3-1系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標1、典型輸入信號

根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數(shù)學(xué)描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)，目的是便于數(shù)學(xué)分析和實驗研究

。

特點：（1）數(shù)學(xué)表達式簡單（2）信號容易獲得

實際應(yīng)用時究竟采用哪一種典型輸入信號，取決于系統(tǒng)常見的工作狀態(tài)。如系統(tǒng)的輸入信號是突然加入的恒定作用量，則可選用階躍函數(shù)信號；而當輸入信號是沖擊輸入量時，則選脈沖函數(shù)比較合適。通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，可在一統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種系統(tǒng)的特性進行比較和研究。時域響應(yīng)（1）動態(tài)過程：又稱過渡過程或瞬態(tài)過程,是指在典型輸入信號作用下,系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。一個可以實際運行的控制系統(tǒng),其動態(tài)過程必須是衰減的,即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。描述系統(tǒng)的動態(tài)性能。（2）穩(wěn)態(tài)過程：反映系統(tǒng)在輸入信號作用下最后到達的狀態(tài)，表征輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。2、動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程3、動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能tc(t)01tstptrc(∞)td0.5通常在階躍函數(shù)作用下,測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下,動態(tài)過程隨時間t

的變化狀況的指標,稱為動態(tài)性能指標。

（3）峰值時間tp：響應(yīng)曲線第一次出現(xiàn)峰值的時間。

（4）調(diào)整時間ts：響應(yīng)曲線開始進入偏離穩(wěn)態(tài)值

的誤差范圍，（一般

為5％或2％）并從此不再超出這個范圍的時間，又稱過渡過程時間。（2）上升時間tr：響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間；有振蕩的系統(tǒng)，可定義響曲線首次由零值上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。（1）延遲時間td：第一次到達穩(wěn)態(tài)值的50％所需的時間。動態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)指標

穩(wěn)態(tài)誤差ess：是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。5、超調(diào)量

：系統(tǒng)響應(yīng)過程中，輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)。3-2一階系統(tǒng)的時域分析1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型R(s)C(s)-2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)t1/T峰值時間tp和超調(diào)量σ%不存在3、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)的比較:階躍響應(yīng)曲線中，輸出量和輸入量間的位置誤差隨時間而減少，最后趨于零。而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的初始斜率也最大。在斜坡響應(yīng)曲線中，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性越小，跟蹤的準確度越高。而在初始狀態(tài)下，初始位置和初始斜率均為零，因為顯然,在初始狀態(tài)下，輸出速度和輸入速度之間誤差最大。4、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)5、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸入信號微分（積分）的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的微分（積分）。輸入信號輸出響應(yīng)6、一階系統(tǒng)各輸出響應(yīng)的關(guān)系3-3二階系統(tǒng)的時域分析1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型R(s)C(s)-

為系統(tǒng)的阻尼比，

n為系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率。特征方程式：特征根為：2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(1)過阻尼（

>1)：兩個負實根T1>T2響應(yīng)特性包含著兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項(瞬態(tài)分量),瞬態(tài)分量隨時間t的增長而衰減到零，最終輸出的穩(wěn)態(tài)值為1。因此系統(tǒng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差，且過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是非振蕩的.單調(diào)上升的指數(shù)曲線(2)臨界阻尼（

＝1)：兩個具有負實部的重根單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程(3)欠阻尼（0<<1)：兩個具有負實部的共軛復(fù)根

d為系統(tǒng)的阻尼振蕩頻率c(t)t01—衰減系數(shù)衰減振蕩(4)無阻尼（＝0)：兩個共軛虛根無阻尼等幅振蕩。3、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析

為共軛復(fù)數(shù)對負實軸的張角。（1）延遲時間td令

h(td)=0.5

,可得二階系統(tǒng)

ntd與ζ關(guān)系曲線適用于0<ζ<1和ζ≥1當0<ζ<1時,可用下式近似描述近似有增大自然頻率或減小阻尼比,都可以減小延遲時間.

（2）上升時間tr被控量c(t)首次由零值上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。當阻尼比ζ一定時,阻尼角

不變,系統(tǒng)的響應(yīng)速度與

n成正比;而當阻尼振蕩頻率

d一定時,阻尼比越小(

值越大）,上升時間越短。

（3）峰值時間tp瞬態(tài)響應(yīng)第一次出現(xiàn)峰值的時間。當阻尼比ζ一定時,與

n成反比;而當阻尼振蕩頻率

n一定時,阻尼比越小，時間越短。（4）超調(diào)量

%僅為阻尼比ζ的函數(shù),與自然頻率

n

無關(guān)。阻尼比越大,超調(diào)量越小;反之亦然。一般,當選取ζ=0.4-0.8時,

%介于1.5%至25.4%之間。當ζ＝1時，超調(diào)量＝0，無超調(diào)，臨界阻尼狀態(tài)。

欠阻尼二階系統(tǒng)ζ與%的關(guān)系

（5）調(diào)整時間ts階躍響應(yīng)曲線開始進入偏離穩(wěn)態(tài)值

的誤差范圍，（一般

為5％或2％）并從此不再超出這個范圍的時間?！?5％＝0.05時，＝0.02時，阻尼比主要根據(jù)對系統(tǒng)超調(diào)量的要求來確定,調(diào)節(jié)時間主要由自然頻率決定。保持阻尼比不變而加大自然頻率,可以在不改變超調(diào)量的情況下縮短調(diào)節(jié)時間。

欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能阻尼比ζ越小則上升時間tr更短，響應(yīng)更快，但超調(diào)量

%卻更大了。因此設(shè)計時應(yīng)折衷考慮，才能達到設(shè)計目的。一般地,ζ的取值范圍是0.4~0.8。4、欠阻尼二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)r(t)=t

時穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差為例-R(s)C(s)K=0.09、0.5、10，求動態(tài)性能指標2、測速反饋控制5、二階系統(tǒng)性能的改善1、比例-微分(PD)控制3-4高階系統(tǒng)的時域分析1、高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型令系統(tǒng)所有零點為不相等的實數(shù)，極點為不相等的實數(shù)和復(fù)數(shù)；且零極點不相等。輸入信號為單位階躍信號，則輸出：2、單位階躍響應(yīng)結(jié)論：1、輸入信號極點的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)極點的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的動態(tài)分量。2、系統(tǒng)動態(tài)分量的形式由閉環(huán)極點的性質(zhì)所決定，系統(tǒng)的調(diào)整時間長短與閉環(huán)極點負實部絕對值的大小有關(guān)。閉環(huán)零點只影響系統(tǒng)瞬態(tài)分量幅值的大小和符號。3、閉環(huán)傳遞函數(shù)中某極點-pk距坐標原點很遠，或者某極點與一零點-zr十分靠近，則它產(chǎn)生的瞬態(tài)分量可略去不計；4、如果所有閉環(huán)極點均具有負實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。5、如果系統(tǒng)有一個極點（（一對復(fù)數(shù)極點）距虛軸最近，且其附近沒有閉環(huán)零點，其它閉環(huán)極點與虛軸的距離都比該極點與虛軸的距離大5倍以上，則此極點稱為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點。3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、穩(wěn)定性的基本概念

一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。abcoabc2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

jωS平面穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域0系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)特征方程式的根都位于s的左半平面，即不論實根還是復(fù)根都具有負實部。3、勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（1）赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的特征方程式：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程式的赫爾維茨行列式△k（k=1，2，…，n）全部為正。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程式的各項系數(shù)全部為正。對于一階、二階系統(tǒng)，特征方程式的各項系數(shù)全為正值，且不缺項，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。赫爾維茨主行列式赫爾維茨順序主子式李納德-戚帕特穩(wěn)定判據(jù)（1）系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)均大于零；（2）奇數(shù)階或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零。例1使系統(tǒng)穩(wěn)定的K及T的取值范圍例2判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)的特征方程式：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

各項系數(shù)均為正

勞斯表的第一列系數(shù)均為正（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)s2

d1

d2

d3s1

e1

e2s0

f1

sn

a0

a2

a4

a6

…

sn-1

a1

a3

a5

a7

…b1

b2

sn-2

b3

b4

…sn-3c1

c2

c3

…勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在s的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯表：2、例1、3、

1、當勞斯表中某一行的第一項等于零，該行的其余各項不等于零或沒有余項，則以很小的正數(shù)來代替為零的這項，若第一列的系數(shù)符號有變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示方程中有一對共軛虛根，系統(tǒng)也不穩(wěn)定。4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況2、勞斯表中某一行的所有系數(shù)都等于零，則表示方程中含有一些大小相等、符號相反的實根或共軛虛根?？衫孟禂?shù)全零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，以此多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替全零行，列些勞斯表。大小相等、符號相等的實根或共軛虛根可通過輔助方程式求得，且根的數(shù)目總為偶數(shù)。1、2、3、一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩時的a值和振蕩頻率。例1、分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響2、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

給定垂線s=-a，令s=z-a，帶入原方程式中，得到以z為變量的特征方程式，利用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線

s=-a的右側(cè)。a為系統(tǒng)的給定穩(wěn)定度。判斷穩(wěn)定性，檢查系統(tǒng)是否具有a=1的穩(wěn)定度。例3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算1、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差R(s)C(s)-G(s)H(s)E(s)B(s)誤差1、從輸入端定義的誤差2、從輸出端定義的誤差R(s)C(s)-G(s)H(s)E(s)′穩(wěn)態(tài)誤差不僅與開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，也與輸入信號的形式和大小有關(guān)。穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。當時間t趨于無窮時，e(t)的極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為：2、系統(tǒng)類型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K為系統(tǒng)的開環(huán)增益；v為系統(tǒng)中含有的積分環(huán)節(jié)數(shù)。v=0，0型系統(tǒng)v=1，Ⅰ型系統(tǒng)v=2，Ⅱ型系統(tǒng)3、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)系統(tǒng)類型靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp穩(wěn)態(tài)誤差ess0型KⅠ型∞0Ⅱ型∞0系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)類型靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv穩(wěn)態(tài)誤差ess0型0∞Ⅰ型KⅡ型∞04、斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)系統(tǒng)類型靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka穩(wěn)態(tài)誤差ess0型0∞Ⅰ型0∞Ⅱ型K5、加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類型的關(guān)系靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka0型系統(tǒng)K00Ⅰ型系統(tǒng)∞

K0Ⅱ型系統(tǒng)∞

∞K系統(tǒng)類型誤差系數(shù)階躍輸入r(t)=R0斜坡輸入r(t)=v0t等加速度輸入0型系統(tǒng)∞∞Ⅰ型系統(tǒng)0∞Ⅱ型系統(tǒng)00穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類型、輸入信號的關(guān)系穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號系統(tǒng)類型6、動態(tài)誤差系數(shù)

動態(tài)誤差系數(shù)法可研究任意輸入函數(shù)信號的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差變化。為求取動態(tài)誤差系數(shù)，寫出誤差信號的拉氏變換將誤差傳遞函數(shù)

e(s)在s=0的鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù),得誤差信號可以表示為如下級數(shù)上述無窮級數(shù)收斂于s=0的鄰域,稱為誤差級數(shù)，相當于在時域內(nèi)t→∞時成立。當所有初始條件為零時,對上式

進行拉氏反變換,就得到作為時間函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差表達式稱為動態(tài)誤差系數(shù).習慣上稱C0為動態(tài)位置誤差系數(shù),C1

為動態(tài)速度誤差系數(shù),C2

為動態(tài)加速度誤差系數(shù).將已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)按s的升冪排列,寫成如下形式令則誤差傳遞函數(shù)可表示為用上式的分母多項式去除其分子多項式得到一個s的升冪級數(shù)將上式代入誤差信號表達式,得

在一個特定的系統(tǒng)中,可以建立某些動態(tài)誤差系數(shù)與靜態(tài)誤差系數(shù)之間的關(guān)系

.利用式(3-98)和(3-99)進行長除,可得如下簡單關(guān)系:0型系統(tǒng):Ⅰ型系統(tǒng):Ⅱ型系統(tǒng):

因此在控制系統(tǒng)設(shè)計中,也可把C0、C1

和C2作為一種性能指標,以對動態(tài)誤差系數(shù)的要求來表達對穩(wěn)態(tài)誤差過程的要求.R(s)C(s)-G1(s)E(s)N(s)G2(s)+7、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差8、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施(1)增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益(2)在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)則系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)為因此當系統(tǒng)主反饋通道傳遞函數(shù)H(s)不含s=0的零點和極點時有

1)系統(tǒng)前向通道所含串聯(lián)積分環(huán)節(jié)數(shù)目v,與誤差傳