6．1.5向量的線性運算1．(3a＋eq\f(1,2)b＋c)－(2a＋eq\f(3,4)b－c)等于()A．a－eq\f(1,4)b＋2cB．5a－eq\f(1,4)b＋2cC．a＋eq\f(5,4)b＋2cD．5a＋eq\f(5,4)b2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．B，C，DB．A，B，CC．A，B，DD．A，C，D3．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線交DC于點F，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)a＋bB．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,3)bD．a＋eq\f(1,2)b4．設a，b是兩個不共線的非零向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________．5．計算：(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；(3)eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（4a－3b）＋\f(1,3)b－\f(1,4)（6a－7b）)).6．已知e，f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5e－3f.(1)用e，f表示eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)證明：四邊形ABCD為梯形．7．(多選)已知向量a，b是兩個非零向量，在下列條件中，一定可以使a，b共線的是()A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相異實數λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中實數x，y滿足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b8．設P是△ABC所在平面內一點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B．eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C．eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝09．已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊中點，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則()A．eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))B．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))10．設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2∈R)，則λ1＋λ2的值為________．11．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，點E是線段BC的中點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＝______，μ＝________．12．若eq\o(OA,\s\up6(→))＝3e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3e2，且P是線段AB靠近點A的一個三等分點，則向量eq\o(OP,\s\up6(→))用e1，e2可表示為eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．13．已知△ABC中，向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(λ∈R)，則點P的軌跡通過△ABC的()A．垂心B．內心C．外心D．重心14．在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，若p＝t(eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|))，t∈R，則點P在()A．∠AOB平分線所在直線上B．線段AB垂直平分線上C．AB邊所在直線上D．AB邊的中線上參考答案與解析1．答案：A解析：(3a＋eq\f(1,2)b＋c)－(2a＋eq\f(3,4)b－c)＝(3a－2a)＋(eq\f(1,2)b－eq\f(3,4)b)＋(c＋c)＝a－eq\f(1,4)b＋2c.2．答案：C解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點B，∴A，B，D三點共線．3．答案：A解析：由已知條件可知BE＝3DE，所以DF＝eq\f(1,3)AB，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋b.4．答案：－4解析：∵向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0?k＜0).5．解析：(1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.(3)原式＝eq\f(2,3)(4a－3b＋eq\f(1,3)b－eq\f(3,2)a＋eq\f(7,4)b)＝eq\f(2,3)(eq\f(5,2)a－eq\f(11,12)b)＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.6．解析：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)證明：因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，且eq\o(AD,\s\up6(→))的長度為eq\o(BC,\s\up6(→))長度的2倍，即在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD是梯形．7．答案：AB解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y(tǒng)＝0，有xa＋yb＝0，但b與a不一定共線，故C不可以；梯形ABCD中，沒有說明哪組對邊平行，故D不可以．8．答案：B解析：因為eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，所以點P為線段AC的中點，故選項B正確．9．答案：B解析：因為D為BC的中點，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).10．答案：eq\f(1,2)解析：由eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，得λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，從而λ1＋λ2＝eq\f(1,2).11．答案：eq\f(3,4)eq\f(1,2)解析：取AB的中點F，連接CF(圖略)，則由題可得CF∥AD，且CF＝AD.∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2).12．答案：2e1＋e2解析：如圖，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×3e2＋eq\f(2,3)×3e1＝2e1＋e2.13．答案：D解析：設D為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝2λeq\o(AD,\s\up6(→))，即P點在中線AD上，可知P點軌跡必過△ABC的重心．14．答案：A解析：如圖，eq