第二章基本初等函數(shù)

金鄉(xiāng)高中金瑜

§2.1指數(shù)函數(shù)

2.1.1指數(shù)與指數(shù)累的運算(三課時)

第一課時：

教學目標：1.理解n次方根、根式的概念；

2.正確運用根式運算性質(zhì)；

3.培養(yǎng)學生認識、接受新事物和用聯(lián)系觀點看問題的能力。

教學重點：根式的概念、運算性質(zhì)

教學難點：根式概念的理解

教學方法入學導(dǎo)式

(I)創(chuàng)設(shè)情景；

閱讀問題I、問題2,認識將指數(shù)的取值范圍進行推廣的重要性和必要性。

(II)復(fù)習回顧

引例：填空

(1)罐=〃4?.(〃€“)；a°=_(awO)；a-"=__(aH0,neN")⑴⑵復(fù)習整數(shù)

指數(shù)暴的概念和

(2)aman=____(m,n￡Z)；(am)n=___(m,n^Z)；(ab)n=___(n￡Z)運算性質(zhì)；

(3)V9=___；-V9=______；Vo=_

⑶(4)復(fù)習平方

根的概念

⑷(Va)2=_____(a>0)；Va^~=________

(皿)講授新課

2=4,(-2)2=4=>2,-2叫4的平方根

2=8=2叫8的立方根；(-2)3=-8=>-2叫-8的立方根

2=32=>2叫32的5次方根…2n=a=>2叫a的n次方根

Ln次方根的定義：(板書〕

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的n次方根(nthroot),其中〃>1,且“eN*。

問題1：n次方根的定義給出了，x如何用a表示呢？X=或是否正確？

分析過程：

例】根據(jù)n次方根的概念，分別求出27的3次方根，-32的5次方根，a，的3次方根。(要

求完整地表達求解過程)

結(jié)論1:當n為奇數(shù)時［跟立方根一樣)，有以下性質(zhì)：正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負數(shù)的n

次方根是負數(shù)，任何一個數(shù)的方根都是唯一的。此時，a的n次方根可表示為x=U^。

從而有：V27=3,五方=一2,V^=a2

例2根據(jù)n次方根的概念，分別求出16的4次方根，-81的4次方根。

結(jié)論2：當n為偶數(shù)時(跟平方根一樣)，有以下性質(zhì)：正數(shù)的n次方根有兩個且互為相反

數(shù)，負數(shù)沒有n次方根。此時正數(shù)a的n次方根可表示為：±&(a〉0)

其中而表示a的正的n次方根，-或表示a的負的n次方根。

例3根據(jù)n次方根的概念，分別求出。的3次方根，0的4次方根。

結(jié)論3：0的n次方根是0,記作弼=0,即或當a=0時也有意義。

這樣，可在實數(shù)范圍內(nèi)，得到n次方根的性質(zhì)：

3.n次方根的性質(zhì)：(板書)

[\[a,n=2k+\r—

x=「伏eN*)其中加叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。

\±'yja,n=2k

注意：根式是n次方根的一種表示形式，并且，由n次方根的定義，可得到根式的運算性質(zhì)。

4.根式運算性質(zhì)：(板書)

①(G=a,即一個數(shù)先開方，再乘方(同次)，結(jié)果仍為被開方數(shù)。

問題2：假設(shè)對一個數(shù)先乘方，再開方(同次)，結(jié)果又是什個?

例4：求1(—2)3，療，療，J(-3產(chǎn)

由所得結(jié)果，可有：1板書)

〃為奇數(shù)；

②而=?

Jal,〃為偶數(shù)

性質(zhì)的推導(dǎo)(略)：

(IV)例題講解

例1.求以下各式的值：

(向(-8>(2)V(-1O)2⑶刈(3—萬>[4)J(a-b)2(a>b)

注意：根指數(shù)n為奇數(shù)的題目較易處理，要側(cè)重于根指數(shù)n為偶數(shù)的運算。

(III)課堂練習：求以下各式的值

(1)^^32(2)J(-3V(3)7(72-V3)2(4)75-276

(IV)課時小結(jié)

通過本節(jié)學習，大家要能在理解根式概念的基礎(chǔ)上，正確運用根式的運算性質(zhì)解題。

(V)課后作業(yè)

1、書面作業(yè)：

書P65習題2.1A組題第1題。

2、預(yù)習作業(yè)：

a.預(yù)習內(nèi)容：課本P55-Psso

b.預(yù)習提綱：

(1)根式與分數(shù)指數(shù)哥有何關(guān)系？

(2)整數(shù)指數(shù)暴運算性質(zhì)推廣后有何變化？

第二課時:

教學目標：1.理解分數(shù)指數(shù)幕的概念；

2.正確運用有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)；

3.培養(yǎng)學生認識、接受新事物和用聯(lián)系觀點看問題的能力。

教學重點：分數(shù)指數(shù)塞的概念和運算性質(zhì)

教學難點：分數(shù)指數(shù)基概念的理解

教學方法:…學導(dǎo)式

（I）復(fù)習回顧

1.填空

(1)V-64=—一,V32=____一;(2)我T=___網(wǎng)=_______；

(3)(V3)4=一探>=__一;(4)月=—一炳=________;

(5),-2)5=__，V（-3）7=一_;⑹V(T)6=_—，歸=______.

（II）講授新課

分析:對于“填空”中的第四題，既可根據(jù)n次方根的概念來解：???（a2）5=a[.?.湎=a2；

也可根據(jù)n次方根的性質(zhì)來解：湎=孤2）5=a2。

問題1：觀察湎=a2,&^=a3,結(jié)果的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)，根指數(shù)有什么關(guān)系？

問題2：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否可以寫成分數(shù)指數(shù)幕的形

2

式？如：療=a?是否可行？

22

分析：假設(shè)基的運算性質(zhì)（am）n=amn對于分數(shù)指數(shù)基也適用，那么年37=a^=a2,這

2

說明”也是a?的3次方根，而行也是/的3次方根（由于這里n=3,a?的3次方根唯一），

于是療=a§。這說明廂=a3可行。

由此可有：

1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)塞的意義：〈板書〉

m

=y[a^(a>0,m,neN*,且〃>1)

注意兩點:一是分數(shù)指數(shù)募是根式的另一種表示形式；二是要注意被開方數(shù)a”的塞指數(shù)n與

根式的根指數(shù)n的一致性。根式與分數(shù)指數(shù)暴可以進行互化。

問題3：在上述定義中，假設(shè)沒有“a>0"這個限制，行不行？

分析：正例：（-8*=口=一2聞（一2）。=（―2）《=（一2-=4,（-2A=取-2?等等;

2_______12

反例：(—8*=4=-2,(-8)%=0(-8)2=2,而實際上—=一；

36

問題4：如何定義正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)塞和0的分數(shù)指數(shù)累？

分析：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)第的定義與負整數(shù)指數(shù)幕的意義相仿；0的分數(shù)指數(shù)靠與0的非0

整數(shù)事的意義相仿。

2.負分數(shù)指數(shù)幕：〈板書〉

-"1

a"=——(a>0,，”,〃GN*,一且〃>1)

a''

3.0的分數(shù)指數(shù)幕：(板書)

。的正分數(shù)指數(shù)基為0,。的負分數(shù)指數(shù)塞無意義(為什么？)。

說明：(1)分數(shù)指數(shù)幕的意義只是一種規(guī)定，前面所舉的例子只表示這種規(guī)定的合理性；

(2)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)基的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)；

(3)可以驗證整數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)，對于有理數(shù)幕也同樣適用，即(板書)

rsr+

aa=a\a>O,r,seQ);

(ar)s=a"(a>O,r,seQ)

(ab)r=arbr(a>O,b>O,reQ)

問題5：假設(shè)a>0,a是無理數(shù)，那么a0該如何理解？(引導(dǎo)學生先閱讀課本P62P62)

即：血的不足近似值，從由小于血的方向逼近收，7傷的過剩近似值從大于近的方向

逼近也.

所以，當④不足近似值從小于近的方向逼近時，5忘的近似值從小于5&的方向逼近5點.

當行的過剩似值從大于正的方向逼近正時，5女的近似值從大于5應(yīng)的方向逼近5&,

(如課本圖所示)

由此，同樣可規(guī)定aP(p>O,p是無理數(shù))的意義：

①a”表示一個確定的實數(shù)；

②上述有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)累都適用，有關(guān)概念和證明從略；

③指數(shù)概念可以擴充到實數(shù)指數(shù)(為下一小節(jié)學習指數(shù)函數(shù)作鋪墊)。

(HI)例題講解：

3_1116-2

例2.求值：83,1002,(1)-3,(―)4

481

分析：此題主要運用有理指數(shù)基的運算性質(zhì)。

例3.用分數(shù)指數(shù)基的形式表示以下各式：

a2-Va,<23.(式中a>0)

分析：此題應(yīng)結(jié)合分數(shù)指數(shù)暴意義與有理指數(shù)幕運算性質(zhì)。

(IV)課堂練習

課本P59練習：1、2

(V)課時小結(jié)

通過本節(jié)學習，要求大家理解分數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握分數(shù)指數(shù)幕與根式的互化，熟練運用

有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)。

(V)課后作業(yè)

1、書面作業(yè)：課本網(wǎng)5習題2.1A組題第2

2、預(yù)習作業(yè)

(1)預(yù)習內(nèi)容：課本Pei例題4、5。

(2)預(yù)習提綱：

a.根式的運算如何進行？

b.利用理指數(shù)基運算性質(zhì)進行化簡、求值，有哪些常用技巧？

第三課時

教學目標..................

1.掌握根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化；

2.熟練運用有理指數(shù)募運算性質(zhì)進行化簡、求值;

3.培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識。

教學重點:…有理指數(shù)募運算性質(zhì)運用。

教學.難點一化簡、求值的技巧

版學方就…啟發(fā)引導(dǎo)式

教學.過港...............

(I)復(fù)習回顧

1.分數(shù)指數(shù)募的概念，以及有理指數(shù)第的運算性質(zhì)

分數(shù)指數(shù)事概念有理指數(shù)基運算性質(zhì)

7

a=#a1as=ar+s(a>0,r,sGQ)；

a1=^=-7=

rs

Nd(〃')'=a(a>0,r,sGQ)

(?>0,m,neN*,且"1)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ)

2.用分數(shù)指數(shù)幕表示以下各式(a>0,x>0)

期擊殺g

(II)講授新課

例1.計算以下各式(式中字母都是正數(shù))

2|||￡51

⑴(2a3b2)(-6a2b3)+(-3aCb%);(2)(m4n一，產(chǎn)

分析：m題可以仿照單項式乘除法進行，首先是系數(shù)相乘除，然后是同底數(shù)暴相乘除，并

且要注意符號。(2)題先按積的乘方計算，后按新的乘方計算，等熟練后可簡化計算步驟。

對于計算的結(jié)果不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求,就用分數(shù)指數(shù)零的形式表示。

如果有特殊要求，可根據(jù)要求給出結(jié)果，但:

①結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)；②不能同時含有分母和負指數(shù);

③根式需化成最簡根式。

例2.計算以下各式:

a2

(1)(a>0);(2)(V25-V125)-V5

分析：(1)題把根式化成分數(shù)指數(shù)基的形式，再計算。

(2)題先把根式化成分數(shù)指數(shù)基的最簡形式，然后計算。

例3.求值：

(1)75+276+J7-4G々6-4衣⑵2百xVh5X痘

分析：(1)題需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質(zhì)：

要求：例3學生先練習，后講評，講評時需向?qū)W生強調(diào)求值過程中的變形技巧。

(III)課堂練習

計算以下各式：

1121

(1)162-(―)4-(-F3

162

(2)[-5+3X(A)0]-2

要求：學生板演練習，做完后老師講評。

(IV)課時小結(jié)

通過本節(jié)學習，要求大家能夠熟練運用有理數(shù)基運算性質(zhì)進行化簡、求值，并掌握一定的解

題技巧，如湊完全平方、尋求同底基等方法。

(V)課后作業(yè)

書面作業(yè)：課本P65,習題2.1A組第4題

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔1〕

教學目標

1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

2.能借助計算機或計算器畫指數(shù)函數(shù)的圖象.

3.能由指數(shù)函數(shù)圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

教學重點

指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).

教學難點

用數(shù)形結(jié)合的方法從具體到一般地探索、概括指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

教學過程

一、以生活實例，引入新課

材料1：某種細胞分裂時，由I個分裂成2個，2個分裂成4個……一個這樣的細胞分

裂x次后，得到的細胞分裂的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是什么？

材料2：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730

年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含

量產(chǎn)與死亡年數(shù)，之間的關(guān)系，這個關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢？

結(jié)論：尸2*.2=弓)5730.

1，

請問關(guān)系式y(tǒng)=2',P=(-)573。有什么共同特征嗎？

11

結(jié)論：在關(guān)系式產(chǎn)2,和P=(])573。中，每給一個自變量都有唯一的一個函數(shù)值和

它對應(yīng)，因此關(guān)系式產(chǎn)2、和P=(士1)573。都是函數(shù)關(guān)系式，且函數(shù)產(chǎn)2,和函數(shù)尸=(；1)

而在形式上是相同的，解析式的右邊都是指數(shù)式，且自變量都在指數(shù)位置上.即都可以用

>=優(yōu)且。￥1來表示).這就是我們下面所要研究的一類重要函數(shù)模型——指數(shù)

函數(shù).

二、講解新課

(-)指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)產(chǎn)爐(a>o,叫做指數(shù)函數(shù)，其中*是自變量，函數(shù)的定義域

是R.

知識拓展：(1)定義域為什么是實數(shù)集？

(2)在函數(shù)解析式產(chǎn)出中為什么要規(guī)定a>0,aWl?

練習：判斷以下函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)：①y=2?3七②)=3廠%③)=京@y=—3V；⑤產(chǎn)

(—3)x；⑥產(chǎn)"；(7)y=3x2；⑧尸爐；⑨尸[2a—1)v(6Z>,且.

只有⑥⑨為指數(shù)函數(shù).

（-）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

問：指數(shù)函數(shù)產(chǎn)"，其中底數(shù)。是常數(shù)，指數(shù)X是自變量，幕y是函數(shù).底數(shù)“有無窮

多個取值，不可能逐一研究，選函數(shù)片2'為例

完成以下表格，并且用計算機畫出函數(shù)y=2、的圖象

X-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00

1

y=2x124

42

結(jié)合函數(shù)產(chǎn)2'的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性），分析函數(shù)的圖象特征

合作探究：是否所有的指數(shù)函數(shù)的圖象均與產(chǎn)2,的圖象類似？

畫出函數(shù)y=8，，尸3.5。尸17,）=0.8,的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

結(jié)論：）=08的圖象與其余三個圖象差別很大，其余三個圖象與產(chǎn)2'的圖象有點類似,

說明還有一類指數(shù)函數(shù)的圖象與產(chǎn)2*有重大差異.那么從中選擇一個具體函數(shù)進行研究，

以函數(shù)產(chǎn)（g），的圖象.為例

合作探究：函數(shù)產(chǎn)2,的圖象和函數(shù)尸（g），的圖象的異同點.給出結(jié)論教材第62頁

圖表

函數(shù)"的圖象和函數(shù)產(chǎn)(卜的圖象有什么關(guān)系?

合作探究:

結(jié)論：函數(shù)y=2'.的圖象和函數(shù)產(chǎn)(!)，的圖象關(guān)于)，軸對稱.

證明：因為函數(shù)產(chǎn)(1)*=2-'點5,y)與(-x,y)關(guān)于y軸對稱，所以產(chǎn)2,.的

圖象上的任意一點P5,y)關(guān)于)，軸的對稱點P(-x,y)都在產(chǎn)［g)，的圖象上，反

之亦然.根據(jù)這種對稱性就可以利用函數(shù)產(chǎn)2'.的圖象得到函數(shù)產(chǎn)，的圖象.

合作探究：如何快速地畫出指數(shù)函數(shù)簡圖？

(1)要注意圖象的分布區(qū)域：指數(shù)函數(shù)的圖象知分布在第一、二象限；

12)注意函數(shù)圖象的特征點：無論底數(shù)取符合要求的任何值，函數(shù)圖象均過定點

(0,1)；

(3)注意函數(shù)圖象的變化趨勢：函數(shù)圖向下逐漸接近x軸，但不能和x軸相交.

〔三)例題講解

［例1］求以下函數(shù)的定義域：

(1)產(chǎn)8??；(2)y=(|)|x1

(1)函數(shù)的定義域是{x|xGR,x^-}(2)函數(shù)的定義域是R

2;

［例2］指數(shù)函數(shù)/(幻=相">0且aWl)的圖象過點(3,“)，求

/(0))(1),/(-3)的值.

三、鞏固練習

課本P68練習1>2

四、課堂小結(jié)

1.指數(shù)函數(shù)的定義以及指數(shù)函數(shù)的一般表達式的特征.

2.指數(shù)函數(shù)簡圖的作法以及應(yīng)注意的地方.

3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

4.結(jié)合函數(shù)的圖象說出函數(shù)的性質(zhì)，這是一種重要的數(shù)學研究思想和研究方法一一數(shù)形

結(jié)合思想1方法).

5.a的取值范圍是今后應(yīng)用指數(shù)函數(shù)討論問題的前提.

五、布置作業(yè)

課本P69習題2.1A組第5、6、題.

探究：比較函數(shù)產(chǎn)2,和產(chǎn)10'的圖象以及產(chǎn)弓)，和尸(-1)，的圖象.

思考底數(shù)?的變化對圖象的影響.

結(jié)論：在第一象限內(nèi)，底數(shù)a越小，函數(shù)的圖象越接近x軸.

補充作業(yè)

1.函數(shù)y=(24—3a+2)爐是指數(shù)函數(shù)，那么。的取值范圍〔)

A.a>0,aWlB.a=lC.a=—D.a=l或a=—

22

2.函數(shù)y=〃-2+ig>o,。之1)的圖象必經(jīng)過點()

A.(0,1)B.[1,1)

C.(2,0)D.[2,2)

3.證明函數(shù)產(chǎn)"和產(chǎn)“r(a>0,且“Wl)的圖象關(guān)于)，軸對稱.

參考答案：

l.C2.D

7.設(shè)P5”%)是函數(shù)廣〃(a>0,且aWl)的圖象上任意一點，那么州=?！唬?/p>

而Pi(xi>y\]關(guān)于y軸的對稱點是Q(一X”》)，

x(x>

：.yx=a'=a~~'，即Q在函數(shù)尸a)的圖象上.

由于P是任意取的，.?.產(chǎn)爐上任一點關(guān)于y軸的對稱點都在產(chǎn)。'.的圖象上.

同理可證：)=/，圖象上任意一點也一定在函數(shù)產(chǎn)"的圖象上，

x

二函數(shù))=a，和y=a~的圖象關(guān)于y軸對稱.

.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔2〕

教學目標

1.加深對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握.

2.掌握對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

教學重點

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用.

教學難點

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的具體應(yīng)用.

教具準備

多媒體課件、投影儀、打印好的作業(yè).

教學過程

一、回顧舊知，引入新課

1、回顧指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2、快速畫指數(shù)函數(shù)圖象的注意點

二、講解新課

(-)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小

I例1］比較以下各題中兩個值的大?。?/p>

⑴1.725,1.73；⑵0.8-。/，0.8一%⑶1.7。汽0.931.

方法引導(dǎo)：（1）利用計算器（2）利用函數(shù)的單調(diào)性

［例2］將以下各數(shù)從小到大排列起來：

（-）3,［-）2,33,2,（2）3,心）。，（—2）3,心）3

355263

（討論：利用什么性質(zhì)？師生共練，注意格式-小結(jié)：分類、單調(diào)性；利用中間

數(shù)）

［例3］解不等式：（1）夕>3廠2；（2）3X4'-2X6'>0.

.（二）指數(shù)型函數(shù)在實際是的應(yīng)用

［例3J截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,

那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少？（精確到億）

（師生共同討論交流，列表分析〕

解：先求出函數(shù)關(guān)系式：

設(shè)今后人口年平均增長率為1%,經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億.

經(jīng)過1年，人口數(shù)）=13X（1+1%）（億）；

經(jīng)過2年，人口數(shù)y=13X（1+1%）2（億）；

經(jīng)過x年，人口數(shù)）=13X（1+1%）x=13X1.0「（億）.

當戶20時.，產(chǎn)13X1.0120^16（億）.

所以，經(jīng)過20年后，我國的人口數(shù)最多為16億.

小結(jié)指數(shù)函數(shù)增長模型：原有量M平均最長率p,那么經(jīng)過時間x后的總量產(chǎn)？一一般

形式：y-N（1+p）*

我們把形如產(chǎn)AaF代R,a>0,且aWl）的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函

數(shù)模型.

練習：2005年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億，計劃今后每年平均增長率為8%,經(jīng)過x年后的總

產(chǎn)值為原來的多少倍？一變式：多少年后產(chǎn)值能達到120億？

合作探究：你是如何看待我國的計劃生育政策的?為什么？

說明：本例中函數(shù)的定義域是時間，故只能取非負實數(shù)；而且在解決實際問題時往往用

到從函數(shù)圖象上找出某一自變量對應(yīng)的函數(shù)值.

知識拓展：在解決應(yīng)用問題時，其關(guān)鍵是能正確理解題意，從而建立目標函數(shù)，進而將

生活實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.同時要結(jié)合具體問題的實際意義確定函數(shù)的定義域.

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課中主要滲透了數(shù)學的思想方法：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程

的思想，數(shù)學的思想方法是數(shù)學學習的主軸線.

四、布置作業(yè)

課本P70習題2.1A組第6、7、8、，B組第3、4題.

備用練習：

1、設(shè)丫1=4°，9?2=8°-48?3=（1/2尸”5,那么（D）

A.y3>yi>y2B.y2>yi>y3

C.yi>y2>yjD.yi>y3>y2

2一片樹林中現(xiàn)有木材30000n?,如果每年增長5%,經(jīng)過x年樹林中有木材yn?,寫

出x、)，間的函數(shù)關(guān)系式，并利用圖象求約經(jīng)過多少年，木材可以增加到40000n?.[結(jié)果保

留一個有效數(shù)字)

4

函數(shù)關(guān)系式為)=30000(1+5%)x(x20).當)=40000時，得§=(1+5%)*=1.05工，二

4

畫出產(chǎn)1.05,(尤20)的圖象，從圖象上找到與尸對應(yīng)的x值即可.列出下表:

X0123455.55.75.85.967…

…

y11.051.11.161.221.281.311.321.3271.331.341.41

苗點作出圖象(如以下圖所示).

4

由圖象可知，與產(chǎn)一七1.33對應(yīng)的x值約為6.

3

答：約經(jīng)過6年，木材可以增加到40000m3.

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔3〕

教學目標

1、會求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等；

2、了解函數(shù)圖象的平移與對稱變換；

3、在解決簡單的實際問題過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型

教學重點

指數(shù)函數(shù)有關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等；

教學難點

指數(shù)函數(shù)有關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

教學過程

一、復(fù)習舊知

復(fù)習指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二、講解新課

(-)例題講解

[例1][1)函數(shù)y=萬的定義域是

(2)函數(shù)y=4?+,的值域是

13)函數(shù)y=+2恒過點

(4)如果函數(shù)/(x)=(〃-l尸在R上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的范圍是.

(5)把函數(shù)y=/(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位，得到y(tǒng)=2'.的圖象，那么原

函數(shù)為.

［例2］求函數(shù)產(chǎn)(1)*七*的單調(diào)區(qū)間，并證明之.

解：在R上任取X］、*2，且X1〈X2，

-2巧

那么21=------------------=(1)“-/+2應(yīng)+2』_(2)(為一陽)(女+國一2)

y\/J_XVI2-2AI22

*.*X]<X2，X2—X1>0.

當xi、(—8,1］時，尤|+及一2<0.這時(%2—Xi)(X2+X1—2)<0,即衛(wèi)>1.

必

力，函數(shù)在(一8,1］上單調(diào)遞增.

當汨、X2e［1，+8)時，%1+%2—2>0,這時(及-xi)(及+為-2)>0,即&<1.

必

：.y2<yt,函數(shù)在［1,+8上單調(diào)遞減.

綜上，函數(shù)y在(-8,1］上單調(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞減.

合作探究：在填空、選擇題中用上述方法就比較麻煩，因此我們可以考慮用復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性來解題.

變式：求函數(shù)產(chǎn)(!)2-2》的值域

練習：求函數(shù)產(chǎn)3*+2X+3的單調(diào)區(qū)間和值域

三、課堂小結(jié)

1.求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的方法

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的討論步驟和方法；

四、布置作業(yè)

1、求以下函數(shù)的值域

⑵/(x)=(3"+2,xe[-l,2]

⑴/(x)=l-2x,xe［l,4J

2、求以下函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間

⑴y=2，T(2)y=2|x+"

思考：設(shè)0WxW2,求函數(shù),=4-7-2.+5的最大值和最小值

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算〔1〕

教學目標：1、理解指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系；

2、理解對數(shù)的概念，能熟練地進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化；

3、了解自然對數(shù)與常用對數(shù)的概念以及對數(shù)恒等式。

教學重點：1、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系；2、對數(shù)的概念以及對數(shù)式和指數(shù)式的互化。

教學難點：對數(shù)概念的理解與對數(shù)符號的理解。

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

（多媒體投影我國人口增長情況分析圖，并顯示如下材料）

截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,那么

經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少？（精確到億）

師：設(shè)今后人口年平均增長率為1%,經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億，那么）=13X1.0r：

我們能從這個關(guān)系式中算出任意一個年頭x的人口總數(shù).反之，如果問“哪一年的人口數(shù)可

達到18億,20億,30億……"該如何解決?

（生思考，師組織學生討論得出〕

由）=1。卜的圖象可求出當產(chǎn)羽、型、翌時，相應(yīng)的x的值，實際上就是從1.01"=—,

13131313

i.or=2o,i.or=—……中分別求出x同時這樣的x的值是唯一確定的。

1313

師：根據(jù)指數(shù)的有關(guān)知識，在關(guān)系式1.0F=竺中，要我們求解的量在什么位置？

13

生：在等式左邊的指數(shù)位置上.

師：那么，要求x的值，也就是讓我們求指數(shù)式中的哪一個量？

生：求指數(shù)X.

師：底數(shù)和幕的值求指數(shù)的問題.這就需要我們學習一種新的運算一一對數(shù)。

二、講解新課

（-）介紹對數(shù)的概念

合作探究：假設(shè)1.0尸=竺，那么x稱作是以1.01為底的史的對數(shù).你能否據(jù)此給出一

1313

個一般性的結(jié)論？（生合作探究，師適時歸納總結(jié)，引出對數(shù)的定義并板書）

一般地，如果炭=N（a>0,且那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)〔logarithm〕,

記作x=k）gaN,其中。叫做對數(shù)的底數(shù)〔baseoflogarithm〕，N叫做真數(shù)〔propernumber）.

合作探究：根據(jù)對數(shù)的概念寫出幾個對數(shù)式，同桌之間互相檢查寫法是否正確.

V

如：2=8<=>%=3=log283"=27<=>九=3=log327

ah=N（a>0,aw1）olog”N=b

師：你如何理解“l(fā)og〃和log〃N?（生探討，得出如下結(jié)論）

知識拓展：符號“l(fā)og”與"+’廠”等符號一樣表示一種運算，log“N是一個整體，

表示以。為底N的對數(shù)，不表示log、a、N三者的乘積.讀作以。為底N的對數(shù)，注意。應(yīng)

寫在右下方.

（二）概念理解

合作探究：對數(shù)和指數(shù)基之間有何關(guān)系？

（生交流探討得出如下結(jié)論）

aNh

指數(shù)式ab=N（底數(shù)）佛）（指數(shù)）

對數(shù)式logaN=b（對數(shù)的底數(shù)）（真數(shù)）（對數(shù)）

說明：括號內(nèi)屬填空、選擇的題目.

合作探究：1.在指數(shù)式中基4>o,...在對數(shù)式中，真數(shù)有什么要求？

2.對任意a>0且awl,都有a°=l大家可得到什么結(jié)論？

3.對任意a>0且awl,都有d=a大家又可得到什么結(jié)論？

對數(shù)的性質(zhì)：（1）N>0（負數(shù)與零沒有對數(shù)）；（2）logfll=0；（3）log?a=l

合作探究：1。如果把d=N中的b寫成log“N,可得到什么結(jié)論？=N）.

2.如果把log“N=6中的N換成又可得到什么結(jié)論？（log""=〃）

上述兩式稱為對數(shù)恒等式：

師：對數(shù)運算在研究科學和了解自然中起了巨大的作用，其中有兩類對數(shù)貢獻最大，它

們就是自然對數(shù)和常用對數(shù).

（師指導(dǎo)學生閱讀課本第57頁常用對數(shù)和自然對數(shù)的概念和記法，然后板書）

(三)常用對數(shù)

通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)〔commonlogarithm〕，如logio2、logiol2等，并

把對數(shù)logiW簡記為IgN,如lg2、lgl2等.

(四)自然對數(shù)

在科學技術(shù)中，常常使用以e(e=2.71828…是一個無理數(shù))為底的對數(shù)，這種對數(shù)稱為

自然對數(shù)(naturallogarithm).正數(shù)N的自然對數(shù)logW一般簡記為InN,如ln2>lnl5

等.

〔五)例題講解

師：我們已經(jīng)對對數(shù)的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面練習嗎？

(投影顯示如下例題)

［例1］將以下指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)54=625；(2)2-6=_1_；⑶(！)”展5.73；⑷log】16=—4；

6431

［例2］將以下對數(shù)式寫成指數(shù)式：

(l)log5125=3；(2)log,3=-2；⑶lg0.01=—2；(4)In10=2.303.

忑

方法引導(dǎo)：進行指數(shù)式和對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要抓住對數(shù)與指數(shù)基之間的關(guān)系，

以及每個量在對應(yīng)式子中扮演的角色.

［例3］求以下各式中的x的值：

2

(1)log64X=——；(2)log.v8=6；(3)lgl00=x；(4)—lne=x.

(師生共同討論，師板書)

方法小結(jié)：在解決對數(shù)式求值問題時，假設(shè)不能一下子看出結(jié)果，根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式

的關(guān)系，首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，進一步根據(jù)指數(shù)'幕的運算性質(zhì)求出結(jié)果.

(六)鞏固練習

課本P70練習第1,2,3,4題.

三、課堂小結(jié)

師：請同學們回顧一下本節(jié)課的教學過程，你覺得哪些知識你已經(jīng)掌握？哪些東西你還

沒有掌握？(生總結(jié)，并互相交流討論，師投影顯示本課重點知識)

1.對數(shù)的定義及其記法；2.對數(shù)式和指數(shù)式的關(guān)系；

3.自然對數(shù)和常用對數(shù)的概念.

四、布置作業(yè)

課本P82習題2.2A組第1、2題.

補充：1.計算：⑴log將81；(2)log271

2.求x的值：k)g2X=-'|;

21

3.求底數(shù)：log,4=—§；logv3=-.

4.log“2=m,log“3=",求/，"+"的值。

5.計算3"睢6+]002”

答案：

1、⑴16⑵-

6

5

2、23

1

3、-81

8

4、12

5、15.

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算〔2〕

教學目標：掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，能較熟練地運用對數(shù)的運算性質(zhì)解決有關(guān)對數(shù)式的化

簡、求值問題.

教學重點：1.掌握對數(shù)的運算性質(zhì).2.應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì)求值、化簡.

教學難點：對數(shù)運算性質(zhì)的靈活運用.

教學過程

一、復(fù)習回顧，引入新課

師：上一節(jié)課我們學習了：

(1)對數(shù)的定義，掌握其中a與N的取值范圍；

(2)指數(shù)式與對數(shù)式的互化a"=Nolog〃N=Z?；

(3)對數(shù)恒等式式加=N,log“ab=b.

從指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運算性質(zhì)，能得出相應(yīng)的對數(shù)運算性質(zhì)嗎？這就是本節(jié)

課所要探究的知識.

［引入課題，書寫課題一一對數(shù)的運算性質(zhì))

二、新課講授

師：我們知道，指數(shù)基運算有以下性質(zhì)：""優(yōu)=優(yōu)"",，=。""",("')"=罐"'.根據(jù)對

數(shù)的定義，有l(wèi)og“N=Z?=N(a>0，N>0),那么，對數(shù)運算也有相應(yīng)

的性質(zhì)嗎？詳:大家一起看下U回表格：(多媒?K顯示）

,M

logM嗨即）log,——

MN2k4N2N

10.340-1.556393-1.5563931.5563933

1.31.250.37851160.32192810.70043970.0565835

1.62.160.67807191.11103131.7891032-0.432959

1.93.070.92599941.61823872.5442381-0.692239

2.23.981.13750351.99276843.130272-0.855265

2.54.891.32192812.28983453.6117626-0.967906

2.85.81.48542682.53605294.0214797-1.050626

3.16.711.63226822.74631284.378581-1.114045

3.47.621.76553472.9297914.6953257-1.164256

3.78.531.88752533.09254574.980071-1.20502

49.4423.23878695.2387869-1.238787

從表格里可以得到og2M與log2N跟Tog則N)與log,—有什么關(guān)系？

生：如果a>0,axl,M>0,N>0,那么

(1)logn(MN)=logflM+log?N；

M

(2)log—=log?M-log?^；

⑶log“AT=〃log“M(〃eR)

這三個結(jié)論是否正確，下面我們一起來證明。

(1)由于設(shè)14=2">,N=a%于是MN=a?n.

由對數(shù)的定義得到logaMm"，log"N=〃，log“=切+”.

log”(M?N)=log“M+logW.

師：同樣地，可以仿照上述過程，由l一"和(#")"3",得出對數(shù)運算的其他

性質(zhì).

(下面兩個由學生完成)

合作探究：究)；am=an=am-n,設(shè)M=am,N=a%=am-n.

N

.,.由對數(shù)的定義得到logaM=m,logaN=n,

,M

log；,—=m—n.

N

M

**?10ga一=10gaM—lOgaN.

N

(3)?:(am)n=amn,設(shè)M二a01,AMn=amn.

由對數(shù)的定義得到logaM”二mn,

n

logaM=nlogaM.

對數(shù)性質(zhì)：如果a>0,awl,M>0,N>0,那么

(1)log.(MN)=log.M+log*；

M

⑵log(,—=logoM-log?7V；

⑶log"M"="log,M5￡R)

師：以上三個性質(zhì)可歸納為：(1)積的對數(shù)等于各因式對數(shù)的和；(2)商的對數(shù)等于被

除數(shù)的對數(shù)減除數(shù)的對數(shù)；(3)暴的對數(shù)等于指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù).

師：這幾條運算性質(zhì)會對我們進行對數(shù)運算帶來哪些方便呢？

(生交流探討，得出如下結(jié)論)

結(jié)論：利用以上性質(zhì)，可以使兩正數(shù)的積、商的對數(shù)運算問題轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)各自的對數(shù)

的和、差運算，大大的方便了對數(shù)式的化簡、求值.

(-)概念理解

合作探究：利用對數(shù)運算性質(zhì)時，各字母的取值范圍有什么限制條件？

(師組織，生交流探討得出如下結(jié)論)

底數(shù)且真數(shù)N>0；只有所得結(jié)果中對數(shù)和所給出的數(shù)的對數(shù)都

存在時，等式才能成立.

(三)運算性質(zhì)的應(yīng)用

師：這樣我們就可以心底坦然地使用這些性質(zhì)了，請同學們完成以下訓(xùn)練.

(投影顯示如下練習，生完成，組織學生交流評析各自的訓(xùn)練成果)

［例1］用10gd,log”，logaz表示以下各式：

(1)log“?；(2)log“Xq.

zVz

［例2］求以下各式的值：

75

(1)log2(4X2)；(2)IgVlOO.

［例3］lg2M).3010,lg3M).4771,求以下各式的值：(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)

27

(1)lgl2；(2)Igp.

方法引導(dǎo)：要用愴220.3010,lg3七0.4771這個條件來求以上各式的值，需先根據(jù)對數(shù)

的運算性質(zhì)將其化為含lg2、lg3的多項式進而求出結(jié)果.

［例4］計算：

7

(1)Igl4-21g-+lg7-lgl8；

⑶lgV27+lg8-3lgVi0

1g1.2

方法引導(dǎo)：以上各題的解答，表達對數(shù)運算法那么的綜合運用，應(yīng)注意掌握變形技巧，

每題的各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系，要避免錯用對數(shù)運算性質(zhì).

(四)鞏固練習

課本P75練習第1.2,3.

三、課堂小結(jié)

1.對數(shù)的運算性質(zhì).

2.對數(shù)運算法那么的綜合運用，應(yīng)掌握變形技巧：

(1)各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系;

(2)要避免錯用對數(shù)運算性質(zhì).

3.對數(shù)和指數(shù)形式比較：

b

式子a=N\ogaN=h

a一一幕的底數(shù)a---對數(shù)的底數(shù)

名稱b——幕的指數(shù)b——以。為底的N的對數(shù)

N----基值N----真數(shù)

?an=a,tnnloga(MN)=TogaM+logaN

ant^an=a,n~nlOga—=10g“M—10gW

運算性質(zhì)N

nnn

(灑=c/logJVf三川ogJVf(〃仁R)

(。>0,且〃Wl,m、