第2講圓周運動的規(guī)律及其應(yīng)用eq\f(對應(yīng)學(xué)生,用書P90)圓周運動、角速度、線速度、向心加速度Ⅰ(考綱要求)【思維驅(qū)動】(單選)關(guān)于質(zhì)點做勻速圓周運動的下列說法正確的是()．A．由a＝eq\f(v2,r)知，a與r成反比B．由a＝ω2r知，a與r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知，ω與r成反比D．由ω＝2πn知，ω與轉(zhuǎn)速n成正比解析由a＝eq\f(v2,r)知，只有在v一定時，a才與r成反比，如果v不一定，則a與r不成反比，同理，只有當(dāng)ω一定時，a才與r成正比；v一定時，ω與r成反比；因2π是定值，故ω與n成正比．答案D【知識存盤】1．圓周運動質(zhì)點沿著圓周的運動稱為圓周運動．其軌跡為一圓弧，故圓周運動是曲線運動．2．描述圓周運動的物理量描述圓周運動的物理量主要有線速度、角速度、周期、頻率、轉(zhuǎn)速、向心加速度、向心力等，現(xiàn)比較如下表：定義、意義公式、單位線速度①描述圓周運動的物體運動快慢的物理量(v)②是矢量，方向和半徑垂直，和圓周相切①v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)②單位：m/s角速度①描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(ω)②中學(xué)不研究其方向①ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)②單位：rad/s周期和轉(zhuǎn)速①周期是物體沿圓周運動一周的時間(T)②轉(zhuǎn)速是物體單位時間轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(n)，也叫頻率(f)①T＝eq\f(2πr,v)單位：s②n的單位：r/s、r/min，f的單位：Hz續(xù)表向心加速度①描述速度方向變化快慢的物理量(a)②方向指向圓心①a＝eq\f(v2,r)＝rω2②單位：m/s2勻速圓周運動向心力Ⅱ(考綱要求)【思維驅(qū)動】(單選)如圖5－2－1所示，水平轉(zhuǎn)臺上放著一枚硬幣，當(dāng)轉(zhuǎn)臺勻速轉(zhuǎn)動時，硬幣沒有滑動，關(guān)于這種情況下硬幣的受力情況，下列說法正確的是()．圖5－2－1A．受重力和臺面的支持力B．受重力、臺面的支持力和向心力C．受重力、臺面的支持力、向心力和靜摩擦力D．受重力、臺面的支持力和靜摩擦力解析重力與支持力平衡，靜摩擦力提供向心力，方向指向轉(zhuǎn)軸．答案D【知識存盤】1．勻速圓周運動(1)定義：做圓周運動的物體，若在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運動．(2)特點：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運動．(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心．2．向心力(1)作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。?2)大?。篎＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)＝mωv＝4π2mf2r.(3)方向：始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．3．來源向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．eq\f(對應(yīng)學(xué)生,用書P91)考點一描述圓周運動的各物理量間的關(guān)系線速度v與角速度ω、周期T、轉(zhuǎn)速n的關(guān)系：v＝rω＝eq\f(2π,T)r＝2πnr由上式和向心加速度公式a＝v2/r可推出：a＝ω2r＝ωv＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝4π2n2r由上面的公式和向心力公式F＝ma可推出：F＝mv2/r＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r＝4mπ2n2r.圖5－2－2【典例1】(多選)如圖5－2－2所示為皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑是4r，小輪的半徑是2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中皮帶不打滑，則()．A．a(chǎn)點和b點的線速度大小相等B．a(chǎn)點和b點的角速度大小相等C．a(chǎn)點和c點的線速度大小相等D．a(chǎn)點和d點的向心加速度大小相等解析皮帶不打滑表示輪子邊緣在某段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長總是跟皮帶移動的距離相等，即a、c兩點的線速度大小相等，選項A錯、C對；b、c、d三點同軸轉(zhuǎn)動，角速度大小相等，故ωc＝ωb，又va＝vc，rc＝2ra，且v＝rω，故ωa＝2ωc，故ωa＝2ωb，選項B錯；設(shè)a點線速度大小為v，c點線速度也為v，而d點線速度則為2v，所以aa＝eq\f(v2,r)，ad＝eq\f(（2v）2,4r)＝eq\f(v2,r)，選項D對．答案CD圖5－2－5【變式跟蹤1】(多選)如圖5－2－5所示為某一皮帶傳動裝置．主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是()．A．從動輪做順時針轉(zhuǎn)動B．從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動C．從動輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r1,r2)nD．從動輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r2,r1)n解析因為主動輪順時針轉(zhuǎn)動，從動輪通過皮帶的摩擦力帶動轉(zhuǎn)動，所以從動輪逆時針轉(zhuǎn)動，A錯誤、B正確；由于通過皮帶傳動，皮帶與輪邊緣接觸處的速度大小相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得從動輪的轉(zhuǎn)速為n2＝eq\f(nr1,r2)，C正確、D錯誤．答案BC,借題發(fā)揮常見的三種傳動方式及特點1．皮帶傳動：如圖5－2－3甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.圖5－2－32．摩擦傳動：如圖5－2－4甲所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現(xiàn)象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.圖5－2－43．同軸傳動：如圖5－2－4乙所示，兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，兩輪轉(zhuǎn)動的角速度大小相等，即ωA＝ωB.考點二勻速圓周運動的實例分析【典例2】(多選)鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的．彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)、外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān)．還與火車在彎道上的行駛速度v有關(guān)．下列說法正確的是()．A．速率v一定時，r越小，要求h越大B．速率v一定時，r越大，要求h越大C．半徑r一定時，v越小，要求h越大D．半徑r一定時，v越大，要求h越大解析火車轉(zhuǎn)彎時，圓周平面在水平面內(nèi)，火車以設(shè)計速率行駛時，向心力剛好由重力G與軌道支持力FN的合力來提供，如圖所示，則有mgtanθ＝eq\f(mv2,r)，且tanθ≈sinθ＝eq\f(h,L)，其中L為軌間距，是定值，有mgeq\f(h,L)＝eq\f(mv2,r)，通過分析可知A、D正確．答案AD圖5－2－6【變式跟蹤2】(多選)“飛車走壁”是一種傳統(tǒng)的雜技藝術(shù)，演員騎車在傾角很大的桶面上做圓周運動而不掉下來．如圖5－2－6所示，已知桶壁的傾角為θ，車和人的總質(zhì)量為m，做圓周運動的半徑為r.若使演員騎車做圓周運動時不受桶壁的摩擦力，下列說法正確的是()．A．人和車的速度為eq\r(grtanθ)B．人和車的速度為eq\r(grsinθ)C．桶面對車的彈力為eq\f(mg,cosθ)D．桶面對車的彈力為eq\f(mg,sinθ)解析對人和車進行受力分析如圖所示．根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系和向心力公式可列方程：FNcosθ＝mg，mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(grtanθ)，F(xiàn)N＝eq\f(mg,cosθ).答案AC,借題發(fā)揮從動力學(xué)角度解決圓周運動問題1．解題思想：凡是做勻速圓周運動的物體一定需要向心力．而物體所受外力的合力充當(dāng)向心力，這是處理該類問題的理論基礎(chǔ)．2．解題步驟：考點三水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題圖5－2－7【典例3】如圖5－2－7所示，質(zhì)量為m的木塊，用一輕繩拴著，置于很大的水平轉(zhuǎn)盤上，細繩穿過轉(zhuǎn)盤中央的細管，與質(zhì)量也為m的小球相連，木塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為其重力的μ倍(μ＝0.2)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝4rad/s勻速轉(zhuǎn)動時，要保持木塊與轉(zhuǎn)盤相對靜止，木塊轉(zhuǎn)動半徑的范圍是多少？(g取10m/s2)解析由于轉(zhuǎn)盤以角速度ω＝4rad/s勻速轉(zhuǎn)動，因此木塊做勻速圓周運動所需向心力為F＝mrω2.當(dāng)木塊做勻速圓周運動的半徑取最小值時，其所受最大靜摩擦力與拉力方向相反，則有mg－μmg＝mrminω2，解得rmin＝0.5m；當(dāng)木塊做勻速圓周運動的半徑取最大值時，其所受最大靜摩擦力與拉力方向相同，則有mg＋μmg＝mrmaxω2，解得rmax＝0.75m．因此，要保持木塊與轉(zhuǎn)盤相對靜止，木塊轉(zhuǎn)動半徑的范圍是：0.5m≤r≤0.75m.答案0.5m≤r≤0.75m【變式跟蹤3】對于典例3，若木塊轉(zhuǎn)動的半徑保持r＝0.5m不變，則轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度范圍是多少？答案4rad/s≤ω≤2eq\r(6)rad/s,借題發(fā)揮求解水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題的一般思路1．判斷臨界狀態(tài)：認真審題，找出臨界狀態(tài)．2．確定臨界條件．3．選擇物理規(guī)律：臨界狀態(tài)是一個“分水嶺”，“嶺”的兩邊連接著物理過程的不同階段，各階段物體的運動形式以及遵循的物理規(guī)律往往不同．4．列方程求解．eq\f(對應(yīng)學(xué)生,用書P93)物理建模6“豎直平面內(nèi)圓周運動的繩、桿”模型模型特點在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體，按運動至軌道最高點時的受力情況可分為兩類．一是無支撐(如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等)，稱為“繩(環(huán))約束模型”，二是有支撐(如球與桿連接，在彎管內(nèi)的運動等)，稱為“桿(管道)約束模型”．物體在豎直平面內(nèi)做的圓周運動是一種典型的變速曲線運動，該類運動常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，現(xiàn)就兩種模型分析比較如下：輕繩模型輕桿模型常見類型過最高點的臨界條件由mg＝meq\f(v2,r)得v臨＝eq\r(gr)由小球恰能做圓周運動即得v臨＝0討論分析(1)過最高點時，v≥eq\r(gr)，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN(2)不能過最高點v＜eq\r(gr)，在到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當(dāng)v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心(2)當(dāng)0＜v＜eq\r(gr)時，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N背離圓心，隨v的增大而減小(3)當(dāng)v＝eq\r(gr)時，F(xiàn)N＝0(4)當(dāng)v＞eq\r(gr)時，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大建模指導(dǎo)1．解題時先分清是繩模型還是桿模型，抓住繩模型中最高點v≥eq\r(gR)及桿模型中v≥0這兩個條件，然后利用牛頓第二定律求解．2．注意題目中“恰好通過”等關(guān)鍵詞語．圖5－2－8典例(單選)如圖5－2－8所示，年8月7日倫敦奧運會體操男子單桿決賽，荷蘭選手宗德蘭德榮獲冠軍．若他的質(zhì)量為60kg，做“雙臂大回環(huán)”，用雙手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運動．此過程中，運動員到達最低點時手臂受的總拉力至少約為(忽略空氣阻力，g＝10m/s2)()．A．600NB．2400NC．3000ND．3600N教你審題關(guān)鍵點：運動員以單杠為軸做圓周運動屬于豎直面內(nèi)圓周運動的桿模型牛頓第二定律和機械能守恒定律eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(FN－mg＝\f(mv2,R)（牛頓第二定律方程）,mg·2R＝\f(1,2)mv2（機械能守恒方程）))自己試一試喲！解析設(shè)運動員在最低點受的拉力至少為FN，此時運動員的重心的速度為v，設(shè)運動員的重心到手的距離為R，由牛頓第二定律得：FN－mg＝meq\f(v2,R)又由機械能守恒定律得：mg·2R＝eq\f(1,2)mv2由以上兩式代入數(shù)據(jù)得：FN＝5mg，運動員的重力約為G＝mg＝600N，所以FN＝3000N，應(yīng)選C.答案C圖5－2－9【應(yīng)用1】(單選)在離心澆鑄裝置中，電動機帶動兩個支承輪同向轉(zhuǎn)動，管狀模型放在這兩個輪上靠摩擦轉(zhuǎn)動，如圖5－2－9所示，鐵水注入之后，由于離心作用，鐵水緊緊靠在模型的內(nèi)壁上，從而可得到密實的鑄件，澆鑄時轉(zhuǎn)速不能過低，否則，鐵水會脫離模型內(nèi)壁，產(chǎn)生次品．已知管狀模型內(nèi)壁半徑R，則管狀模型轉(zhuǎn)動的最小角速度ω為()．A.eq\r(\f(g,R))B.eq\r(\f(g,2R))C.eq\r(\f(2g,R))D．2eq\r(\f(g,R))解析最易脫離模型內(nèi)壁的位置在最高點，轉(zhuǎn)動的最小角速度ω對應(yīng)鐵水在最高點受內(nèi)壁的作用力為零，即mg＝mω2R，得：ω＝eq\r(\f(g,R))，A正確．答案A圖5－2－10【應(yīng)用2】(多選)如圖5－2－10所示，M為固定在水平桌面上的有缺口的方形木塊，abcd為半徑是R的eq\f(3,4)光滑圓弧形軌道，a為軌道的最高點，de面水平且有一定長度．今將質(zhì)量為m的小球在d點的正上方高為h處由靜止釋放，讓其自由下落到d處切入軌道內(nèi)運動，不計空氣阻力，則()．A．只要h大于R，釋放后小球就能通過a點B．只要改變h的大小，就能使小球通過a點后，既可能落回軌道內(nèi)，又可能落到de面上C．無論怎樣改變h的大小，都不可能使小球通過a點后落回軌道內(nèi)D．調(diào)節(jié)h的大小，可以使小球飛出de面之外(即e的右側(cè))解析要使小球到達最高點a，則在最高點小球速度最小時有mg＝meq\f(v2,R)，得最小速度v＝eq\r(gR)，由機械能守恒定律得mg(h－R)＝eq\f(1,2)mv2，得h＝eq\f(3,2)R，即h必須大于或等于eq\f(3,2)R，小球才能通過a點，A錯誤；小球若能到達a點，并從a點以最小速度平拋，有R＝eq\f(1,2)gt2，x＝vt＝eq\r(2)R，所以，無論怎樣改變h的大小，都不可能使小球通過a點后落回軌道內(nèi)，B錯誤、C正確；如果h足夠大，小球可能會飛出de面之外，D正確．答案CDeq\f(對應(yīng)學(xué)生,用書P94)一、描述圓周運動的物理量圖5－2－111．(單選)如圖5－2－11所示的齒輪傳動裝置中，主動輪的齒數(shù)z1＝24，從動輪的齒數(shù)z2＝8，當(dāng)主動輪以角速度ω順時針轉(zhuǎn)動時，從動輪的運動情況是()．A．順時針轉(zhuǎn)動，周期為2π/3ωB．逆時針轉(zhuǎn)動，周期為2π/3ωC．順時針轉(zhuǎn)動，周期為6π/ωD．逆時針轉(zhuǎn)動，周期為6π/ω解析主動輪順時針轉(zhuǎn)動，從動輪逆時針轉(zhuǎn)動，兩輪邊緣的線速度大小相等，由齒數(shù)關(guān)系知主動輪轉(zhuǎn)一周時，從動輪轉(zhuǎn)三周，故T從＝eq\f(2π,3ω)，B正確．答案B圖5－2－122．(單選)(·杭州名校?？?如圖5－2－12所示為一游樂場的轉(zhuǎn)盤，大盤半徑R1為小盤半徑R2的兩倍，兩盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動，且兩盤接觸處無相對滑動．在兩盤中心連線上有ABCD四個位置，O1A＝eq\f(R1,2)，O2B＝eq\f(R2,2)，C和D分別位于大盤和小盤的邊緣．站在轉(zhuǎn)盤上的游戲者，為使自己不被“甩”出去，在上述四個位置中最安全的是()．A．位置AB．位置BC．位置CD．位置D解析兩盤接觸處無相對滑動，兩盤邊緣的線速度大小相等設(shè)為v，則兩盤的角速度分別為ω1＝eq\f(v,R1)和ω2＝eq\f(v,R2)，游戲者在A、B、C、D位置隨盤轉(zhuǎn)動所需的向心力分別為FA＝meq\f(R1,2)ωeq\o\al(2,1)＝eq\f(mv2,2R1)，F(xiàn)B＝meq\f(R2,2)ωeq\o\al(2,2)＝eq\f(mv2,2R2)，F(xiàn)C＝mR1ωeq\o\al(2,1)＝eq\f(mv2,R1)，F(xiàn)D＝mR2ωeq\o\al(2,2)＝eq\f(mv2,R2)，由于R1＝2R2，因此，在A點時所需向心力最小，人不易做離心運動．A符合題意．答案A圖5－2－13二、勻速圓周運動3．(單選)如圖5－2－13所示，傾角為30°的斜面連接水平面，在水平面上安裝半徑為R的半圓豎直擋板，質(zhì)量為m的小球從斜面上高為R/2處靜止釋放，到達水平面時恰能貼著擋板內(nèi)側(cè)運動．不計小球體積，不計摩擦和機械能損失．則小球沿擋板運動時對擋板的壓力是()．A．0.5mgB．mgC．1.5mgD．2mg解析設(shè)小球運動至斜面最低點(即進入水平面上的半圓形擋板)時的速度為v，由機械能守恒定律得mgeq\f(R,2)＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(gR)；依題意可知，小球貼著擋板內(nèi)側(cè)做勻速圓周運動，所需要的向心力由擋板對它的彈力提供，設(shè)該彈力為FN，則FN＝meq\f(v2,R)，將v＝eq\r(gR)代入解得FN＝mg；由牛頓第三定律可知，小球沿擋板運動時對擋板的壓力大小等于FN，即mg，故選項B正確．答案B4．圖5－2－14甲為游樂園中“空中飛椅”的游戲設(shè)施，它的基本裝置是將繩子上端固定在轉(zhuǎn)盤的邊緣上，繩子的下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)而在空中飛旋．若將人和座椅看成一個質(zhì)點，則可簡化為如圖乙所示的物理模型，其中P為處于水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)盤，可繞豎直轉(zhuǎn)軸OO′轉(zhuǎn)動，設(shè)繩長l＝10m，質(zhì)點的質(zhì)量m＝60kg，轉(zhuǎn)盤靜止時質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸之間的距離d＝4.0m，轉(zhuǎn)盤逐漸加速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過一段時間后質(zhì)點與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動，此時繩與豎直方向的夾角θ＝37°，不計空氣阻力及繩重，且繩不可伸長，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求質(zhì)點與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動時：圖5－2－14(1)繩子拉力的大??；(2)轉(zhuǎn)盤角速度的大?。馕?1)如圖所示，對人和座椅進行受力分析，圖中F為繩子的拉力．在豎直方向：Fcos37°－mg＝0解得F＝eq\f(mg,cos37°)＝750N.(2)人和座椅在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有mgtan37°＝mω2R，R＝d＋lsin37°，聯(lián)立解得ω＝eq\r(\f(gtan37°,d＋lsi