素養(yǎng)拓展15平面向量中的最值（范圍）問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、平面向量中的最值（范圍）問題平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知識的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解題思路通常有兩種：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識來解決．二、極化恒等式設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個向量，則有SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②將兩式相減可得SKIPIF1<0，這個等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．①幾何解釋1（平行四邊形模型）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．即“從平行四邊形一個頂點出發(fā)的兩個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的SKIPIF1<0”．②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對角線的交點，則由SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（極化恒等式的應(yīng)用）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上任意一點，求SKIPIF1<0的最小值．解：令SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0三點共線（如圖），從而SKIPIF1<0的幾何意義表示點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，這說明SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的高，故SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則由向量極化恒等式可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0到邊SKIPIF1<0的距離．即當(dāng)點SKIPIF1<0在垂足SKIPIF1<0（非端點）處時，SKIPIF1<0達(dá)到最小值．【典例2】（數(shù)量積的最值（范圍））已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若點M是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，依題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（模的最值（范圍））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，以SKIPIF1<0為鄰邊作平行四邊形SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的起點為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的終點SKIPIF1<0的軌跡為以點SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓，如圖，當(dāng)點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的延長線與圓SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；當(dāng)點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0兩邊平方得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值的最大值SKIPIF1<0.故選：A.【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.極化恒等式的應(yīng)用1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為圓半徑為1SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0根據(jù)向量加法和減法法則知：SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0是直徑，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選B2．如圖，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點是線段SKIPIF1<0上一動點.若以SKIPIF1<0為圓心?半徑為1的圓與線段SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故選B3．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則的值是A． B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【解析】過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.因為M是AC的中點，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選A4．已知SKIPIF1<0的斜邊SKIPIF1<0的長為4，設(shè)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示，在SKIPIF1<0上，不妨取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)圓的半徑為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故選C5．已知圖中正六邊形SKIPIF1<0的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，SKIPIF1<0為圓O的直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為正六邊形SKIPIF1<0的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，外接圓的半徑SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D6．已知邊長為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由已知可得，正方形上的點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.7．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的兩個動點，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【解析】取SKIPIF1<0的中點，取SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，因為的最小值SKIPIF1<0，所以．作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為，所以由正弦定理得：SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：.8．如圖，圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓，已知SKIPIF1<0，過圓心SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的取值范圍是_________．【解析】圓O的半徑為1，考慮到P、Q兩點都是動點，不妨將SKIPIF1<0，這樣一轉(zhuǎn)化，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．若Q在SKIPIF1<0的投影為SKIPIF1<0的中點時，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．2.數(shù)量積的最值（范圍）問題一、單選題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為菱形的中心，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0、SKIPIF1<0用基底SKIPIF1<0表示，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由平面向量數(shù)量積的定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為菱形SKIPIF1<0的中心，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知SKIPIF1<0是半徑為2，圓心角為SKIPIF1<0的扇形，點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是圓弧SKIPIF1<0上的動點（包括端點），則SKIPIF1<0的最小值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，利用平面向量的坐標(biāo)運算得SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系

則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A.3．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設(shè)SKIPIF1<0，利用余弦定理可求得SKIPIF1<0，根據(jù)向量數(shù)量積定義可得SKIPIF1<0，利用三角形三邊關(guān)系可求得SKIPIF1<0的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點和向量的坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)運算.SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有公共點求參數(shù)最值問題.【詳解】因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系：

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，依題意直線SKIPIF1<0與圓有公共點，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.

故選：A5．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考二模）已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題設(shè)易知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而求SKIPIF1<0即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立.故選：A6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知邊長為2的菱形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，根據(jù)線性運算進(jìn)行變換可求得SKIPIF1<0；以菱形對角線交點為原點，對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出SKIPIF1<0，得到關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，求得二次函數(shù)最小值即為結(jié)果.【詳解】由題意知：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0本題正確選項：SKIPIF1<0【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算問題，涉及到利用定義的運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算，解題關(guān)鍵是能夠通過線性運算進(jìn)行變換，通過數(shù)量積運算的定義求得夾角；再通過建立平面直角坐標(biāo)系的方式，將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，通過函數(shù)關(guān)系求解得到最值.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為2，SKIPIF1<0，點E在邊BC上，SKIPIF1<0，若G為線段DC上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示因為菱形ABCD的邊長為2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運算求出SKIPIF1<0，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運算即可.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓SKIPIF1<0為銳角SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，由余弦定理、數(shù)量積的定義得SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的位置得SKIPIF1<0，結(jié)合銳角三角形SKIPIF1<0恒成立，即可得范圍.【詳解】由SKIPIF1<0為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若外接圓半徑為r，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0為直徑時SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0重合時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，銳角三角形中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立，綜上，SKIPIF1<0.故選:C二、填空題9．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0的范圍和正切函數(shù)的值域即可求出其范圍.【詳解】根據(jù)正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.10．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為點B，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【分析】由向量的數(shù)量積公式得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的最大值和最小值即可得出結(jié)果.【詳解】由線段EF的中點為點B，得出SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)點P位于點A或點C時，SKIPIF1<0取最大值8.當(dāng)點P位于SKIPIF1<0的中點時，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為圓心為SKIPIF1<0、半徑為1的圓的動直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【分析】由向量的運算得出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的范圍得出SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<012．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，點D，E分別在邊AB，AC上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點F為線段DE上的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為基底，將SKIPIF1<0分別用SKIPIF1<0表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，其開口向上，對稱軸為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了平面向量的線性運算及數(shù)量積的運算，以SKIPIF1<0為基底，將SKIPIF1<0分別用SKIPIF1<0表示，是解決本題的關(guān)鍵.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分別有兩動點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0恰好將SKIPIF1<0分為面積相等的兩部分.則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用余弦定理求出SKIPIF1<0，再由正弦定理求出外接圓半徑SKIPIF1<0，利用外心定義及數(shù)量積定義計算出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值，又SKIPIF1<0，利用數(shù)量積運算表示SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】在SKIPIF1<0中，由余弦定理即SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因為線段SKIPIF1<0恰好將SKIPIF1<0分為面積相等的兩部分，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是其外心，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0，等號成立，此時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的正方形SKIPIF1<0中．以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)點SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上運動時，SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】以點SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，以點SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3.模的最值（范圍）問題一、單選題1．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由向量的數(shù)量積與模的關(guān)系消元化簡計算即可.【詳解】設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角），則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量的模長的計算公式求解即可.【詳解】因為向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角），則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0的最小值為1，即SKIPIF1<0的最小值為1.故選：C.3．（2023·北京海淀·校考三模）已知SKIPIF1<0為單位向量，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】依題意設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的范圍，即可得解.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故選：C．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在平面內(nèi)一點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，計算出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，利用向量三角不等式可求得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】在平面內(nèi)一點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等腰直角三角形，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同向時，等號成立，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：B.6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知在三角形ABC中，SKIPIF1<0，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，點P，Q分別為MN，BC的中點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，再計算SKIPIF1<0，得到函數(shù)SKIPIF1<0，最后根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間最值的求法即可求解.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故選：B7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運動，且保持SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，表示出各點的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．【詳解】解：如圖，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立平面直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0．故選：A．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得點SKIPIF1<0的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，半徑SKIPIF1<0的圓上，SKIPIF1<0表示圓SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0與定點SKIPIF1<0的距離，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：D.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知單位向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0垂直，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意不妨設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由模的坐標(biāo)表示得點SKIPIF1<0在圓上，由SKIPIF1<0的幾何意義，只要求得圓心到原點的距離后可得結(jié)論．【詳解】由題意不妨設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0