第五章三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念課時3三角函數(shù)的概念(1)教學(xué)目標(biāo)1.從現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象出發(fā),感受利用單位圓上動點P(x,y)坐標(biāo)變化定義任意角的三角函數(shù).2.運用數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理完成三角函數(shù)概念的數(shù)學(xué)化,體會數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的基本路徑.3.掌握任意角的三角函數(shù)的定義在解題中的應(yīng)用,培養(yǎng)用定義解題的意識,提高用定義解題的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)經(jīng)歷三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程,體會用單位圓上點的坐標(biāo)刻畫任意角三角函數(shù)的方法通過用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)理解任意角的三角函數(shù)的概念,能根據(jù)定義求出任意角α的正弦、余弦和正切的值通過運用任意角的三角函數(shù)的定義求任意角α的三角函數(shù)值,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)運用任意角的三角函數(shù)的定義研究三角函數(shù)的定義域和值域,體會定義在解題中的應(yīng)用在運用任意角的三角函數(shù)的定義推導(dǎo)符號法則和解題的過程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)

倫敦眼(如圖1)坐落在英國倫敦泰晤士河畔，為倫敦的著名旅游觀光點之一．它的總高度為135m，共有32個座艙，每個座艙可載客約25名，旋轉(zhuǎn)一圈需用時30min.

摩天輪是游樂園的常見項目，我們能否用數(shù)學(xué)方法來刻畫游樂園的摩天輪座艙位置，方便我們研究任意時刻座艙所在位置的變化情況呢？比如，假設(shè)它的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2R，并按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動．若坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)(如圖2所示)，轉(zhuǎn)過30°后，離地面的高度h為多少？轉(zhuǎn)過45°后呢？初探新知【問題1】對于一個任意角，如何定義它的三角函數(shù)呢？【活動1】從函數(shù)角度理解三角函數(shù)的定義【問題2】怎樣從函數(shù)的角度理解三角函數(shù)的定義呢？【活動2】探究角的終邊上任意一點的坐標(biāo)與該角三角函數(shù)之間的關(guān)系

【問題4】能否找到一個方法計算當(dāng)α∈(0，＋∞)時，h的高度？【問題5】如圖，建立直角坐標(biāo)系，隨著點P位置的改變，∠AOP的三角函數(shù)值會改變嗎？請舉例說明．【問題6】參照摩天輪的模型，對任意角α，α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與圓心在原點O的單位圓交于點P(x，y)(如圖).當(dāng)α大小變化時，點P在單位圓上的位置也隨之變化，相應(yīng)的坐標(biāo)能否計算？舉例說明．【問題7】任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？【問題8】我們能否用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確刻畫上述數(shù)學(xué)模型終點P(x，y)的位置變化情況？

【問題9】已知角α的終邊上任意一點的坐標(biāo),能否直接由角的終邊上任意一點的坐標(biāo)來表示角α的三角函數(shù)值呢?【問題10】給出一個任意角α,你都能求出它的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)值嗎?【活動3】嘗試任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,深化對任意角的三角函數(shù)的理解【問題11】三角函數(shù)既然是函數(shù),你能說出任意角α的三個三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域嗎?典例精析

思路點撥：角的終邊與單位圓的交點→對照角的終邊所在象限求值→與圖象結(jié)合驗證運算結(jié)果的正負．

【方法規(guī)律】確定角的終邊所在象限，畫出角的終邊與單位圓的交點，運用勾股定理算出交點的橫、縱坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義寫出相應(yīng)的三角函數(shù)值．

【解】變式訓(xùn)練1答圖

思路點撥：用角的終邊上任意一點的坐標(biāo)及其比值來定義三角函數(shù)．

【變式訓(xùn)練2】[教材改編題]如圖，角α的終邊在射線y＝x(x≤0)上，求sin

α，cos

α，tan

α的值．【解】變式訓(xùn)練2答圖

思路點撥

定點——定象限——取值計算．

【方法規(guī)律】充分利用直角坐標(biāo)系，定終邊，找終邊上點的坐標(biāo)所滿足的特殊關(guān)系，數(shù)形結(jié)合運用三角函數(shù)定義計算三角函數(shù)值．

【變式訓(xùn)練3】[2022·山東省德州市高一期末改編題]已知角α的終邊經(jīng)過點P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.【解】思路點撥

先根據(jù)題設(shè)條件和任意角的三角函數(shù)的定義將sinθ用m表示,建立m的方程,求出m的值,然后再由任意角的三角函數(shù)的定義來求cosθ和tanθ的值.

【解】【方法規(guī)律】根據(jù)角的終邊上任意一點的坐標(biāo),便可求出該角的三角函數(shù);當(dāng)角的終邊在y軸上時,其正切函數(shù)值不存在;由于角既是圖形,又可與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系,因此三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).在本題中,由于求出的m值有兩個,因此在求角θ的余弦和正切值時要分兩種情況進行討論.