4.1因式分解考點一：因式分解的定義．把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．技巧：因式分解注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．題型一：判斷是否為因式分解1．（2023秋·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）下列各式屬于因式分解的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的定義，利用排除法求解．【詳解】解：A、是多項式的乘法，不是因式分解；B、，因式分解錯誤；C、，是因式分解；D、的右邊不是積的形式，不是因式分解；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷．2．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習(xí)）下列從左到右的變形是因式分解的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用因式分解的定義逐一判斷即可解題．【詳解】解：A．，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．，是乘法交換律，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C．，從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D．，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查因式分解的定義，解題的關(guān)鍵在于正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷．3．（2023秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用因式分解的定義以及整式的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】解：A．，從左到右的變形，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；B．，從左到右的變形，是整式的乘法運算，故此選項不符合題意；C．，從左到右的變形，是整式的乘法運算，故此選項不符合題意；D．，從左到右的變形，是因式分解，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查因式分解的意義．正確掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．題型二：由因式分解的結(jié)果求參數(shù)4．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）若多項式因式分解的結(jié)果為，則的值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】A【分析】由整式乘法與因式分解互逆，則根據(jù)多項式乘多項式即可求得b、c的值，即可求解．【詳解】解：，，，，故選：A．【點睛】本題考查的是多項式乘以多項式，以及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的運算法則．5．（2023春·八年級課時練習(xí)）若把多項式分解因式后含有因式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用十字相乘的方法分解因式，即可求出的值．【詳解】解：∵多項式分解因式后含有因式，∴，∴．故選：C【點睛】本題考查了因式分解的意義，熟練掌握十字相乘的方法分解因式是解本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）若多項式可因式分解為，則

的值為（）A．-4 B．4 C．-14 D．14【答案】B【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算，再根據(jù)已知條件求出m即可．【詳解】解：==∵關(guān)于x的多項式可因式分解為，∴m=4，故選：B．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式法則和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法等．一、單選題7．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，進行判斷即可．【詳解】解：A．，是整式乘法，不是因式分解，故本選項不合題意；B．，符合因式分解的定義，故本選項符合題意；C．，等式的左邊不是多項式，不是因式分解，故本選項不合題意；D．，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不合題意．故選：B．【點睛】本題考查因式分解的識別．熟練掌握因式分解的定義，是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的，逐項分析判斷即可．【詳解】A、右邊不是積的形式，不是因式分解，不合題意；B、不是多項式，不是因式分解，不合題意；C、是因式分解，符合題意；D、是多項式的乘法，不是因式分解，不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的概念，熟練掌握因式分解就是把一個多項式寫成幾個整式的積的形式是解題的關(guān)鍵.9．（2023秋·河北張家口·八年級張家口市第一中學(xué)?？计谀┤簦瑒t、的值分別為（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【答案】B【分析】把式子展開，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，列式求解即可得到、的值．【詳解】解：，，，，，，、的值分別為：4，．故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解的意義；根據(jù)多項式乘多項式的法則，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求解是解本題的關(guān)鍵．10．（2023秋·江蘇南通·八年級如皋市實驗初中?？计谀┮阎?，整式．(1)若，求的值；(2)若可以分解為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡，再根據(jù)完全平方公式以及對應(yīng)系數(shù)相等求得a值即可；（2）先化簡，再利用多項式乘以多項式展開使得對應(yīng)系數(shù)相等求出a值即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∵可以分解為，∴，∴，∴．【點睛】本題考查整式的混合運算，因式分解、完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答的關(guān)鍵．11．（2022秋·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為，得則∴．解得：，∴另一個因式為，m的值為．問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及p的值．【答案】另一個因式為，p的值為15【分析】仿照例題解法思路和步驟，設(shè)另一個因式為，利用整式乘法運算法則求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個因式為，得，則，∴解得：，．∴另一個因式為，p的值為15．【點睛】本題考查因式分解、整式的乘法、解二元一次方程組，看懂題中所給的解題思路，掌握因式分解與整式乘法是互逆變形是解答的關(guān)鍵．一、單選題12．（2023秋·北京東城·八年級北京市第五中學(xué)分校?？计谥校┫铝懈魇?，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，即可求出答案．【詳解】解：A、，不是因式分解，故A錯誤；B、，不是因式分解，故B錯誤；C、，不是因式分解，故C錯誤；D、，是因式分解，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查因式分解的定義，解題的關(guān)鍵正確理解因式分解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．13．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中校考期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義進行判斷即可．【詳解】A：等式左邊不是多項式，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；B：等式從左到右的變形屬于因式分解，故此選項符合題意；C：等式右邊不是整式積的形式，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；D：等式從左到右屬于整式的乘法，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查因式分解的定義，把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫因式分解，掌握其定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·河南許昌·八年級許昌市第一中學(xué)?？计谀┫铝械仁街?，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義解答即可．【詳解】A.從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B.從左至右的變形屬于整式乘法且計算錯誤，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C.從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D.右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是因式分解，熟知把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．，選項從左到右的變形不正確，故本選項不符合題意；C．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．16．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用分解因式的定義分析即可解答．【詳解】解：A．是整式乘法運算，故此選項錯誤；B．不符合分解因式的定義，故此選項錯誤；C．是分解因式，符合題意；D．不符合分解因式的定義，故此選項錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了因式分解的意義，把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解．17．（2022秋·山東濱州·八年級?？计谀┡袛嘞铝懈魇綇淖蟮接业淖冃?，其中不是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項分析即可．【詳解】A．是因式分解，不符合題意；B．是乘法運算，符合題意；C．是因式分解，不符合題意；D．是因式分解，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．18．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）下列由左邊到右邊的變形，屬于分解因式的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，不是因式分解，故該選項不正確，不符合題意；

B.，是整式乘法，不是因式分解，故該選項不正確，不符合題意；

C.，不是多項式的乘積的形式，不是因式分解，故該選項不正確，不符合題意；

D.，屬于因式分解，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．二、填空題19．（2023春·八年級課時練習(xí)）若是多項式的一個因式，則______．【答案】2【分析】設(shè)多項式的另一個因式是，根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式的乘積的形式，計算對比得出答案．【詳解】解：設(shè)多項式的另一個因式是，∴，∴，，即，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的意義，利用整式的系數(shù)得出另一個因式是解決問題的關(guān)鍵．20．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知多項式能分解為，則______，______．【答案】

；

．【分析】把展開，找到所有和的項的系數(shù)，令它們的系數(shù)分別為，列式求解即可．【詳解】解：∵．∴展開式乘積中不含、項，∴，解得：．故答案為：，．【點睛】本題考查了整式乘法的運算、整式乘法和因式分解的關(guān)系，將結(jié)果式子運用整式乘法展開后，抓住“若某項不存在，即其前面的系數(shù)為0”列出式子求解即可．21．（2023秋·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩個同學(xué)分解因式時，甲看錯了，分解結(jié)果為；乙看錯了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運算和，確定、的值，然后進行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，又∵乙看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結(jié)果為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算以及因式分解的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出、的值．22．（2022秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習(xí)）若能分解成，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)多項式分解成，所以整式乘法得出的多項式與相同，由此得出一次項系數(shù)的值．【詳解】解：，∵是由分解成的，∴一次項系數(shù)．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握整式乘法與因式分解為互逆的運算過程是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的多項式含有因式，則實數(shù)的值為______．【答案】1【分析】設(shè)另一個多項式為，再利用整式的乘法進行整理得得到對應(yīng)各項系數(shù)，然后求得的值．【詳解】解：設(shè)多項式的另一個因式是，則，∴，∴，．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了因式分解的綜合應(yīng)用，設(shè)出另一個因式，再利用整式的乘法找到各項系數(shù)，使之對應(yīng)相等是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題24．（2023春·八年級課時練習(xí)）如果多項式分解因式的結(jié)果為，則當時可得，此時可把代入中得出．利用上述閱讀材料解答以下兩個問題：(1)若多項式有一個因式為，求的值；(2)若，是多項式的兩個因式，求、的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）把代入得到，求得的值即可；（2）分別將和代入得到有關(guān)、的方程組求得、的值即可．【詳解】（1）解：令，即當時，得：，解得：．∴的值為．（2）令，即當時，得：①，令，即當時，得：②，由①，②得：，．∴的值為，的值為．【點睛】本題考查因式分解的意義，一元一次方程，二元一次方程組．解題的關(guān)鍵是熟悉因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互