中國古代數(shù)學家求和的方法年級：高二（下）

學科：數(shù)學（人教A版）倒敘相加法錯位相減法正整數(shù)的平方、立方、4次冪以至n次冪之和的公式由有限到無限、由數(shù)項到函數(shù)項劉徽（約225年—約295年）案例一幾何？”“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安三千里（1里=500m）良馬初日行一百九十三里,日增十三里。駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬。問:幾何日相逢及各行思考：良馬每天所行路程有什么關(guān)系？第一天：193里第二天：193+13里思考：良馬每天所行路程有什么關(guān)系？第一天：193里第二天：193+13里第三天：193+13+13=193+2×13里第四天：193+2×13+13=193+3×13里……設第k天所行路程為里，則第k+1天所行路程為+13里，結(jié)論：設良馬每日所行路程構(gòu)成數(shù)列{}則數(shù)列{}是以193為首項，13為公差的等差數(shù)列思考：駑馬每天所行路程有什么關(guān)系？第一天：97里第二天：97-0.5里第三天：97-0.5-0.5=97-2×0.5里第四天：97-2×0.5-0.5=97-3×0.5里……設第k天所行路程為里，則第k+1天所行路程為-0.5里，結(jié)論：設駑馬每日所行路程構(gòu)成數(shù)列{}則數(shù)列{}是以97為首項，-0.5為公差的等差數(shù)列駑馬初日行九十七里，日減半里。2齊去長安總路程=良馬所行總路程+駑馬所行總路程等差數(shù)列{}的前n項和等差數(shù)列{}的前n項和解：由題可知，良馬每日行程構(gòu)成一個首項為193，公差為13的等差數(shù)列駑馬每日行程構(gòu)成一個首項為97，公差為-0.5的等差數(shù)列則數(shù)列{}與數(shù)列{}的前n項和為2×3000又數(shù)列{}的前n項和為數(shù)列{}的前n項和為=2×3000平行數(shù)中平里“中平里”良馬：“平行數(shù)”193×15駑馬：“平行數(shù)”97×15“中平里”193=193×15+13×（1+2+3+…+14）+(193+13)+(193+13×2）+(193+13×3）+…+(193+13×14)

經(jīng)過反復嘗試，沈括提出對于上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物可用公式求出物體的總數(shù)。相當于求數(shù)列ab,(a+1)(b+1),(a+2)(b+2),…(a+n-1)(b+n-1)=cd的和案例二北宋的數(shù)學家沈括博學多才、善于觀察.據(jù)說有一天,他走進一家酒館,看見一層層壘起的酒壇,不禁想到:“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？沈括“用芻童(長方臺)法求之,常失于數(shù)少”,他想堆積的酒壇、棋子等雖看起來像實體,但中間是有空隙的,應該把它們看成離散的量求數(shù)列ab,(a+1)(b+1),(a+2)(b+2),…(a+n-1)(b+n-1)=cd的和證明：設則記數(shù)列{}的前n項和為則c=a+n-1d=b+n-1課堂總結(jié)透過這些小故事，我們不僅能學習古算家求數(shù)列的和的思想方法，而且能體會這些數(shù)學思想方法誕生的曲折過程，感受到了數(shù)學家在進行數(shù)學研究時的探索精神和創(chuàng)新意識。作業(yè)布置南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散量的垛積問題”例如,求圖“圭垛”中的格點個數(shù)總和,楊輝認為雖然圭垛的形狀與三角形相似,但要用梯形的面積公式計算,即在他的專著《譯解九章算法?商功》中場將堆垛與相應立體圖形作類比,推導出了三角垛、方垛、芻甍垛、芻童垛等的公式。例如三角垛