本冊檢測

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

2

1.已知集合4={1,2},5={2,7},若5GA,則實數(shù)％的值為（D）

A.1或2B.3

C.1D.2

2

［解析］???集合A={1,2},B={2,討，

2

?.?由集合元素的互異性及子集的概念可知％=1,解得女=2.故選D.

2.（2021?全國高考乙卷理科）已知命題p：3xeR,sinx<l；q：VxeR,則e^Nl,則

下列命題中為真命題的是（A）

A.p/\qB.㈱p

C.pA㈱qD.㈱SVq）

［解析］由于sin0=0,所以命題p為真命題；

由于y=ei在R上為增函數(shù)，IR20,所以陰三?0=1,所以命題q為真命題;

所以pAq為真命題，糠p\q、pA^g、Vq）為假命題.

故選A.

3.sinl,cosl,tanl的大小關系為（A）

A.tanl>sinl>coslB.sinl>tanl>cosl

C.sinl>cosl>tanlD.tanl>cosl>sinl

兀*\/271A/271

［解析］Vsinl>sin4=2?cosl<cos4=2?tanl>tan4=1,

/.tanl>sinl>cosl.

11_i,--------

4.Ig2一若一e】n2—（R2+d（—2）2的值為（A）

1

A.-1B.

2

C.3D.-5

［解析］原式=lg2+lg5—2—2+2=lgl0—2=1—2=—1.故選A.

5.設角a=一等,2sin（7i+a）cos（7T_a）_cos（7i+a）

則1+sin2oc+sin（7i~a）~cos2（7i+a）、（D）

1

A.B.

2坐

c.當D.小

兀

［解析］因為a=一瞪35,

2sin（兀+a）cos（?！猘）—cos（兀+a）

所以,2

1+sin2a+sin（兀~a）—cos（7i+a）

2sinacosoc+cosa2sinacosa+cosotcosa

1+sin2oc+sina-cos2a2sin2ot+sincesina

/35兀、兀

cos（-—）co話

=小.故選D.

.’35兀、.71

sm（一7-）sing

6.若關于尤的方程/U)-2=0在(-8,0)內(nèi)有解，則y=/Q)的圖象可以是(D)

［解析］因為關于％的方程“x)—2=0在(-8,0)內(nèi)有解，所以函數(shù)y=/3)與y=2的

圖象在(一8,0)內(nèi)有交點，觀察題中圖象可知只有D中圖象滿足要求.

7.定義在R上的偶函數(shù)加)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且舄=0,則滿足"ogy)>0的

D8

X的取值范圍是(B)

A.(0,+8)B.(0,1)U(2,+8)

C.(0,g)U(^,2)D.(0,；)

［解析］由題意知兀0=A—%)=*龍1),

所以410gp|)次g).因為於:)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以|logy|>g,又x>0,解得0<x<；

88

或x>2.

，、71

8.(2021?四川綿陽高一檢測)已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+9XA>C),。>0,xGR)在一

個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則要得到y(tǒng)=Ax)的圖象可由函數(shù)y=cosx的圖象(縱坐標不

變XB)

y

A.先把各點的橫坐標縮短到原來的1再向左平移專個單位長度

2o

1JT

B.先把各點的橫坐標縮短到原來的米再向右平移自個單位長度

C.先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移襲個單位長度

D.先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移出個單位長度

JT_

[解析]由函數(shù)式x)=Asin(ox+0)(A>O,O>0,|夕|<5,xdR)在一個周期內(nèi)的圖象可得A

=1,+塔,解得0=2.把點哈，1)的坐標代入函數(shù)的解析式可得l=sin(2X~^+

tT(AZX/UA4A乙

9)，

即sin(^+^)=l.

再由|研?？傻孟?全故函數(shù)加:)=sin(2x+1).

把函數(shù)y=cosx的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的看

可得y=cos2x的圖象，再向右平移自個單位長度可得

71717171

y=cos2(x—=cos(2x—g)=sin[]—(2x—^)]

2兀71.

=sin(-^~-2x)=sin[71—(1+2x)]

jr

=sin(2x+])=/(x)的圖象.故選B.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)

9.將函數(shù)y=sin(x一3的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，再向左

3兀

平移于個單位長度得g(x)的圖象，則下列說法正確的是(ACD)

A.g(尤)是奇函數(shù)

B.x=]是g(x)圖象的一條對稱軸

C.g(x)的圖象關于點(3無，0)對稱

D.2g⑼=1

［解析］將函數(shù)y=sin(x—3的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)得y

=sin(>力的圖象，再向左平移中個單位長度得g(x)=sin如+,)一?=sin］的圖象，所以

TT

A正確；因為g(］)#±l,所以B錯；因為g(3?t)=sin兀=0,所以C正確；又g(0)=0,所以

2g(。)=1,所以D正確.綜上，ACD正確.

10.己知0<a<b<l<c,則下列不等式不成立的是(BD)

A.ac<bcB.cb<c°

C.\ogaO\ogbCD.sina>sinb

Ii1i-—i

［解析］取〃=不b=yc=2,則g)2<(］)2,A成立;22>24,B不成立；logj_2=-logi

2=—1,

兀

logj_2>logj_2,C成立；/.sin?<sinb,D不成立.故選BD.

422

11.函數(shù)於)=sin2x—4(cosZx—sii?%)的圖象為C,如下結論正確的是(ABC)

A.危)的最小正周期為兀

ITJT

B.對任意的x￡R,都有7(x+d)+&—%)=0

C.7(x)在(一金，居)上是增函數(shù)

D.由y=2sin2x的圖象向右平移5個單位長度可以得到圖象C

［解析］y(x)=sin2x—V3cos2x=2sin(2x—,

於)的最小正周期為兀，故A正確；婿=25皿2><襲一爭=0,故圖象關于哈，0)對稱，B

正確；當(一吉需)時，2x—?e(—y,y),所以於)在(一吉當上是增函數(shù)，C正確；

由y=2sin2x向右平移/個單位長度得到y(tǒng)=2sin2(x—5)=2sin(2x一弟的圖象，故D錯誤.故

選ABC.

12.下列命題正確的是(CD)

A.Vxe(2,+oo),都有_?>2%

B.“。=3”是函數(shù)“y=cos22or—sii?2辦的最小正周期為?！钡某湟獥l件

C.命題p：3xoR>加0)=。以+刖)+。=0是假命題，則aG(—8,——)U(2,+°°)

D.已知a,￡GR,則“a=夕'是"tana=tan￡”的既不充分也不必要條件

22

［解析］A錯，當x=4時，42=2、故不等式不成立；B4^,y=cos2ax—sin2ax=cos4ax9

當時，y=cos2x,其最小正周期為券=兀；當時，y=cos(—2x)=cos2x,其最小

正周期為兀，故說法不正確；C正確，因為"為假命題，所以㈱P為真命題，即不存在xoG

R,使用'())=0,故/=1—4°2<0,且解得或a<—￡；D正確，如果兩個角為直角，

那么它們的正切值不存在，反過來，如果兩個角的正切值相等，那么它們可能相差Eae

Z),故反之不成立.綜上，CD正確.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.化簡12+cos20°—sin210°=5cos10°.

［解析］^/2+cos200-sin2100=

■\/2+2cos2100-l-sin2100=^/3cos210°=/cos10。.

14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，

價格依次為60兀/盒、65元/盒、80兀/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行

促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付尤元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，

李明會得到支付款的80%.

(1)當尤=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付130元:

(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的7折，則x

的最大值為15.

［解析］(l)x=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.

(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，y<120元時，李明得到的金額為yX80%,

符合要求.

y2120元時，有(j—x)X80%NyX70%恒成立，

即8(j—x)N7y,即xW($min=15元，

所以X的最大值為15.

15.已知函數(shù)gOOn/OO+x2是奇函數(shù)，當尤>0時，函數(shù)式尤)的圖象與函數(shù)y=log2尤的圖

象關于直線y=x對稱，則天―1)+。一2)=—11.

［解析］I,當x>0時，/(x)的圖象與函數(shù)y=log力的圖象關于直線y=x對稱，

當x>0時,於)=23

當x>0時，g(x)=2x+A

又g(x)是奇函數(shù)，：.g(—l)+g(—2)=—［g(l)+g(2)］=—(2+1+4+4)=-11.

16.函數(shù)_/U)=a2r—i(a>0,aWl)的圖象恒過定點⑵。)，當。>1時，兀c2)的單調(diào)遞

增區(qū)間為(-8,0］.

2—r2

［解析］由2—x=0得％=2,此時，月2)=0,.二危)恒過定點(2,0)；當a>l時，危

-1,由復合函數(shù)同增異減可知，火X)的遞增區(qū)間為(一8,0］.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)如圖，以Qx為始邊作角。與伙0<莊好兀)，它們的終邊分別與單

34

位圓相交于尸，。兩點，已知點尸的坐標為(一亍$).

sin2o(+cos2a+1

⑴求"的值;

(2)若cosacosB+sinctsin^=0,求sin(a+￡)的值.

4

,3-

［解析］(1)由三角函數(shù)定義得cosa=—于sina5

一卜2sinoccosa+2cos2ot2cosot(sina+cosa),3°18

/.原式=--------：-------=----------------=2cos2a=2X(--)2=—

1%Sinasma+cosav5725

cosotcosot

(2)*.*cosacos/3+sinasin/3=cos(a-1J)=0,且0＜夕＜0＜兀，

?.aB2，?.0a2，

??o./兀、3

..sin//=sm(a-2)=-cosa=m，

71.4

cosp=cos((x5)=sinot=亍

sin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕=,X^+(一,)X弋=(.

|x+2,xWO,

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=1且點(4,2)在函數(shù)1%)的圖象上.

［lOgaX,X>0,

(1)求函數(shù)?x)的解析式，并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出函數(shù)“X)的圖象；

(2)求不等式外)<1的解集；

(3)若方程月入)-2根=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.

［解析］(1)二.點(4,2)在函數(shù)的圖象上，.?猶4)=logq4=2,解得〃=2.

x+2,xWO,

???加)=

log2X,X>0.

函數(shù)的圖象如圖所示.

y

fx>0,|xWO,

(2)不等式加)<1等價于?或?

Llog2X<l[x+2<l,

解得0<x<2或x<—1,

.二原不等式的解集為{%[0<x<2或x<—1}.

(3)?.?方程八元)一2m=0有兩個不相等的實數(shù)根，

/.函數(shù)y=2機的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個不同的交點.

結合圖象可得2mW2,解得mW1.

J實數(shù)機的取值范圍為(一8,1].

jrTT11

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(X)=COS(Q+X>COS(Q—x),ga)=]sin2x—7

(1)求函數(shù)?x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/z(%)=/(x)—g(x)的最大值，并求使/?(%)取得最大值時x的集合.

_____________/小.、，1，小.、1,3.,l+cos2x

[用牛祈]Wj[x)=(2C0SX—2siax)A2cosx十虧SUIT)=4cosx—^sinx=-----g-----—

3(1—cos2x)11

g=2cos2x—

的最小正周期為了=學=兀

(2)/z(x)=?x)—g(x)

=]cos2x—Tsin2x

=^cos(2x+^),

TT

當2x+a=2E(%￡Z),

即x=Z兀一界￡Z)時，/z(x)有最大值乎.

TT

此時x的集合為{%|%=析一[,%￡Z}.

o

20.(本小題滿分12分)某工廠現(xiàn)有職工320人，平均每人每年可創(chuàng)利20萬元，該工廠

打算購進一批智能機器人(每購進一臺機器人，將有一名職工下崗).據(jù)測算，如果購進智能

機器人不超過100臺，每購進一臺機器人，所有留崗職工(機器人視為機器，不作為職工看

待)在機器人的幫助下，每人每年多創(chuàng)利2千元，每臺機器人購置費及日常維護費用折合后

平均每年2萬元，工廠為體現(xiàn)對職工的關心，給予下崗職工每人每年4萬元補貼；如果購進

智能機器人數(shù)量超過100臺，則工廠的年利潤y=8202+lgx萬元(x為機器人臺數(shù)且無<320).

(1)寫出工廠的年利潤y與購進智能機器人臺數(shù)x的函數(shù)關系；

(2)為獲得最大經(jīng)濟效益，工廠應購進多少臺智能機器人？此時工廠的最大年利潤是多

少？(參考數(shù)據(jù)：1g2go.3010)

［解析］(1)當購進智能機器人臺數(shù)xW100時，

工廠的年利潤y=(320-x)(20+0.2x)-4x-2A-

=—0.2/+38x+6400,

J—0.2x2+38x+6400,OWxWlOO,

,,,一18202+lgx,100<x<320,xGN.

(2)由(1)知，當OWxWlOO時，y=—0.2(無一95戶+8205,

當尤=95時，>max=8205；

當x>100時，y=8202+lgx為增函數(shù)，

8202+lgx<8202+lg320=8202+l+51g2^

8204.505<8205.

綜上可得，工廠購進95臺智能機器人時獲得最大經(jīng)濟效益，此時的最大年利潤為8205

萬元.

TT1T

21.(本小題滿分12分)已知_Ax)=sin(2x+R+sin(2x—,)+2COS2無，尤GR.

(1)求式工)的最小正周期；

(2)求兀0的單調(diào)減區(qū)間；

(3)若函數(shù)g(x)=%)一根在區(qū)間［一會?上沒有零點，求機的取值范圍.

［解析］(1)/(工)=351112%+坐(：052%+511121一半8521+2(：052%=51112%+(\)52%+1=也

JT

sin(2x+?+L

,:3=2,/.T=TI.

7171371

(2)由kGZ,

TT571

得d+EW九k￡Z,

oo

JT5jr

的單調(diào)減區(qū)間為k兀+g,左兀+9］,kGZ.

(3)作出函數(shù)y=?r)在［—去與上的圖象如圖所示.

函數(shù)g(x)無零點，即方程兀行一根=0無解,

亦即函數(shù)尸危)與尸相的圖象在x￡［一去?上無交點，從圖象可看出於:)在［一會?