第十三章專題2將軍飲馬模型1將軍飲馬如下圖，點A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上取一點P，使得PA+PB最小.作法作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B與直線l交于點P.簡證PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，因為P'A'所以點P為所求點.2變形模型（1）如下圖，點A，B在直線l的異側(cè)，在直線l上取一點P，使得PA+PB最小.直接連接AB，交直線l于點P，此時PA+PB最小.（2）如下圖，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上做點A，B，使得?PAB的周長最小.作點P關(guān)于OM，ON的對稱點P1,P2,連接P1P2，交OM，ON于點A，（3）如下圖，點P，Q是∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上做點A，B，使得四邊形PAQB的周長最小.作點P關(guān)于OM的對稱點P'，作點Q關(guān)于ON的對稱點Q'，連接P'Q'，交OM，ON于點A，B，此時四邊形PAQB的周長最小.【題型1】將軍飲馬模型【典題1】如圖，A，B兩個村莊獨自從河流l上安裝了兩條灌溉管道AD，BE，AD⊥l于點D，BE⊥l于點E．某水務(wù)局準(zhǔn)備為兩村莊在河流l上重新安裝一臺大型的抽水設(shè)備灌溉農(nóng)田．通過測量，確定在河流l的點P處安裝抽水設(shè)備，則到兩個村莊鋪設(shè)的管道AP+BP的長度最短，此時測得∠PBE＝30°，DE＝150米，則AP+BP的最小值為()A．180米 B．210米 C．240米 D．300米【典題2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點，E、F分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為()A．152 B．5 C．3 D．【典題3】如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF＝5，則AB的長為()A．10 B．8 C．7 D．9【鞏固練習(xí)】1.如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是()A．13 B．14 C．15 D．2.如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB于點E、F．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值是()A．11 B．13 C．18 D．243.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為()A．15° B．° C．30° D．45°4.如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是24，E為腰AB的垂直平分線MN上一動點．點D為BC的中點，則△BDE的周長的最小值為.5.如圖，過邊長為2的等邊三角形ABC的頂點C作直線l⊥BC，然后作△ABC關(guān)于直線l對稱的△A'B'C，P為線段A'C上一動點，連接AP，PB，則AP+6.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE．(1)說明：AE＝CE＝BE；(2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直線DE上的一點，則當(dāng)P在何處時，PB+PC最小，并求出此時PB+PC的值．【題型2】將軍飲馬的變形模型【典題1】如圖，∠AOB＝60°，點P為∠AOB內(nèi)一點，點M、N分別在OA、OB上，當(dāng)△PMN周長最小時，∠MPN的度數(shù)是()A．120° B．60° C．30° D．90°【典題2】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分別是BC，DC上的點，當(dāng)△AMN的周長最小時，∠MAN的度數(shù)為()A．72° B．36° C．108° D．38°【鞏固練習(xí)】1.已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當(dāng)△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數(shù)是()A．40° B．100° C．140° D．50°2.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動點，則DE+EF+FD的最小值是()A． B． C． D．63.如圖，△ABD是邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的動點，若∠ADC＝∠ABC＝90°，則△CEF周長的最小值為．4.已知點P在∠MON內(nèi)．(1)如圖1，點P關(guān)于射線OM的對稱點是G，點P關(guān)于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝；②若PO＝5，連接GH，請說明當(dāng)∠MON為多少度時，GH＝10；(2)如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點，當(dāng)△PAB的周長最小時，求∠APB的度數(shù)．【A組基礎(chǔ)題】1.如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝，BC的垂直平分線MN交AB于點D，P是直線MN上的任意一點，則PA+PC的最小值是()A．2 B．3 C． D．2.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+MN的最小值是()A． B．3 C．4 D．3.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點E是AC邊的中點，點P是AD上的一個動點，當(dāng)PC+PE最小時，∠PCD的度數(shù)是()A．90° B．60° C．45° D．30°4.如圖，∠AOB＝30°，點D是它內(nèi)部一點，OD＝m．點E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個動點，則△DEF周長的最小值為()A．m B．m C．m D．2m5.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分別是邊AB，AD上的動點，當(dāng)△MCN的周長最小時，∠MCN的大小是()A．50° B．70° C．90° D．100°6.如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當(dāng)EP+PF的值最小時，BF＝7，則AC為．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是．8.如圖，∠AOB＝15°，M是邊OA上的一個定點，且OM＝12cm，N，P分別是邊OA、OB上的動點，則PM+PN的最小值是．9.如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點E是AB邊上一動點，點P是AD上的一個動點．(1)若∠BAD＝37°，求∠ACB的度數(shù)；(2)若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB時，求CE的長；(3)在(2)的條件下，請直接寫出BP+EP的最小值．【B組提高題】1.如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點，點E