〃為棱4劣上的點(diǎn),BFA_AiB\.

-----心小

----

￡

⑴證明：藥」施;

(2)當(dāng)4,為何值時(shí),平面做GC與平面叱所成的二面角的正弦值最??？

解：：?四邊形掰心6為正方形，；.ABLBB\.

又BFLAxBx,BB1cBF=B,

."歸_L平面BBCC.

又AB〃A氏

.：/8_L平面BBCC..\ABLBC.

又如il.平面ABC,

.,.AB,陽(yáng)陽(yáng)兩兩互相垂直.

以6為原點(diǎn)，掰，陽(yáng)陽(yáng)所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則點(diǎn)用0,0,0),￡(1,1,0),廣(0,2,1),得一=(0,2,1),一=(-1,1,1).

設(shè)點(diǎn)。(九0,2)(0W4W2),則-=(1-A,1,-2).

(1)證明：：(-*4)+2-2=0,

*1\.,.BFVDE.

⑵：'四_L平面陽(yáng)GC

.：n=(l,0,0)為平面圈GC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面〃煙的法向量為m=(x,y,z),

則1)+一2=0,

I?=0,I-++=0.

取x=3,則y=l+A,z=2-A.

.：111=(3,1+，，27)為平面小的一個(gè)法向量.

?3

Zcos<in,n>n~nr='/=?

IlliJ22—2+14

設(shè)平面9GC與平面小所成的二面角的平面角為。，則

sin0l-cos2<；>-1~-7-----.

V，722—2+14

要使sin。最小，只需22_；+14最大，又0W4W2,

.：當(dāng)兒4時(shí),02_；最大,即sin6最小，此時(shí)Bg.

故當(dāng)日時(shí),平面圈ac與平面力下所成的二面角的正弦值最小.

5.圖①是由矩形ADEB,和菱形母州組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=\,BE=BF咤,NFBCWQ

將其沿AB,勿折起使得BE與M重合,連接DG,如圖②.

⑴證明：圖②中的4CG,，四點(diǎn)共面,且平面/比工平面BCGE-,

(2)求圖②中的二面角B-CG-A的大小.

(1)證明：由已知得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,

故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,〃四點(diǎn)共面.

由已知得ABVBE,ABLBC,故/員L平面BCGE.

又因?yàn)槠矫鍭BC,所以平面加C_L平面BCGE.

(2)解:作磯陽(yáng)垂足為〃

因?yàn)楦?平面BCGE,平面比施工平面ABC,

所以敬L平面ABC.

由已知,菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,/EBC儂。,可求得BHC,

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn),*的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz,

則點(diǎn)/(T,1,0),C(l,0,0),G(2,0,%)，—>=(1,0,V3),=(2,-1,0).

設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,%z),

即［+^3=0,

所以可取n=(3,6,-V3).

又平面663'的法向量可取為m=(0,1,0),

所以cos<n,m>=~~-=手.

因此二面角B-CG-A的大小為30°.

6.如圖，已知三棱柱ABC-A\BC的底面是正三角形，側(cè)面即GC是矩形,M,"分別為BC,呂G的中點(diǎn)，尸

為/〃上一點(diǎn)，過(guò)右G和尸的平面交相于￡交〃于我

⑴證明：/4〃例且平面小的歸_平面EBCF;

⑵設(shè)。為△48G的中心,若〃平面EBGF,且AO=AB,求直線反￡與平面兒他V所成角的正弦值.

(1)證明：因?yàn)樗?分別為BC,BC的中點(diǎn)，所以JWCG.

又由已知得〃CG,故如1〃就

因?yàn)椤?81G是正三角形，

所以反兒

又BCJLMN,故8ig_L平面A.AMN.

所以平面4/例歸_平面EBCF.

(2)解：由已知得血吐8c以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，倔/為單位長(zhǎng),建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系Mxyz,則AB2AM=四

連接NP,則四邊形兒沖為平行四邊形,故PM當(dāng),點(diǎn)方(手］0).

由⑴知平面4旬平面ABC.作NQLAM,垂足為Q,則MZJ_平面ABC.設(shè)點(diǎn)0(a,0,0),則

“。^，律飛）,點(diǎn)8（a,1,J*（苧—a））,

又n=(0,-1,0)是平面4/仞V的一個(gè)法向量，

故sing-<,1>^A2os<h,i，=Vio

To-1

U1

所以直線6歸與平面44仞V所成角的正弦值為嚕.

7.如圖,在四棱柱ABCD-ABCR中，側(cè)棱4/_L底面ABCD,ABLAC,AB=\,AC=AA^,AD=CD=-^>,且點(diǎn)M

和"分別為笈。和〃〃的中點(diǎn).

(1)求證:歷V〃平面ABCD-,

(2)求二面角以TC-81的正弦值；

(3)設(shè)￡為棱4區(qū)上的點(diǎn),若直線?和平面40所成角的正弦值為;,求線段的長(zhǎng).

解:如圖，以力為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)2(0,0,0),6(0,1,0),。(2,0,0),〃(1,-

2,0),4(0,0,2),,(0,1,2),G(2,0,2),〃(1,-2,2).

又因?yàn)镸,"分別為6c和IXD的中點(diǎn),得點(diǎn)Ml,-2,1).

⑴證明：依題意,可得n=(0,0,1)為平面48切的一個(gè)法向量.一=(0,0).

由此可得'-n4),

又因?yàn)橹本€脈J平面ABCD,所以仞V〃平面ABCD.

(2)T=(l，22),一=(2,0,0).

設(shè)ni=U幾zi)為平面ACD,的法向量，

不妨設(shè)幻=1,可得111=(0,1,1).

設(shè)m=(居及,Z2)為平面ACBi的法向量，

則1；：二二°'又「=(°,1,2)，得｛22：42=°'

不妨設(shè)Z2=l,可得ri2=(0,-2,1).

因此有cosS,…「：T，于是Sirxh,,nQ邛.所以,二面角U-AC-&的正弦值為等.

(3)依題意，可設(shè)—7~*=其中4G[0,1],

則￡(0,九2),從而—=(-1,4+2,1).

又n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量，由已知,得cos<__>,—=]，，=

I1IIJ(-l)2+(+2)2+12

整理得X2網(wǎng)4-30,又因?yàn)閹住闧0,1],解得入二甲~2.

所以，線段的長(zhǎng)為V7-2.

8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD//BC,陽(yáng)戶90°,BC^CD^AD,￡為棱加的中點(diǎn)，異面直線PA

與繆所成的角為90°.

(1)在平面以6內(nèi)找一點(diǎn)X使得直線CW平面PBE,并說(shuō)明理由；

(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面尸"所成角的正弦值.

解：⑴在梯形相切中，相與切不平行.

如圖,延長(zhǎng)46,%相交于點(diǎn)平面PAB),點(diǎn)〃即為所求的一個(gè)點(diǎn).

理由如下：

由已知，員〃能

豆BC=ED.

所以四邊形M應(yīng)是平行四邊形.

從而CM//EB.

又旗u平面PBE,磁平面PBE,

所以■〃平面PBE.

(說(shuō)明:延長(zhǎng)”至點(diǎn)、N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線仞V上任意一點(diǎn))

(2)(方法一)由已知，CDLPA,CDLAD,PA^AD=A,

所以G9_L平面PAD.從而CDVPD.

所以/期是二面角夕-切T的平面角，所以/期N5°.

設(shè)BCA則在RtAB4/2中，PA=ADd

過(guò)點(diǎn)力作/〃，絲交磔的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃連接陽(yáng)

易