福建永安市2024屆中考五模數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（）

產(chǎn)—222

1X+1x-2xy+ynx-36

A.LI.

X2+1x2-lX一砂2x+12

2.花園甜瓜是樂(lè)陵的特色時(shí)令水果.甜瓜一上市，水果店的小李就用3000元購(gòu)進(jìn)了一批甜瓜，前兩天以高于進(jìn)價(jià)40%

的價(jià)格共賣(mài)出150kg,第三天她發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)上甜瓜數(shù)量陡增，而自己的甜瓜賣(mài)相已不大好，于是果斷地將剩余甜瓜以低

于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格全部售出，前后一共獲利750元，則小李所進(jìn)甜瓜的質(zhì)量為（）kg.

A.180B.200C.240D.300

3.如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在ADBC內(nèi)部，ZDAE=ZBAC=90°,AD=AE,AB=AC.給出下列結(jié)論:

①BD=CE；②NABD+NECB=45。；③BD_LCE；④BE』（AD'+AB1）-CD1.其中正確的是（）

A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④

4.如圖①是半徑為2的半圓，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將半圓如圖②方式翻折，使得點(diǎn)C與圓心O重合，則圖中陰

影部分的面積是（）

圖①圖②

A.學(xué)B.?-6C.2V3+YD.273-

5.-0.2的相反數(shù)是（）

A.0.2B.±0.2C.-0.2D.2

6.等式組2［x5+x<6>x0+8的解集在下列數(shù)軸上表示正確的是（）.

-......6-------------------------------------->u._1_________A____

-4-3-?-101234-43-2-3。1°4^

7.若a+|a|=O,則｛("2)2+必等于()

A.2-2aB.2a-2C.-2D.2

8.如圖，小正方形邊長(zhǎng)均為1,則下列圖形中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是

A.B.

9.如圖，AB/7CD,直線EF與AB、CD分別相交于E、F,AM±EF于點(diǎn)M,若NEAM=10。，那么NCFE等于（）

A.80°C.100°D.170°

10.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，且BE_LAC于點(diǎn)F,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AF=-CFB.ZDCF=ZDFC

2

C.圖中與AAEF相似的三角形共有5個(gè)D.tanNCAD=0

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.把多項(xiàng)式a3—2a?+a分解因式的結(jié)果是

12.如圖所示，過(guò)y軸正半軸上的任意一點(diǎn)尸，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)=和的圖象交于點(diǎn)A

和點(diǎn)8,若點(diǎn)C是x軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC,則AABC的面積為.

13.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，AB=5,AC=3,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,將AACD沿AD折疊,

點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F,當(dāng)△DEB是直角三角形時(shí)，DF的長(zhǎng)為.

14.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量河對(duì)岸h的兩棵古樹(shù)A、B之間的距離，他們?cè)诤舆@邊沿著與AB平行的直線L

上取C、D兩點(diǎn)，測(cè)得NACB=15。，ZACD=45°,若h、L之間的距離為50m,則古樹(shù)A、B之間的距離為m.

15.已知一次函數(shù)的圖象與直線y=；x+3平行，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-4),則這個(gè)一次函數(shù)的解析式為.

16.讓我們輕松一下，做一個(gè)數(shù)字游戲：

第一步：取一個(gè)自然數(shù)々=5,計(jì)算雇+1得4;

第二步：算出4的各位數(shù)字之和得〃2,計(jì)算〃2?+1得的；

第三步：算出生的各位數(shù)字之和得〃3,再計(jì)算〃3?+1得%;

依此類(lèi)推，則。2019=

17.有公共頂點(diǎn)A,B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放，連接AC交正六邊形于點(diǎn)D,則NADE的度數(shù)為

()

AB

A.144°B.84°C.74°D.54°

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.分別寫(xiě)出圖中點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；畫(huà)出AABC繞點(diǎn)C

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后的△A，B，C，；求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)（結(jié)果保留兀）.

19.（5分）如圖，------1_-------------一?！?-----交于點(diǎn)求.的值.

U.U，―口匚

□Q

20.（8分）閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把

它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形.如圖1,在“手

拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若NBAC=NDAE,AB=AC,AD=AE,貝!]BD=CE.

⑴在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；

借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造“手拉手”圖形來(lái)解答下面的問(wèn)題：

（2）如圖2,AB=BC,ZABC=ZBDC=60°,求證：AD+CD=BD；

（3汝口圖3,在4ABC中，AB=AC,ZBAC=m°>點(diǎn)E為白ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，ZEBC=ZACF,ED±FD,

求NEAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）.

21.（10分）關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+l=l.

（1）當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況;

(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出一組滿足條件的a,b的值，并求此時(shí)方程的根.

22.(10分)如圖，拋物線y=；x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱(chēng)軸交拋物線于點(diǎn)D,交x

軸于點(diǎn)E,已知OB=OC=1.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連接BD,F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NFAB=NEDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ=；MN

時(shí)，求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng).

23.(12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P沿射線BD運(yùn)動(dòng)，連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得線段PQ.

(1)當(dāng)點(diǎn)Q落到AD上時(shí)，NPAB=°,PA=,AQ長(zhǎng)為

(2)當(dāng)APJ.BD時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為Po,點(diǎn)Q為Qo,移動(dòng)點(diǎn)P的位置，求NQQoD的大小；

⑶在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)以點(diǎn)Q為圓心，,BP為半徑的圓與直線BD相切時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；

(4)點(diǎn)P在線段BD上，由B向D運(yùn)動(dòng)過(guò)程(包含B、D兩點(diǎn))中，求CQ的取值范圍，直接寫(xiě)出結(jié)果.

24.(14分)為了促進(jìn)學(xué)生多樣化發(fā)展，某校組織開(kāi)展了社團(tuán)活動(dòng)，分別設(shè)置了體育類(lèi)、藝術(shù)類(lèi)、文學(xué)類(lèi)及其它類(lèi)社

團(tuán)(要求人人參與社團(tuán)，每人只能選擇一項(xiàng)).為了解學(xué)生喜愛(ài)哪種社團(tuán)活動(dòng)，學(xué)校做了一次抽樣調(diào)查.根據(jù)收集到的

數(shù)據(jù)，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，完成下列問(wèn)題：

（2）求文學(xué)社團(tuán)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角的度數(shù)；

（3）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（4）若該校有1500名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)喜歡體育類(lèi)社團(tuán)的學(xué)生有多少人?

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1,A

【解析】

x+11

試題分析：選項(xiàng)A為最簡(jiǎn)分式；選項(xiàng)B化簡(jiǎn)可得原式=-7:一巧一=一』；；選項(xiàng)c化簡(jiǎn)可得原式

（x+1）（X-1）X~1

=（）了）2=口;選項(xiàng)D化簡(jiǎn)可得原式=-（旁）.（f6）.「三￡故答案選A.

x（x-y）X2（x+6）2

考點(diǎn)：最簡(jiǎn)分式.

2、B

【解析】

根據(jù)題意去設(shè)所進(jìn)烏梅的數(shù)量為以g,根據(jù)前后一共獲利750元，列出方程，求出x值即可.

【詳解】

解：設(shè)小李所進(jìn)甜瓜的數(shù)量為x（依），根據(jù)題意得：

x40%x150-（x-150）xx20%=750,

XX

解得：尸200,

經(jīng)檢驗(yàn)尸200是原方程的解.

答：小李所進(jìn)甜瓜的數(shù)量為200kg.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于對(duì)等量關(guān)系的理解，進(jìn)而列出方程即可.

3^A

【解析】

分析：只要證明△DAB0Z\EAC,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷；

詳解：VZDAE=ZBAC=90°,

/.ZDAB=ZEAC

VAD=AE,AB=AC,

.,.△DAB^AEAC,

.*.BD=CE,ZABD=ZECA,故①正確，

/.ZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正確，

VZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=45o+45o=90°,

AZCEB=90°,即CE_LBD,故③正確，

.,.BE^BC'-EC^IAB1-(CD^DE1)=1AB1-CD1+1AD'=1(AD'+AB1)-CD1.故④正確，

故選A.

點(diǎn)睛：本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三

角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4、D

【解析】

連接OC交MN于點(diǎn)P,連接OM、ON,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OP=^OM,得到NPOM=60。，根據(jù)勾股定理求出MN,

2

結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【詳解】

解：連接OC交MN于點(diǎn)P,連接OM、ON,

由題意知，OC_LMN,且OP=PC=1,

在RtAMOP中,VOM=2,OP=1,

Qp]__________

.?,cosZPOM=——=->AC=y]0M2-0P2=A/3?

OM2

:.ZPOM=60°,MN=2MP=273，

：.ZAOB=2ZAOC=120°,

則圖中陰影部分的面積=5半四?2s弓形MCN

1,2c/120^-x221

二一x7tx22-2x(---------—x2，3xl)

23602

=273--兀，

3

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、三角函數(shù)值的運(yùn)用、扇形的面積公式的運(yùn)用、三角形的面積公式

的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.

5、A

【解析】

根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】

負(fù)數(shù)的相反數(shù)是它的絕對(duì)值，所以-0.2的相反數(shù)是0.2.故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相反數(shù)的定義，熟練掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

6、B

【解析】

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出每個(gè)不等式的解集，對(duì)比即可得.

2x+6>0①

【詳解】<

5x<x+8②

解不等式①得，x>-3,

解不等式②得，xW2,

在數(shù)軸上表示①、②的解集如圖所示,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個(gè)

不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)(>,N向右畫(huà)；V,W向左畫(huà))，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上

面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)2”，“W

要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“V”，“>”要用空心圓點(diǎn)表示.

7、A

【解析】

直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

【詳解】

,:a+|a|=O,

|a|=-a,

則a<0,

故原式=2-a-a=2-2a.

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

8、B

【解析】

根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解.

【詳解】

已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為近、2、V10>

只有選項(xiàng)B的各邊為1、0、石與它的各邊對(duì)應(yīng)成比例.故選B.

【點(diǎn)晴】

此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理.

9、C

【解析】

根據(jù)題意，求出NAEM,再根據(jù)AB〃CD,得出NAEM與NCFE互補(bǔ)，求出NCFE.

【詳解】

VAM1EF,ZEAM=10°

二ZAEM=80°

XVAB#CD

.,.ZAEM+ZCFE=180°

.?.ZCFE=100°.

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形內(nèi)角和與兩條直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.

10、D

【解析】

11ApAf?1

由AE=-A￡)=—6C,又AD〃BC,所以一=——=一，故A正確，不符合題意；過(guò)D作DM〃BE交AC于N,

22BCFC2

得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故B正確，不符合題意；

2

根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；

由ABAEs^ADC,得到CD與AD的大小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求tan/CAD的值，故D錯(cuò)誤，符合題意.

【詳解】

:.△AEFsMBF,

.AEAF1

??==-，

BCFC2

VAE=-AD=-BC,

22

AT1

故A正確，不符合題意;

B.過(guò)。作交AC于N,

'：DE//BM,BE//DM,

二四邊形BMDE是平行四邊形，

：.BM=DE=-BC,

2

：.BM=CM,

：.CN=NF,

,.,8EJL4C于點(diǎn)F,DM//BE,

:.DNLCF,

：.DF=DC,

:.NDCF=NDFC,故B正確，不符合題意;

C.圖中與AAE尸相似的三角形有△AC。，ABAF,ACBF,△CAB,△ABE共有5個(gè)，故C正確，不符合題意；

a

D.設(shè)=%由△氏4￡5/\4。&有2_2_

ab

???tanNC4O=￡2=2=N?,故D錯(cuò)誤，符合題意.

ADa2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

考查相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、a(a-l)2.

【解析】

要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是

完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，

a3-2a2+a=a(a2-2a+l)=a(a-l)”.

12、1.

【解析】

設(shè)P(0,b),

???直線APB〃x軸，

AA,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為b,

4

而點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-一的圖象上，

x

44

?工當(dāng)y=b,x=--,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(?工，b),

bb

又?.?點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=3的圖象上，

X

2?

???當(dāng)y=b,x=~,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,b),

bb

bbb

116

:.SAABC=-*AB?OP=-?-?b=l.

22b

33

⑶5或I

【解析】

試題分析：如圖4所示；點(diǎn)E與點(diǎn)C，重合時(shí).在RtAABC中，BC=7A52-AC2=4-由翻折的性質(zhì)可知；AE=AC=3、

DC=DE.貝!]EB=2.設(shè)DC=ED=x,貝！JBD=4-x.在RtADBE中，DE2+BE2=DB2,BPx2+22=(4-x)2.解得：

33

x=-.，DE=-.如圖2所示：NEDB=90時(shí).由翻折的性質(zhì)可知：AC=AC,ZC=ZC,=90°.VZC=ZC,=ZCDC,=90°,

22

二四邊形ACDC'為矩形.又；AC=AC',...四邊形ACDC'為正方形.，CD=AC=3.，DB=BC-DC=4-3=4.；DE〃AC,

“DEDB1.ED15A3-*，一上乂

.".△BDE<^AABCA.:.——=——=-,即——=-.解得：DE=—.點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng)，NDBCV90。，故NDBC

ACCB4344

不可能為直角.

【解析】

過(guò)點(diǎn)A作AMLDC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BNJ_DC于點(diǎn)N.則AM=BN.通過(guò)解直角AACM和△BCN分別求得CM、

CN的長(zhǎng)度，則易得MN=AB.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM_LDC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN_LDC于點(diǎn)N,

,■—?????????aaka???????1

DMNC2

則AB=MN,AM=BN.

在直角△ACM,VZACM=45°,AM=50m,

.,.CM=AM=50m.

,在直角ABCN中，ZBCN=ZACB+ZACD=60°,BN=50m,

BN_50_505/3

(m),

tan60°y/33

.，.MN=CM-CN=50-迎目(m).

3

則AB=MN=(50-”無(wú))m.

3

故答案是：(50-里史).

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)問(wèn)題.

I

15>y=-x-1

2

【解析】

分析：根據(jù)互相平行的兩直線解析式的A值相等設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)(-2,-4)的坐標(biāo)代入解析式求解

即可.

詳解：?.?一次函數(shù)的圖象與直線產(chǎn);*+1平行，二設(shè)一次函數(shù)的解析式為尸;x+b.

???一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-4),；.；x(-2)+b=-4,解得：b=-l,所以這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式是：尸;x-1.

故答案為廣;x-1.

點(diǎn)睛：本題考查了兩直線平行的問(wèn)題，熟記平行直線的解析式的#值相等設(shè)出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

16、1

【解析】

根據(jù)題意可以分別求得。1,。2,Q3,。4,從而可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，三個(gè)一循環(huán)，從而可以求得42019的值.

【詳解】

解：由題意可得，

?1=52+1=26>

?2=(2+6)2+1=65,

。3=(6+5)2+1=1,

04=(1+2+2)2+1=26,

，2019+3=673,

?2019=

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)字變化類(lèi)規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出前幾個(gè)數(shù)，觀察數(shù)的變化特點(diǎn)，求出02019的值.

17、B

【解析】

正五邊形的內(nèi)角是/48。=氏3M^=108。，'：AB=BC,/.ZCAB=36°,正六邊形的內(nèi)角是

5

ZABE=ZE=(6-2)x180=120°,VZAD￡+Z￡+ZABE+ZCAB=360°,/.ZADE=360o-120o-120o-36o=84°,故選B.

6

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18、（1）A（0,4）、C（3,l）（2）見(jiàn)解析⑶孚

【解析】

試題分析：（D根據(jù)點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（3）

點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路程是以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng).

試題解析：(1)A(0,4)C(3,1)

（2）如圖所示:

⑶根據(jù)勾股定理可得：Ag也'貝心=器=笞薩30

=-------71

2

考點(diǎn)：圖形的旋轉(zhuǎn)、扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式.

【解析】

試題分析：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形.由N4=NAC。，NA。加NCOO可證△ABO^^CDO,

從而___；再在RtAABC和R38C。中分別求出43和CD的長(zhǎng)，代入即可.

—n—口=—w—u

2D00

解：VZABC=ZBCD=90°,AAB/7CD,.\ZA=ZACD,AAABO^ACDO,A

□33C

55=oc

在RtAABC中，ZABC=90°,NA=45°,BC=1,/.AB=1.

在RtABCD中，ZBCD=90°,ND=30°,BC=1,/.CD=_

V3—..=—?—=~■J

二工,7J-

20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)ZEAF=-m°.

2

【解析】

分析：(1)如圖1中，欲證明BD=EC,只要證明△DAB^^EAC即可；

(2)如圖2中，延長(zhǎng)DC到E,使得DB=DE.首先證明△BDE是等邊三角形，再證明AABDgZkCBE即可解決問(wèn)

題；

(3)如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長(zhǎng)ED到M,使得DM=DE,連

接FM、CM.想辦法證明AAFEgZkAFG,可得NEAF=NFAG=，m。.

2

詳(1)證明：如圖1中，

,:NBAC=NDAE,

.*.ZDAB=ZEAC,

在^DAB和△EAC中,

AD=AE

<ZDAB=ZEAC,

AB=AC

.,.△DAB^AEAC,

.*.BD=EC.

(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)DC到E,使得DB=DE.

D

VDB=DE,ZBDC=60°,

AABDE是等邊三角形,

/.ZBD=BE,ZDBE=ZABC=60°,

...NABD=NCBE,

VAB=BC,

/.△ABD^ACBE,

/.AD=EC,

二BD=DE=DC+CE=DC+AD.

/.AD+CD=BD.

(3)如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長(zhǎng)ED到M,使得DM=DE,連

接FM、CM.

圖3

由⑴EAB^AGAC,

.?.Z1=Z2,BE=CG,

VBD=DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM,

/.△EDB^AMDC,

.*.EM=CM=CG,ZEBC=ZMCD,

VZEBC=ZACF,

.*.ZMCD=ZACF,

:.ZFCM=ZACB=ZABC,

N1=3=N2,

:.ZFCG=ZACB=ZMCF,

VCF=CF,CG=CM,

.,.△CFG^ACFM,

；.FG=FM,

VED=DM,DF_LEM,

；.FE=FM=FG,

VAE=AG,AF=AF,

/.△AFE^AAFG,

.?.ZEAF=ZFAG=-m°.

2

點(diǎn)睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)利用“手拉手”圖形中的全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)造“手拉手”模型，解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

21、（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）b=-2,a=2時(shí)，X2=x2=-2.

【解析】

分析：（2）求出根的判別式△=〃-4ac，判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.

（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△=〃-4ac=0,寫(xiě)出一組滿足條件的人的值即可.

詳解：（2）解：由題意：

VA=^2-4?c=（a+2）2-4a=a2+4>0,

???原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）答案不唯一，滿足〃一4"=0（。。0）即可，例如：

解：令（7=1,b=-2,則原方程為j?一2%+1=0,

解得：X]=%2=1.

點(diǎn)睛：考查一元二次方程以2+云+c=0（。。0）根的判別式△=〃一4",

當(dāng)八二〃—々/?！?。時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)△二k—4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)4=。2-4。。<（）時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

i97

22、(1)丁=一/—2%—6,點(diǎn)口的坐標(biāo)為(2,-8)(2)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7,―)或(5,—)(3)菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為病+1

222

或而-1.

【解析】

分析：(1)利用待定系數(shù)法，列方程求二次函數(shù)解析式.(2)利用解析法，NFAB=NEDB,tanZMG=tanZBDE,求

出尸點(diǎn)坐標(biāo).(3)分類(lèi)討論，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，在x軸下方時(shí)分別計(jì)算MN.

詳解：

(1)VOB=OC=1,

AB(1,0),C(0,-1).

1,2

—x6~+6b+c=0

A<2,

c=-6

[h=-2

解得,

c=-6

1

12

-X

???拋物線的解析式為y2—2x—6.

ii9

?:y=—x2—2x—6=—(x-2)^-8,

工點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,?8).

41Jr

「o-*rGR

?彳

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,工1一2%-6).過(guò)點(diǎn)尸作尸6_1丫軸于點(diǎn)6,易求得。4=2,則

2

AG=x+2,FG=-x2-2x-6.

2

,:NFAB=NEDB,

tanZE4G=tanZBDE,

x+22

解得玉=7,々=一2(舍去).

9

當(dāng)x=7時(shí)，y=—,

9

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(7,-).

2

7

當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)，設(shè)同理求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(5,

2

97

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(7,—)或(5,-一).

22

(3)；點(diǎn)P在x軸上，

二根據(jù)菱形的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,()).

如圖，當(dāng)在x軸上方時(shí)，設(shè)7為菱形對(duì)角線的交點(diǎn).

'：PQ=-MN,

：.MT=2PT.

設(shè)7尸=",則M7=2〃.：.M（2+2n,n）.

?.?點(diǎn)M在拋物線上，

12

??.〃=/（2+2H）—2（2+2〃）-6,即2〃？一九一8=0.

解得勺=11普，〃2=上普4舍去).

:.MN=2MT=4n=V65+1.

當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，設(shè)"=〃，得M(2+2〃，

?.?點(diǎn)M在拋物線上，

.?.一〃=；(2+2〃『一2(2+2〃)一6,

即2〃2+〃-8=0.

解得〃1=-1y,4=土普(舍去).

:.MN=2MT=4n=765-1.

綜上所述，菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為娟+1或病-1.

點(diǎn)睛：

1.求二次函數(shù)的解析式

(1)已知二次函數(shù)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，利用一般式，y=a/+6x+c(。。0).列方程組求二次函數(shù)解析式.

(2)已知二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(玉,0)(々,0),利用雙根式，y=a(x-xJ(x-X2)(。。0)求二次函數(shù)解析式,

而且此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸方程過(guò)交點(diǎn)的中點(diǎn),x=土二.

2

2.處理直角坐標(biāo)系下，二次函數(shù)與幾何圖形問(wèn)題：第一步要寫(xiě)出每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(不能寫(xiě)出來(lái)的，可以用字母表示)，寫(xiě)

已知點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程中，經(jīng)常要做坐標(biāo)軸的垂線，第二步，利用特殊圖形的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，往往是解決問(wèn)題的鑰匙.

23、(1)45,坦旦，且⑵滿足條件的NQQoD為45?；?35。；⑶BP的長(zhǎng)為名或衛(wèi)；(4)￡1SCQS7.

7752510

【解析】

⑴由已知，可知△APQ為等腰直角三角形，可得NPAB,再利用三角形相似可得PA,及弧AQ的長(zhǎng)度：

(2)分點(diǎn)Q在BD上方和下方的情況討論求解即可.

(3)分別討論點(diǎn)Q在BD上方和下方的情況，利用切線性質(zhì)，在由(2)用BPo表示BP,由射影定理計(jì)算即可；

(4)由(2)可知，點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)Q。，且與BD夾角為45。的線段EF上運(yùn)動(dòng)，有圖形可知，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，CQ最長(zhǎng)

為7,再由垂線段最短，