精選江蘇專用2023版高考數(shù)學

大一輪復習第二章函數(shù)概念與

根本初等函數(shù)12.3函數(shù)的奇偶

性與周期性教師用書文

2.3函數(shù)的奇偶性與周期性

基礎知識自主學習

If知識梳理

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶圖象特

定義

性點

一般如果對于任意的

偶函地，設都有f(—x)關于Z

數(shù)函數(shù)y=4),那么稱函數(shù)軸對稱

尸Hx)是偶函數(shù)

f(x)如果對于任意的

奇函的定x^A,都有f(一x)關于原

數(shù)義域=—f{x),那么稱函點對稱

為4數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)

2.周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)尸f(x),如果存在一個

2

非零常數(shù)北使得當X取定義域內的任何值時，

都有f(x+7)=f(x),那么就稱函數(shù)尸f(x)為

周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周

期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就

叫做F(x)的最小正周期.

【知識拓展】

1.函數(shù)奇偶性常用結論

⑴如果函數(shù)f5)是偶函數(shù),那么f(x)=Ak|).

(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調

性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調

性.

⑶在公共定義域內有：奇土奇=奇，偶土偶=

偶,奇義奇=偶，偶義偶=偶，奇義偶=奇.

2.函數(shù)周期性常用結論

對f(x)定義域內任一自變量的值X：

(1)假設f(x+a)=—F(x),那么7=2a(a>0).

3

(2)假設f(x+a)=/一,那么7=2a(a>0).

IX

(3)假設廣(x+司)=—彳」一，那么7=2a(a>0).

工X

【思考辨析】

判斷以下結論是否正確(請在括號中打“?！ɑ?/p>

“x〃)

⑴偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一

定過原點.(X)

(2)假設函數(shù)尸f(x+a)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y

=f(x)關于直線x=a對稱.(V)

(3)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f^x+a)=-f{x),

那么f(x)是周期為2a(金0)的周期函

數(shù).(J)

(4)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一

個必要條件.(V)

⑸假設7是函數(shù)的一個周期，那么nT(代Z,刀20)

也是函數(shù)的周期.(V)

4

2考點自測

L(教材改編)對于定義域是R的任意奇函數(shù)

AT),以下結論正確的有.(填序號)

①f(x)—f(—x)>0；②f(x)——

x)WO;

③f(x)?F(—x)W0;④f(x)?f(-x)>0.

答案③

解析①②顯然不正確.對任意奇函數(shù)f5),有

f(一力=—f{x},f(^x)?—X)=—

"(x)『W0,故③正確，④不正確.

2.(教材改編)函數(shù)y=f(由為(-8,+8)上的

偶函數(shù)，且A|a|)=3,那么f{-a)=.

答案3

解析假設@20,那么F(—a)=f(a)=F(|a|)

=3；假設水0,那么f(—a)=/*(|T)=3.故對

總有廣(一a)=3.

3.(教材改編)假設函數(shù)Hx)=(x+l)(x—a)為

5

偶函數(shù)，那么a=.

答案1

解析,:f(力=(x+1)(x—a)=x+(1—a)x—a

為偶函數(shù)，???/?(—x)=f(x)對任意x￡R恒成立,

，(1一》)x=(a—l)x恒成立，

??1a=0,??1.

4.(教材改編)設函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在

[0,1]上的圖象如下圖，那么它在上的解

析式為.

答案F(x)=x+2

解析由題意知f(x)在上為一條線段，

且過(一1,1)、(0,2),設f(x)=Ax+8,

代入解得k=l,b=2.所以f(x)=x+2.

5.(2023?四川)假設函數(shù)f(x)是定義在R上的周

期為2的奇函數(shù)，當0＜水1時，f(x)=4',那么

6

《_|)+憔)=--------.

答案一2

解析???f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，Jf(0)=

0,

又0<Xl時,f{x)=4",/(1)=?=2,

.?［一|/*2)

=_f'+A2)

w

=一仃+AO)

W

=-2+0=-2.

題型分類深度剖析

題型一判斷函數(shù)的奇偶性

例1(1)以下函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶

函數(shù)的是.

7

①尸11+3；②y=x+±

X

@y=2x+-；?y=x+e.

答案④

解析①中的函數(shù)是偶函數(shù)；②中的函數(shù)是奇函

數(shù)；③中的函數(shù)是偶函數(shù)；只有④中的函數(shù)既不

是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

-I—xQ

⑵判斷函數(shù)f(x)=2；t的奇偶性.

—X-\-x,x〉0

解當x>0時，一水0,f^x)=-x+x,

f{—x)={—x)2—x=x—x

=—(―/+㈤=—f{x)；

當JKO時，-x>0,f(力=x+x,

/.f{—x)=-{—X)2—X=-X~X

=—{x+x)=-f{x).

，對于x￡(—8,o)U(0,+°°),均有f(一x)

=-f(x).

8

?,?函數(shù)/*(x)為奇函數(shù).

思維升華(1)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟

⑵分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內X

取值的任意性，應分段討論，討論時可依據(jù)X的

范圍取相應的解析式化簡，判斷Xx)與f(—X)

的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷.

跟蹤訓練I(1)(2023?北京海淀區(qū)模擬)以下函數(shù)

中為偶函數(shù)的是.

①尸1；②y=lg|x|；

X

③尸(X—1)2；④尸2；

(2)f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且宣一1)+

g⑴=2,f⑴+g(—1)=4,那么g(l)=

答案(1)②(2)3

9

解析(1)②中，函數(shù)y=lg|x|的定義域為

{x|#0}且lg|-x\=lg|T|,

**.函數(shù)y=1gIx|是偶函數(shù).

⑵???f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)，A-l)+

g⑴=2,f(l)+g(—1)=4,???一=l)+g(l)=

2,f⑴+g⑴=4,得g⑴=3.

題型二函數(shù)的周期性

例2(1)(2023?淮安模擬)f(x)是定義在R上的

偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)

=f(x—1),那么/(2017)+/(2019)=

(2)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x+2)

=一萬^—，當2W后3時，f{x)=x,那么

fx

A105.5)=.

答案(1)0(2)2.5

解析(D由題意，得g(—x)=f(—x—1),

又???Hx)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在

10

R上的奇函數(shù)，

：.g{—x)=—g{x),f(—x)=f{x),

f(x—1)=-f(x+1),

f{x)=—f(x+2),f^x)=f(x+4),

???f(x)的周期為4,

???f(2017)=Al)，f(2019)=F(3)=f(-l),

又,.?『(1)=/(—1)=g(0)=0,

???f(2017)+/(2019)=0.

(2)由，可得f(x+4)=>(x+2)+2]

1

fx+2==f(x).

fx

故函數(shù)的周期為4.

AA105.5)=A4X27-2.5)=f(-2.5)=

F(2.5).

???2W2.5W3,由題意，得A2.5)=

2.5..\/(105.5)=2.5.

引申探究

11

例2(2)中，假設將f(x+2)=改為f(x

+2)=—f(x),其他條件不變，那么A105.5)

的值為.

答案2.5

解析f{x+4)=/[(x+2)+2]=-f(x+2)=

F(x),

???函數(shù)的周期為4(下同例題).

思維升華函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定

義域上的性質.對函數(shù)周期性的考查，主要涉及

函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值.

跟蹤訓練2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=

f(x),當一34水一1時，f(x)=—(x+2)\當

一1二水3時，f(x)=工那么f(l)+F(2)+f(3)

H-----1-/(2018)=.

答案339

解析.."(x+6)=f(x),T=6.

???當-34水一1時，fC0=—(x+2)2；

12

當一水3時，f{x)=x,

???f(l)=Lf(2)=2,A3)=/(-3)=-l,

f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(—l)=-l,

A6)=A0)=0,

???f(1)+f(2)+…+f(6)=1,

???f(l)+f(2)+f(3)+…+4(2015)+/(2016)

2016

=1X=336.

6

又f(2017)=01)=1,A2018)=。2)=2,

/./(I)+A2)+F(3)+…+f(2018)=339.

題型三函數(shù)性質的綜合應用

命題點1解不等式問題

例3(1)(2023?南通模擬)偶函數(shù)『5)在區(qū)間

[0,+8)上單調遞增，那么滿足f(2x—1)＜擔《)

O

的X的取值范圍是.

⑵Hx)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，

假設F(1)〈LF(5)=g/,那么實數(shù)a的取值

a十1

13

范圍為.

19

答案(1)(示$⑵(一1,4)

OO

解析(1)因為“X)是偶函數(shù)，所以其圖象關于

y軸對稱，又f(x)在［0,+8)上單調遞增，f(2x

O

119

所以|2x-1|<§,所以§<啊.

(2)???武力是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，

???/*⑸=f(5—6)=/(-1)=/(1)，

/、/、2a—32a—3八a—4

VAlXb/*(5)=rv~,J1<1,n即riFT

a-v\z十r1a-v\。，

解得一IX水4.

命題點2求參數(shù)問題

9

例4(1)函數(shù)f(x)=lg(a+H)為奇函數(shù)，那

XIX

么實數(shù)a=.

(2)設Hx)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在

14

區(qū)間［191］上，F(xiàn)(x)

%x+l,—1Wx<0,

<bx+2其中a"￡R.假設/'J

OWE,w

=/9,那么a+3Z?的值為.

w

答案（1）一1（2）-10

解析（1）根據(jù)題意得，使得函數(shù)有意義的條件

9

為->0且1+a0，由奇函數(shù)的性質可得

-LIX

Ao)=0.

所以lg（a+2）=0,即a=—l9經檢驗a=-l

滿足函數(shù)的定義域.

（2）因為Ax）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，

（口

所以/'5/一，且f（—i）=f（i）,

w

（n

?__

wI2）

15

1

2

1

從

而2A+1

1一2-±

2一

即3a+28=-2.①

由f(—l)=f(l),得一a+l=中，

即b=-2a.②

由①②得a=2,b=—4,從而a+3b=-10.

思維升華(1)關于奇偶性、單調性、周期性的

綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知

區(qū)間上的問題轉化為區(qū)間上的問題.

(2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便：

①f(x)為偶函數(shù)of5)=AIx|).②假設奇函數(shù)

在x=0處有意義，那么f(0)=0.

跟蹤訓練3(1)假設f(x)=ln(b+l)+"是偶函

數(shù)，那么a=.

(2)奇函數(shù)f(x)的定義域為R.假設f(x+2)為偶

函數(shù)，且A1)=1,那么A8)+/(9)=.

16

答案(1)—￡(2)1

解析(1)函數(shù)f(x)=ln(/+l)+ax是偶函數(shù),

故f{-x)=_f(x),即ln(e-"+1)—ax=ln(e"+

1+小

2ax

1)+ax,化簡得In6x=2ax=lne,

e十e

_l_+__皆__乙ax2ax

即3xI6x—e，

e+e

3x2a3

整理得e+l=e^(e"+l),所以2ax+3x=0,

解得a=一年

(2)由f(x+2)是偶函數(shù)可得F(—x+2)=F(x+

2),

又由f(x)是奇函數(shù)得/l(—x+2)=-f(x—2),

所以f(x+2)=-f(x—2),f(x+4)=-f{x),

f(x+8)=f(x),

故f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，

所以/*⑼=/(8+i)=r(i)=1,

又因為f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

17

所以f(0)=0,所以F(8)=f(0)=0,故/*(8)+

A9)=l.

高頻小考點

2.抽象函數(shù)問題

考點分析抽象函數(shù)問題在高考中也時常遇到，

常常涉及求函數(shù)的定義域，由函數(shù)的周期性求函

數(shù)值或判斷函數(shù)的奇偶性等.一般以填空題來呈

現(xiàn)，有時在解答題中也有所表達.此類題目較為

抽象，易失分，應引起足夠重視.

一、抽象函數(shù)的定義域

典例1函數(shù)y=f(x)的定義域是。8],那么函

fx—\

數(shù),⑸=2—1唯的定義域為——.

解析要使函數(shù)有意義，

18

’0W1W8,

需使<x+l>0,即

、2—log2x+1WO,

'K9,

VX>一1,

、杼3,

解得1W水3,所以函數(shù)g(x)的定義域為[1,3).

答案[1,3)

二、抽象函數(shù)的函數(shù)值

典例2假設定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)滿

足f(x)>0,/15+2)=/一,對任意x￡R恒成

工X

立，那么/(2019)=.

解析因為F(x)>0,F(x+2)="^,

IX

所以Hx+4)=/[(x+2)+2]=7—g—=

J.XI乙

-7—=Hx),

fx

19

即函數(shù)/*(x)的周期是4,

所以f(2019)=A505X4-l)=A-l).

因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

所以“2019)=/(-1)=/(1).

當x=-l時，廣(一］+2)=,\，得A1)

I—1

1

=f1,

即/1⑴=1,所以f(2O19)=A1)=1.

答案1

三、抽象函數(shù)的單調性與不等式

典例3設函數(shù)F(x)是定義在(0,+8)上的增

函數(shù),且滿足f{xy)=f(x)+f(力假設A3)=1,

且f(a)>f(H—l)+2,求實數(shù)a的取值范圍.

標準解答

解因為f^xy)=f{x)+f(式且/(3)=1,

所以2=2*3)=f(3)+A3)=/(9).

又Aa)>f(a-1)+2,所以>f(a-1)+f(9).

20

再由f{xy)=f{x)+f{y),可知F(a)>/[9(a—

1)],

因為Ax)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，

a>0,

9

從而有<9a—1>0,解得1<水石.

O

、a>9a—1,

9

故所求實數(shù)a的取值范圍是(L?).

O

課時作業(yè)

1.(教材改編)Hx)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且

f(x)+g(x)=/+x—2,那么f(x)=

答案1—2

解析f(—x)+g(—x)=x—x—2,

由f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，

得f(x)—g(x)=x—x—2,

又F(x)+g(x)=X+X—29

兩式聯(lián)立得Ax)=x2—2.

21

2.(2023?蘇州模擬)設f(x)是R上的任意函數(shù)，

那么以下表達正確的有.(填序號)

①F(x)f(—x)是奇函數(shù)；

②是奇函數(shù)；

③f(x)—x)是奇函數(shù)；

④f(x)+f(—x)是偶函數(shù).

答案③④

解析對于①，設g(x)=f(x)f(—x),

g(—X)=F(—x)f(x)=g(x),/./(—x)f(x)是偶

函數(shù)；

對于②，設g(②=f(x)|F(—x)|,

g(-x)=f{-x)\f(?I,g(一心豐一

g(力，

???F(x)"(一x)|是非奇非偶函數(shù)；

對于③，設g(x)=F(x)—F(—x),

g(一力=f(一分—f{x)=—LAA)—f(一分］=

-gCO，

???Hx)—f(—x)是奇函數(shù)；

22

對于④，設g(x)=F(x)+F(—x),

g(一力=f(—X)+f(A)=g(x),

，f(x)+f(—x)是偶函數(shù).

3.F(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足F(x+4)=f(x),

當xG(-2,0)時，f(x)=2/,那么f(2019)=

答案2

解析由f(x+4)=f(x)知，f(x)是周期為4的

周期函數(shù),其(2019)=/(504X4+3)=/(3),

又f(x+4)=f{x),為f(3)=f(—1),

由一1￡(一2,0)得*-1)=2,

???f(2019)=2.

2*—4■2r

4.(2023?南京模擬)假設函數(shù)Ax)=”.r

Z9IlxZ9

(A為常數(shù))在定義域內為奇函數(shù)，那么A的值為

_____________?.

答案土1

23

萬——k?2X

解析依題意，得X—x)=/不了70

V—k?2r

9口_心?9~整理得淤=Lk=±l,

乙I/i乙

5.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當加0時,f(x)

JI

cos0<jr^8,

6那么F(F(T6))

、log2Xx>8，

答案!

解析由題意f(—16)=-f(16)=-log216=一

4,

4JI

故f(F(—16))=f(—4)=-f(4)=—cos=-=

6

1

2,

6.(2023?鹽城模擬)f(x)=a^+bx是定義在［a

—1,2司上的偶函數(shù)，那么a+力的值是.

24

答案I

o

解析依題意得f（-x）=Hx）,

:?b=0,又a—1=-2&

??a—門，??SL\b-

7.(2023?蘇北四市聯(lián)考)函數(shù)Ax)=

logzx,x>0,

假設f(x)為奇函數(shù)，那么

、gx,X0,

g（―5=--------.

答案2

解析g（一；）=f（_；）=—f（；）

=_log2^=_10g222=2.

8.（2023?常州模擬）Hx）是定義在R上的奇函

數(shù)，『5+1）是偶函數(shù),那么r（i）+A2）+A3）

+f⑷=.

25

答案0

解析由f(x+l)是偶函數(shù)得f(—x+l)=f(x+

1),又Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(一x

+1)=—Hx—1),即一f(x—1)=F(x+l),所

以f(x+2)=—f(x),即f(x)+F(x+2)=0,所

以AD+A3)=0,/(2)+/(4)=0,因此Al)

+f(2)+F(3)+f(4)=0.

9.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)

=\[x+L那么當KO時，f(x)=.

答案一/J—1

解析???f{x)為奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=y[x+

1,

???當/0時,-T>0,

F(—A)=-\I~X+1=-f^x),

即水0時,f{x)=—(弋一x+1)=—\j—x—1.

10.(2023?南京模擬)假設函數(shù)Hx)是定義在R

上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+8)上是單調遞增

函數(shù).如果實數(shù)方滿足Aint)+Ain

26

7)<2/(1),那么方的取值范圍是.

L/

答案［Ae］

e

解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以F(ln方)=F(ln；),

L/

由f(ln力+f(ln；)W2f(l),

得f(ln力Wf(l).

又函數(shù)F(x)在區(qū)間［0,+8)上是單調遞增函數(shù),

所以|ln1|<L即一lWlnt<1,故

11.(2023?江蘇蘇北四市二調)定義在R上的奇

函數(shù)F(x)滿足當x20時，f(x)=log2(x+2)+

(a—l)x+從&6為常數(shù)),假設"2)=—1,那

么A-6)的值為.

答案