第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式知識要點(diǎn)及教學(xué)要求1.通過具體實(shí)例，幫助學(xué)生理解不等式，認(rèn)識不等關(guān)系和不等式的意義與價值．2.在梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法研究不等式的性質(zhì)，并會用作差法比較兩個代數(shù)式的大?。?.利用不等式的性質(zhì)研究一類重要的不等式——基本不等式，能運(yùn)用基本不等式證明某些不等式和解決簡單的求最大值或最小值的問題，并能運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題．4.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及根的個數(shù)．5.理解一元二次不等式的概念，利用一元二次函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系解決一元二次不等式的有關(guān)問題，從而進(jìn)一步體會用函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想方法．高考導(dǎo)向高考對本章的考查一般有兩種形式：一是考查學(xué)生對不等式的意義和性質(zhì)、不等式的證明和解不等式(組)、基本不等式的運(yùn)用以及“三個二次”之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握情況；二是與其他知識內(nèi)容交匯在一起，考查學(xué)生綜合運(yùn)用不等式的知識和方法分析問題、解決問題的能力．其中，不等式的證明、解不等式(組)、不等式恒成立與能成立問題以及運(yùn)用基本不等式求最值是考查的重點(diǎn)．具體如下：1.在考查內(nèi)容上，以考查不等式的性質(zhì)、不等式(組)的求解、基本不等式的運(yùn)用以及“三個二次”之間的關(guān)系為主，突出對不等式的基礎(chǔ)知識和基本方法的考查．其中，函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系是每年高考必考的內(nèi)容，融函數(shù)的性質(zhì)、方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)、不等式(組)的求解以及不等式的性質(zhì)和基本不等式的運(yùn)用等于一體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的有機(jī)聯(lián)系和不等式的廣泛應(yīng)用性，充分地發(fā)揮出不等式的工具作用．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的比較、不等式的證明和最值與范圍的求解,是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).2.在能力要求上，注重對綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)知識和方法去觀察問題、分析問題、解決問題的能力的考查，往往是以導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用的背景呈現(xiàn)，考查大小比較、不等式的證明、最值和范圍的求解，考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用水平，考查理性思維的能力，考查運(yùn)算求解、推理論證和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．3.在呈現(xiàn)方式上,有單獨(dú)以不等式相關(guān)知識為背景的試題,這類試題通常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn);也有將不等式作為工具的解決其他數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的試題,這類試題既有客觀題也有主觀題.學(xué)法指導(dǎo)1.學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時，要在初中所學(xué)知識的基礎(chǔ)上，類比等式的基本性質(zhì)，研究不等式的基本性質(zhì)．2.利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”的條件，解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件．3.要從方程角度認(rèn)識不等式，理解一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，從而會利用一元二次函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系解決一元二次不等式的有關(guān)問題．4.在本章的學(xué)習(xí)中，要重視數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，體會不等式的工具作用．2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課時1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(1)教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)際問題情境,了解不等關(guān)系與不等式(組)的實(shí)際背景,感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著不等關(guān)系,會用不等式表示現(xiàn)實(shí)生活中的不等關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.正確理解不等式的意義,靈活運(yùn)用作差法比較兩數(shù)(式)的大小,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)會用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，并表示出不等關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)會用比較法比較兩數(shù)(式)的大小借助比較兩數(shù)(式)的大小，培養(yǎng)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)某學(xué)校組織老師去某地參觀學(xué)習(xí)，需包車前往．甲車隊(duì)說：“若領(lǐng)隊(duì)買全票一張，則其余人可享受七五折優(yōu)惠．”乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的八折優(yōu)惠?！币阎@兩車隊(duì)的原價、車型都是一樣的，那么該校老師選擇哪個車隊(duì)更實(shí)惠？【活動1】感受生活中的不等關(guān)系【問題1】請同學(xué)們閱讀以下問題，并用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系：(1)某條高速公路全程限速120km/h；(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪含量應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)含量應(yīng)不少于2.3%；(3)生產(chǎn)直徑為100mm的圓柱形零件，要求直徑誤差不超過±1mm.初探新知【問題2】一輛汽車原來每天行駛xkm，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2200km，寫出不等式為__________；如果它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為__________.【問題3】將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路是什么？【活動2】建立模型,應(yīng)用不等式表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系【問題4】如何比較兩個數(shù)的大小關(guān)系？【活動3】利用性質(zhì)，感悟不等式【問題5】比較兩個數(shù)(式)的大小的步驟是什么？典例精析

【例1】請用不等式(組)表示下列問題中的不等關(guān)系：(1)某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總寬度w(單位：m)不超過2.5m；(2)某種品牌黃酒的質(zhì)量檢查規(guī)定：每升中總糖不超過15.0g，酒精度不低于14.5%，氨基酸態(tài)氮不少于0.2g，非糖固形物不少于5.0g；(3)某鋼鐵廠把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍．思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意準(zhǔn)確運(yùn)用不等號表示關(guān)鍵詞語，再用不等式(組)表示不等關(guān)系．【解】(1)某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總寬度w(單位：m)不超過2.5m，可用不等式表示為w≤2.5.(2)設(shè)每升該品牌黃酒中總糖含量為xg，酒精度為y，氨基酸態(tài)氮含量為zg，非糖固形物含量為wg．則本題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為.【解】(3)設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根，則本題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為.【方法規(guī)律】

用不等式(組)表示變量間的不等關(guān)系：(1)首先要選取變量，除常用的x，y，z，…外，還可以根據(jù)實(shí)際問題選用變量，例如時間t、距離d、體積V等．(2)其次應(yīng)準(zhǔn)確運(yùn)用不等號表示不等關(guān)系，例如超過(>)、少于(<)、不低于(≥)、不多于(≤)等．刻畫變量間的不等關(guān)系時，要準(zhǔn)確地將自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言．【變式訓(xùn)練1】100g面食含蛋白質(zhì)6個單位,含淀粉4個單位;100g米飯含蛋白質(zhì)3個單位,含淀粉7個單位.某快餐公司以面粉和大米為主食給學(xué)生配餐,現(xiàn)要求每盒快餐至少含8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉.設(shè)每盒快餐需面食x(×100g)、米飯y(×100g).請用不等式組將問題中的不等關(guān)系表示出來.【解】將本題中的不等關(guān)系用不等式組表示出來就是【例2】已知x<1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。悸伏c(diǎn)撥：通過研究這兩個式子的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系．【解】3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).因?yàn)閤<1，所以x－1<0，而3x2＋1＞0，所以(3x2＋1)(x－1)<0，所以3x3<3x2－x＋1.【方法規(guī)律】比較兩個式子(數(shù))的大小關(guān)系，常用作差法，一般步驟如下：

【變式訓(xùn)練2】若a<0,b<0,試比較

與

的大小【解】因?yàn)?由a<0,b<0,得a+b<0,ab>0.若a=b,則p-q=0,故p=q;若a≠b,則p-q<0,故p<q.綜上所述,p≤q,當(dāng)a=b時取等號.【例3】某商店出售A，B兩種不同價格的商品，由于商品A提價了20%，同時商品B降價了20%，結(jié)果都以每件x元出售．如果A，B兩種商品各售出一件，那么價格改變后的收入與價格改變前相比，多了還是少了？思路點(diǎn)撥

設(shè)商品A提價前售價為a元/件，商品B降價前售價為b元/件，再將表達(dá)式列出即可．

【方法規(guī)律】通過閱讀理解弄清題意,再根據(jù)題意建立不等式模型,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,最后利用作差法比較大小,使問題獲解.

【變式訓(xùn)練3】甲、乙是同班同學(xué)，且住在同一小區(qū)，兩人同時從小區(qū)出發(fā)去學(xué)校，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步．如果兩人步行速度、跑步速度均相同，且跑步速度大于步行速度，試判斷兩人誰先到學(xué)校．【解】設(shè)兩人的步行速度與跑步速度分別為v1,v2,其中0<v1<v2,總路程為2s,則甲用的時間為,乙用的時間為.因?yàn)?所以

,故乙同學(xué)先到學(xué)校.思路點(diǎn)撥

多元比較大小,首先嘗試將元進(jìn)行分類,再逐類比較大小,若不能明確分類,則需逐個比較.比較時要注意先易后難的原則.（備選例題）【解】首先比較a,c的大小:由,所以c<a.再比較b,c的大小:方法1,(觀察到7-3=6-2,故嘗試將分子有理化),由于而,所以b<c;方法2,作差法(觀察到7+2=3+6,故嘗試作差后再作平方運(yùn)算),由易得b<c.由此可得a>c>b(若比較a,b的大小,可平方再轉(zhuǎn)化,也可以由,所以a>b)【方法規(guī)律】多元大小的比較問題,常常先分類,再逐類比較;處理二次根式問題常用平方、換元、有理化等方法.

課堂反思通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？2.你認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？隨堂演練1.某高速公路要求行駛車輛的速度v不得超過120km/h，同一車道上的車間距d不得小于100m．用不等式表示為(

)A.v≥120km/h且d≥100m

B.v≤120km/h或d≤100mC.v≤120km/h

D.d≥100mA2.完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人400元，請瓦工需付工資每人350元．現(xiàn)工人工資預(yù)算為50000元，設(shè)請木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是(

)A.8x＋7y<1000

B.8x＋7y≥1000C.8x＋7y＝1000