PAGE第十一章計(jì)數(shù)原理第一講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()(1)全部元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列;(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后依次;(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同;(4)若組合式Cnx=Cnm,則x=m成立;(5)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m);(6)排列的定義規(guī)定,給出的n個(gè)元素各不相同,并且只探討被取出的元素也各不相同的A.2 B.3 C.4 D.52.[2024山東,3,5分]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館,甲場(chǎng)館支配1名,乙場(chǎng)館支配2名,丙場(chǎng)館支配3名,則不同的支配方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種3.[2024廣東七校第一次聯(lián)考]有A,B,C,D,E,F共6個(gè)集裝箱,打算用甲、乙、丙三輛卡車運(yùn)輸,每輛卡車一次運(yùn)兩個(gè).若卡車甲不能運(yùn)A箱,卡車乙不能運(yùn)D箱,此外無(wú)其他任何限制,要把這6個(gè)集裝箱安排給這3輛卡車運(yùn)輸,不同的安排方案的種數(shù)為()A.168 B.84 C.56 D.424.[2024全國(guó)卷Ⅱ,14,5分][理]4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng),每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué),則不同的支配方法共有種.

5.[2024大同市調(diào)研測(cè)試]某班班會(huì)打算從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言,要求甲、乙兩人至少有一人參與,且當(dāng)甲、乙同時(shí)參與時(shí),他們兩人的發(fā)言不能相鄰,那么不同的發(fā)言依次的種數(shù)為()A.360 B.520C.720 D.6006.[2024鄭州市第三次質(zhì)量預(yù)料]把12本相同的資料書(shū)安排給三個(gè)班級(jí),要求每班至少有1本且至多有6本,則不同的安排方法共有種.

拓展變式1.(1)[2024河北六校第一次聯(lián)考]中國(guó)有十二生肖,又叫十二屬相,每一個(gè)人的誕生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物中的一種.現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個(gè),已知甲同學(xué)喜愛(ài)牛、馬和猴,乙同學(xué)喜愛(ài)牛、狗和羊,丙同學(xué)全部的祥瑞物都喜愛(ài),讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜愛(ài)的,則不同的選法有()A.50種 B.60種 C.80種 D.90種(2)[2024天津,14,5分][理]用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個(gè).(用數(shù)字作答)

2.[2024茂名五校聯(lián)考]電影《奪冠》講解并描述中國(guó)女排姑娘們堅(jiān)韌奮斗、為國(guó)爭(zhēng)光的勵(lì)志故事,是一部見(jiàn)證新中國(guó)體育改革40年的力作,該影片于2024年9月25日正式上映.在《奪冠》上映期間,一對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)孩子一起去觀看該影片,訂購(gòu)的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為平安起見(jiàn),影院要求每個(gè)孩子至少有一側(cè)要有家長(zhǎng)相鄰陪坐,則不同的坐法種數(shù)是()A.8 B.12 C.16 D.203.男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參與競(jìng)賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;(3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參與;(4)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員.4.(1)有5個(gè)高校保送名額,支配分到3個(gè)班級(jí),每班至少一個(gè)名額,有種不同的分法.

(2)將并排的有不同編號(hào)的5個(gè)房間支配給5個(gè)工作人員臨時(shí)休息,假定每個(gè)人可以選擇任一房間,且選擇各個(gè)房間是等可能的,則恰有2個(gè)房間無(wú)人選擇且這2個(gè)房間不相鄰的支配方式的種數(shù)為.

5.(1)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小摯友,每位小摯友至少分到一個(gè)籃球,且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小摯友,則不同的分法種數(shù)為()A.15 B.20 C.30 D.42(2)某校畢業(yè)典禮上支配6個(gè)節(jié)目,考慮整體效果,對(duì)節(jié)目演出依次有如下要求:節(jié)目甲必需排在前三位,且節(jié)目丙、丁必需排在一起.則該校畢業(yè)典禮上的節(jié)目演出依次的編排方案共有()A.120種 B.156種 C.188種 D.240種答案第一講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合1.A(1)中,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同且排列依次也完全相同時(shí),才是相同排列,所以(1)錯(cuò)誤;(2)中組合問(wèn)題與選取依次無(wú)關(guān),所以(2)錯(cuò)誤;(3)中,由排列和組合的概念可知,(3)正確;(4)中,若組合式Cnx=Cnm,則x=m或x=n-m,故(4)錯(cuò)誤;(5)中,Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),故(5)錯(cuò)誤;(6)中2.C不同的支配方法共有C61C53.D分兩類:①甲運(yùn)D箱,有C41·C42·C22A22·A22=24(種);②甲不運(yùn)D箱,有C424.36由題意,分兩步進(jìn)行支配,第一步,將4名同學(xué)分成3組,其中1組2人,其余2組各1人,有C42·C21·C11A22=6(種)支配方法;其次步,將分好的3組支配到對(duì)應(yīng)的3個(gè)小區(qū),有5.D當(dāng)甲、乙兩人中有一人參與時(shí),有C21C53A44=480(種)發(fā)言依次;當(dāng)甲、乙兩人同時(shí)參與時(shí),有C52A226.2512本書(shū)依據(jù)要求分成符合題意的三份,分別是(1,5,6),(2,4,6),(3,3,6),(3,4,5),(2,5,5),(4,4,4),若按(1,5,6)分給三個(gè)班,則方法共有A33=6(種);若按(2,4,6)分給三個(gè)班,則方法共有A33=6(種);若按(3,3,6)分給三個(gè)班,則方法共有A332=62=3(種);若按(3,4,5)分給三個(gè)班,則方法共有A33=6(種);若按(2,5,5)分給三個(gè)班,則方法共有A332=1.(1)C依據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種狀況探討:若甲選擇牛,此時(shí)乙的選法有2種,丙的選法有10種,共有2×10=20(種)不同的選法;若甲選擇馬或猴,此時(shí)甲的選法有2種,乙的選法有3種,丙的選法有10種,共有2×3×10=60(種)不同的選法.則一共有20+60=80(種)選法,故選C.(2)1080一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)、三個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有C41C53A44=960(個(gè)),四個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有A2.C解法一將4個(gè)座位編號(hào)如下,4人的座位可分四種狀況,①④坐家長(zhǎng)②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家長(zhǎng)、①③坐家長(zhǎng)②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家長(zhǎng),所以不同的坐法種數(shù)為4A22A2①②③④解法二當(dāng)兩個(gè)孩子挨著坐且坐在兩端時(shí)有一個(gè)孩子兩側(cè)均無(wú)家長(zhǎng),所以不同的坐法種數(shù)為A44-2A223.(1)分兩步完成:第一步,選3名男運(yùn)動(dòng)員,有C63其次步,選2名女運(yùn)動(dòng)員,有C42種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,共有C63·C4(2)解法一“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下四種狀況:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得選法共有C41C6解法二“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”,可用間接法求解.從10人中任選5人有C105種選法,其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C65種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C(3)解法一(干脆法)可分類求解:“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法種數(shù)為C8“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法種數(shù)為C8“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法種數(shù)為C8所以共有2C84+C8解法二(間接法)從10人中任選5人有C105其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C85種.所以“至少有1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法有C105(4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),其他人隨意選,共有C94種選法;當(dāng)不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有C84種選法,其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C54種,所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有(C84-4.(1)6一共有5個(gè)保送名額,分到3個(gè)班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額,即將名額分成3份,每份至少1個(gè)(定份數(shù)),將5個(gè)名額排成一列,中間有4個(gè)空(定空位),即只需在中間4個(gè)空中插入2個(gè)隔板,不同的方法共有C42=6(種)(插隔板(2)900先將5人分成3組(1,1,3或2,2,1兩種),再將這3組人支配到3個(gè)房間,然后將剩下的2個(gè)房間插入前面住了人的3個(gè)房間形成的空檔中即可,故支配方式共有(C51C41C335.(1)C四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有C42種分法,三組籃球進(jìn)行全排列有A33種分法,其中標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小摯友有A33種分法,所以共有分法C4(2)A按甲的編排依次進(jìn)行分類:①