備考985高校自主招生數(shù)學(xué)講義PAGEPAGE1第二講．?dāng)?shù)學(xué)邏輯知識要求1.反證法2.數(shù)形結(jié)合方法3.不動點問題例題分析1.是否存在四個正實數(shù)，它們兩兩乘積分別為2，3，5，6，10，16.（2011年北約十三校聯(lián)考）相關(guān)習(xí)題（1）.是否存在，使得，，的某種排列為等差數(shù)列？（2010年北約）（2）是否存在兩兩不同的實數(shù)使平面直角坐標(biāo)系中的三條直線，，共點.（2013年北京大學(xué)保送生）2.已知由正整數(shù)組成的無窮等差數(shù)列中有3項：13，25，41，求證：2009為其中一項.（2009年北京大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）.已知為大于零的正實數(shù)，且，.求證：這10個數(shù)是必有一個數(shù)在之間.（2012年北京大學(xué)保送生）（2）已知正數(shù)數(shù)列.對于大于的整數(shù)，有，，試證：中至少有一個小于1.（2000年上海交通大學(xué)）（3）已知（）為2013個實數(shù)，滿足：，且，求證：（2013年北約）3.至多能取多少個兩兩不同的正整數(shù)，使得其中任意三個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)？證明你的結(jié)論.（2013年北約）相關(guān)習(xí)題（1）在1、2、3、…、2012中任取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，則所取的這組數(shù)中最多有多少個數(shù)？（2012年北約）（2）寫出由3個質(zhì)數(shù)組成的公差為8的等差數(shù)列.（2009年清華大學(xué)）4.有限多條拋物線（線和線的內(nèi)部）能夠覆蓋整個平面嗎？證明你的結(jié)論.（2009年清華大學(xué)特色測試）5.設(shè)，為實數(shù)，函數(shù)，如果只有一個實數(shù)根，求證：，（2011年北京大學(xué)保送生試題）相關(guān)習(xí)題（1）.已知函數(shù)，且沒有實數(shù)根.那么是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論.（2008年上海交通大學(xué)冬令營）（2）.證明：若有唯一的不動點，則也有唯一的不動點.（2009年上海交通大學(xué)）6.已知方程的根是函數(shù)的不動點，令（1）若，為函數(shù)的不動點，求，，的值；（2）在（1）的條件下，若，求的解析式.（2003年同濟(jì)大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）.已知、、、為非負(fù)實數(shù)，，且，，若，對任意的均有，試求出值域以外的唯一數(shù).（2013年清華大學(xué)夏令營）7.求證：一個數(shù)列中各數(shù)相等的充分必要條件是：