素養(yǎng)拓展37圓錐曲線中的存在性和探索性問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、圓錐曲線中的存在性問題1.存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．一般步驟為：①假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,②用待定系數(shù)法設出,③列出關于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．注：反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法．【一般策略】求解字母參數(shù)值的存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在;若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程.二、圓錐曲線中的探索性性問題1.對于要注意：(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件；(3)當條件和結論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】已知雙曲線E：SKIPIF1<0與直線l：SKIPIF1<0相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．(1)當k變化時，求點M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【典例2】在平面直角坐標系SKIPIF1<0中,動點SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,記點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0．（1）請說明SKIPIF1<0是什么曲線,并寫出它的方程；（2）設不過原點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于兩點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,請判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系,并證明你的結論．【題型訓練-刷模擬】1.存在性問題1．雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在直線SKIPIF1<0，經(jīng)過點SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，若存在，求SKIPIF1<0的方程；若不存在，說明理由.2．已知橢圓方程為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線傾斜角為SKIPIF1<0，原點到該直線的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程；(2)對于SKIPIF1<0，是否存在實數(shù)k，使得直線SKIPIF1<0分別交橢圓于點P，Q，且SKIPIF1<0，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．3．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左焦點、左頂點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0（不與x軸重合）交橢圓SKIPIF1<0于A，B兩點．

(1)求橢圓M的標準方程；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(3)是否存在直線SKIPIF1<0，使得點B在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上，若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程；若不存在，請說明理由．4．已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標原點，過點SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0軸的直線與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，記動點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運動，過點SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，在平面內(nèi)是否存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，請求出定點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．5．在直角坐標系SKIPIF1<0中，拋物線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于M，N兩點．(1)若M，N的橫坐標分別為SKIPIF1<0，4，求直線l的方程及MN的中垂線所在的直線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有SKIPIF1<0?說明理由．6．如圖，SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點SKIPIF1<0，直線AN過點SKIPIF1<0

(1)記A，B的縱坐標分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)記直線AN，BM的斜率分別為SKIPIF1<0，是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在說明理由7．已知橢圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，斜率不為零的直線SKIPIF1<0過右焦點SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0兩點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)在SKIPIF1<0軸上是否存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0點坐標，如果不存在，說明理由.8．已知離心率為SKIPIF1<0的橢圓C的中心在原點O，對稱軸為坐標軸，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點，M為橢圓上的點，且SKIPIF1<0．直線l過橢圓外一點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，滿足SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標準方程；(2)對于任意點P，是否總存在唯一的直線l，使得SKIPIF1<0成立，若存在，求出點SKIPIF1<0對應的直線l的斜率；否則說明理由．9．已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且上頂點與右頂點的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0軸上是否存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，若存在，求出點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．10．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，橢圓上的點到焦點的最小距離是3．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在過點SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，使得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．11．已知雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左頂點，SKIPIF1<0的離心率為2.設過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，其中SKIPIF1<0在第一象限.

(1)求SKIPIF1<0的標準方程；(2)是否存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；否則，說明理由.12．已知動點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0的距離與動點SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0．(1)求點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)對SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上是否始終存在兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱？若存在，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請說明理由．13．已知拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點（異于坐標原點SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過定點．(2)已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的右側，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試問是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．14．已知橢圓SKIPIF1<0的焦距為2，且經(jīng)過點SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點F且斜率為SKIPIF1<0的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．15．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.(1)已知SKIPIF1<0過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0不過點SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)當直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0.是否存在直線SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程；若不存在，請說明理由.2.探索性問題1．已知橢圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,過點SKIPIF1<0且斜率為k的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A,B兩點.當A為橢圓E的上頂點時,SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程;(2)當SKIPIF1<0時,試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點SKIPIF1<0,并說明理由.2．過拋物線SKIPIF1<0焦點SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)過焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．3．在以SKIPIF1<0為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點SKIPIF1<0，點P為圓A上的任意一點，線段BP的垂直平分線SKIPIF1<0和半徑AP交于點M．(1)判斷點M的軌跡是什么曲線，并求其方程；(2)記點M的軌跡為曲線SKIPIF1<0，過點B的直線與曲線SKIPIF1<0交于C、D兩點，求SKIPIF1<0的最大值；(3)在圓SKIPIF1<0上的任取一點Q，作曲線SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．4．已知橢圓C：SKIPIF1<0，短軸長為4，離心率為SKIPIF1<0，直線l過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)求SKIPIF1<0面積的取值范圍；(3)若圓O以橢圓C的長軸為直徑，直線l與圓O交于C、D兩點，若動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，試判斷直線MC與圓O的位置關系，并說明理由．5．已知點E是圓SKIPIF1<0上的任意一點，點SKIPIF1<0，線段DE的垂直平分線與直線EF交于點C．(1)求點C的軌跡方程；(2)點SKIPIF1<0關于原點O的對稱點為B，與AB平行的直線l與點C的軌跡交于點M，N，直線AM與BN交于點P，試判斷直線OP是否平分線段MN，并說明理由．6．已知雙曲線SKIPIF1<0，其右焦點為SKIPIF1<0，焦距為4，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且當直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0時，恰好與雙曲線SKIPIF1<0有一個交點.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)若直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0點，且滿足SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是否為常數(shù)，并給出理由.7．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓E的離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓E的標準方程；(2)過SKIPIF1<0作直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N，其中l(wèi)與x軸不重合，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點P，判斷直線SKIPIF1<0與DP的位置關系，并說明理由．8．已知橢圓SKIPIF1<0的一個焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標原點），過點SKIPIF1<0作一直線交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0面積的最大值；(3)設點SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關系，并說明理由.9．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動點，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的準線上，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點，試判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關系，并說明理由.10．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右頂點，若點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一條漸近線的距離為SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的任意兩點，且SKIPIF1<0的垂心為SKIPIF1<0，試問：點SKIPIF1<0是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．11．橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，左右頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點，SKIPIF1<0的延長線與橢圓相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點．圓SKIPIF1<0以原點SKIPIF1<0為圓心且過橢圓上頂點SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若過點SKIPIF1<0的直線與圓SKIPIF1<0切于SKIPIF1<0