第4課時(shí)

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理·構(gòu)建體系專題歸納·核心突破

知識(shí)梳理·構(gòu)建體系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有怎樣的關(guān)系?指數(shù)與對(duì)數(shù)間又有怎樣的關(guān)系?2.指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有哪些?請(qǐng)完成下表:3.換底公式及常用結(jié)論有哪些?4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、圖象、性質(zhì)是怎樣的?請(qǐng)完成下表:5.函數(shù)的零點(diǎn)是什么?函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖象之間的關(guān)系是什么?提示:(1)使得f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn);(2)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,亦即f(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).6.一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特點(diǎn)分別是什么?提示:一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長(zhǎng)速度,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(3)若lg(a+b)=lga+lgb,則ab的最小值為4.(√)(4)若ab>1(a>0,且a≠1),則有a>1,且b>0.(×)(5)若logab<0(a>0,且a≠1),則(a-1)(b-1)<0.(√)(6)函數(shù)f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的最小值等于1.(×)(8)若函數(shù)f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,則0<a<1.(×)(9)若偶函數(shù)f(x)有6個(gè)零點(diǎn),則其零點(diǎn)之和等于0.(√)(10)函數(shù)y=-log3x減小的速度越來(lái)越慢.(√)

專題歸納·核心突破專題整合專題一

指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

反思感悟指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算應(yīng)遵循的原則指數(shù)運(yùn)算首先要注意化簡(jiǎn)順序,一般把負(fù)指數(shù)轉(zhuǎn)化為正指數(shù),根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,其次若出現(xiàn)分式,則要注意對(duì)分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.對(duì)數(shù)運(yùn)算要注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化,前后要等價(jià);要熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行變換;換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.專題二

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換【例2】

作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=|2x-1|;解:(1)y=|2x-1|的圖象可由y=2x的圖象經(jīng)過(guò)如下變換而得到:先畫(huà)出函數(shù)y=2x的圖象,再將函數(shù)y=2x的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,然后x軸上方的圖象不變,將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,就得到所求函數(shù)y=|2x-1|的圖象.函數(shù)圖象的畫(huà)法如圖①~③所示.圖①

圖②圖③圖④圖⑤圖⑥反思感悟常見(jiàn)的函數(shù)圖象的變換有:(1)平移變換;(2)翻折變換;(3)對(duì)稱變換.平移變換:y=f(x+a)的圖象可由y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度得到;y=f(x)+a的圖象可由y=f(x)的圖象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.翻折變換:要畫(huà)y=|f(x)|的圖象,只需將y=f(x)的圖象在x軸下方部分沿x軸翻折到x軸的上方,其他部分不變;y=f(|x|)是一個(gè)偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),圖象與y=f(x)的圖象完全一樣;當(dāng)x≤0時(shí),其圖象與x≥0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.對(duì)稱變換:y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.掌握這些變換方法,一些稍復(fù)雜的函數(shù)圖象都可以看作是由基本初等函數(shù)的圖象變換而來(lái).【變式訓(xùn)練2】

若f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1),且f(3)·g(-3)<0,則函數(shù)f(x),g(x)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是(

)解析:由f(3)·g(-3)=a·loga3<0,得0<a<1,所以f(x)=ax-2在R上為減函數(shù),g(x)=loga|x|在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,故選B.答案:B專題三

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例3】

函數(shù)f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)是(

)A.奇函數(shù),在區(qū)間(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞增B.奇函數(shù),在區(qū)間(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞減C.偶函數(shù),在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增D.偶函數(shù),在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?-2,2),且f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).答案:A反思感悟判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),應(yīng)首先確定函數(shù)的定義域,然后根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.對(duì)于指數(shù)型和對(duì)數(shù)型的復(fù)合函數(shù),其單調(diào)性應(yīng)根據(jù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷.專題四

函數(shù)零點(diǎn)及其應(yīng)用

答案:C反思感悟在判定函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間時(shí),可將函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)存在定理結(jié)合起來(lái)使用,根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)關(guān)系,通過(guò)解不等式進(jìn)行求解.解析:作出函數(shù)y=f(x)與y=k的圖象,如圖所示.

由圖象可知k∈(0,1].答案:(0,1]專題五

函數(shù)模型及其應(yīng)用

【變式訓(xùn)練5】

某投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新產(chǎn)品,市場(chǎng)評(píng)估能獲得10萬(wàn)~1000萬(wàn)元的投資收益.現(xiàn)公司準(zhǔn)備制訂一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金f(x)(單位:萬(wàn)元)隨投資收益x(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,且獎(jiǎng)金不低于1萬(wàn)元,同時(shí)不超過(guò)投資收益的20%.(1)根據(jù)題目要求,寫出f(x)滿足的條件.(2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型:試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求.解:(1)由題意得f(x)滿足的條件:當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),①f(x)單調(diào)遞增;②對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lg

x-2:當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,且f(x)≥f(10)=4lg

10-2=2≥1,所以f(x)≥1在區(qū)間[10,1

000]上恒成立.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)=4lg

x-2和

的圖象,如圖所示.故該函數(shù)模型符合公司的要求.高考體驗(yàn)考點(diǎn)一

指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1.(2020·全國(guó)Ⅰ高考)設(shè)alog34=2,則4-a=(

)答案:B2.(2020·全國(guó)Ⅰ高考)若2a+log2a=4b+2log4b,則(

)A.a>2b B.a<2b C.a>b2

D.a<b2解析:由題意得2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因?yàn)?2b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性,可得f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.由f(a)<f(2b),可得a<2b.答案:B考點(diǎn)二

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.(2021·全國(guó)Ⅰ高考)設(shè)a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,則(

)A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b答案:B4.(2020·全國(guó)Ⅱ高考)若2x-2y<3-x-3-y,則(

)A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0解析:∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.∵f(t)=2t-3-t在R上為增函數(shù),且f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1,∴l(xiāng)n(y-x+1)>ln

1=0.故選A.答案:A5.(2019·全國(guó)Ⅱ高考)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(

)A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1解析:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故選D.答案:D6.(2020·全國(guó)Ⅱ高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)(

)答案:D答案:D8.(2019·全國(guó)Ⅱ高考)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-eax.若f(ln2)=8,則a=

.

解析:∵ln

2∈(0,1),f(ln

2)=8,f(x)是奇函數(shù),∴f(-ln

2)=-8.∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-eax,∴f(-ln

2)=-e-aln

2=-8,∴e-aln

2=8,∴-aln

2=ln

8,∴-a=3,∴a=-3.答案:-3考點(diǎn)三

函數(shù)零點(diǎn)及其應(yīng)用

解析:由題意可知x=0為g(x)的一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)f(x)與h(x)=|kx2-2x|的圖象有4個(gè)交點(diǎn),其中(0,0)為一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)x>0時(shí),由x3=|kx2-2x|,可得x2=|kx-2|,當(dāng)x<0時(shí),由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|,即函數(shù)φ(x)與μ(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).若k<0,如圖①所示,函數(shù)φ(x)與μ(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),所以k<0符合題意.若k>0,如圖②所示,需當(dāng)

時(shí),函數(shù)φ(x)與μ(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)