PAGE18-黑龍江省哈爾濱市第三中學2024-2025學年高二數學上學期期末考試試題文（含解析）考試說明：（1）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考試時間為120分鐘；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知圓的方程為，則圓心坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化成標準式，即得圓心坐標.【詳解】因此圓心坐標為.故選：A【點睛】本題考查圓一般方程化為標準方程，考查基本分析求解實力，屬基礎題.2.若，且為第四象限角，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選D.3.四張卡片上分別寫有數字，若從這四張卡片中隨機抽取兩張，則抽取的兩張卡片上的數字之和為奇數的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定從這四張卡片中隨機抽取兩張總事務數，再確定抽取的兩張卡片上的數字之和為奇數的事務數，最終依據古典概型概率公式求解.【詳解】因為從這四張卡片中隨機抽取兩張共有6種基本領件，取的兩張卡片上的數字之和為奇數有（1，2），（3，2），（5，2）三種基本領件，因此所求概率為.故選：C點睛】本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.4.已知橢圓E：與雙曲線C：（）有相同焦點，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以得，得，從而可得到雙曲線方程，進而可得其漸近線方程.【詳解】解：因為橢圓E：與雙曲線C：（）有相同的焦點，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為故選：B【點睛】此題考查橢圓和雙曲線的焦點，雙曲線的漸近線，屬于基礎題.5.在區(qū)間上隨機取一個數k，使直線與圓相交的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線與圓相交，可知圓心到直線的距離小于半徑，從而可求出k的取值范圍，然后利用幾何概型求概率的方法可得答案.【詳解】解：因為直線與圓相交，所以，解得，所以所求概率為故選：C【點睛】此題考查的是直線與圓的位置關系，幾何概型，屬于基礎題.6.已知均為銳角，，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和余弦公式求解.【詳解】因為均為銳角，所以因為，所以，因此故選：A【點睛】本題考查兩角和余弦公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.7.中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體，而無所失矣”.意思是“圓內接正多邊形的邊數無限增多的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”，如圖，若在圓內任取一點，則此點取自其內接正六邊形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分別求圓面積以及內接正六邊形的面積，再依據幾何概型概率公式求解.【詳解】設圓半徑為1，則圓面積以及內接正六邊形的面積分別為，所以所求概率為.故選：A【點睛】本題考查幾何概型概率公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.8.已知角的終邊上的一點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據誘導公式以及弦化切進行化簡，再依據三角函數定義得值，最終代入求解.【詳解】又因為角的終邊上的一點，所以，所以.故選：D【點睛】本題考查誘導公式、三角函數定義以及弦化切，考查基本分析求解實力，屬中檔題.9.某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是依據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是().A.90 B.75 C.60 D.45【答案】A【解析】樣本中產品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數為36，∴樣本總數為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數為120×0.75＝90.考點：頻率分布直方圖.10.在滿意不等式組的平面內隨機取一點，設事務A＝“”，那么事務A發(fā)生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合幾何概型的計算方法，求出對應面積之比即為所求概率.【詳解】如下圖，作出不等式組表示的平面區(qū)域（陰影部分），易知，，，該區(qū)域面積為.事務A＝“”，表示的區(qū)域為陰影部分AOC，其面積為.所以事務A發(fā)生的概率是.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算，考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查數形結合的數學思想的應用，屬于基礎題.11.已知函數（，），滿意，將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，若的圖象關于直線對稱，則的取值可以為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，求得，進而得，再結合三角函數的性質，求得，，即可求解.【詳解】因為，即，所以，又因為，所以，所以，函數的圖象向右平移個單位得到，的圖象關于直線對稱，，，即，，令，得.故選：B.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的圖象與性質的綜合應用，熟記三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題.12.已知圓（圓心為點）與拋物線交于兩點，若此拋物線的焦點為，且兩點都在以為直徑的圓上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據條件得,再與拋物線方程聯(lián)立求坐標，最終解三角形得結果.【詳解】因為兩點都在以為直徑的圓上，所以,設，則，，所以（舍負），因此故選：C【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系，考查基本分析求解實力，屬中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，將答案填在答題卡相應的位置上．13.已知一個扇形的圓心角為3弧度，半徑為4，則這個扇形的面積等于__________．【答案】24【解析】【分析】依據扇形面積公式求解.【詳解】扇形的面積為.故答案為：24【點睛】本題考查扇形面積公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.14.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的方程為，則曲線上的點到直線的距離的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】先依據點到直線距離公式列等量關系，再依據三角函數有界性求最值.【詳解】曲線上的點到直線的距離為故答案為：【點睛】本題考查點到直線距離公式以及三角函數有界性，考查基本分析求解實力，屬中檔題.15.現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據以上數據估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．【答案】【解析】【分析】依據數據統(tǒng)計擊中目標的次數，再用古典概型概率公式求解.【詳解】由數據得射擊4次至少擊中3次的次數有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故答案為：【點睛】本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，是雙曲線右支上的一點，射線平分交軸于點，過原點的直線平行于直線交于點，若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】在軸上取點，使得,過作直線平行于直線交于點，利用正弦定理證明,再依據雙曲線定義解得,即得，代入條件解得離心率.【詳解】在軸上取點，使得,過作直線平行于直線交于點，如圖，因為為中點,所以,因為,所以，因此故答案為：【點睛】本題考查雙曲線離心率，考查綜合分析求解實力，屬較難題.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線（為參數）與拋物線交于兩點，設點.（1）求直線的一般方程和極坐標方程；（2）求和.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）依據加減消元得直線的一般方程，再依據得極坐標方程；（2）將直線參數方程代入拋物線方程，依據參數幾何意義以及韋達定理求結果.【詳解】（1）因此極坐標方程為（2）代入得所以，【點睛】本題考查參數方程化一般方程、直角坐標方程化極坐標方程以及直線參數方程應用，考查基本分析求解實力，屬中檔題.18.設甲、乙、丙三個羽毛球協(xié)會的運動員人數分別為18，9，18，先采納分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取5名運動員參與競賽.（1）求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數；（2）將抽取的5名運動員進行編號，編號分別為，從這5名運動員中隨機抽取2名參與雙打競賽.設“編號為的兩名運動員至少有一人被抽到”為事務A，求事務A發(fā)生的概率.【答案】（1）2,1,2；（2）.【解析】【分析】（1）依據分層抽樣方法確定抽取人數；（2）先確定從這5名運動員中隨機抽取2名參與雙打競賽總事務數，再確定事務A所包含事務數，最終依據古典概型概率公式求結果.【詳解】（1）從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數分別為即2,1,2；（2）從這5名運動員中隨機抽取2名參與雙打競賽共有10種基本領件，其中編號為的兩名運動員都不選的事務有3個，因此事務A所包含事務數為7，從而所求概率為.【點睛】本題考查分層抽樣方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.19.如圖所示，“8”是在極坐標系Ox中分別以和為圓心，外切于點O的兩個圓．過O作兩條夾角為的射線分別交⊙C1于O、A兩點，交⊙C2于O、B兩點．（1）寫出⊙C1與⊙C2的極坐標方程；（2）求△OAB面積最大值．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】(1)干脆由條件求出與極坐標方程即可;(2)由(1)得,,,代入三角形面積公式,再利用三角函數求出△OAB面積的最大值.【詳解】解:(1)因為在極坐標系中圓和圓的圓心分別為和,所以圓和圓的極坐標方程分別為和.(2)由(1)得,,,則.所以當時,面積最大值為.【點睛】本題考查簡潔曲線的極坐標方程、三角形的面積公式和三角函數求最值,考查了轉化思想和函數思想,屬中檔題.20.某校為了診斷高三學生在市“一?！笨荚囍形目茢祵W備考的狀況，隨機抽取了50名學生的市“一?！睌祵W成果進行分析，將這些成果分為九組，第一組[60，70)，其次組[70，80)，……，第九組[140，150]，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試求出的值并估計該校文科數學成果的眾數和中位數；（2）現(xiàn)從成果在[120，150]的同學中隨機抽取2人進行談話，那么抽取的2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的概率是多少？【答案】（1）a=0.014，眾數95，中位數；（2）.【解析】【分析】（1）依據全部頻率和為1求的值，依據組中值以及頻率確定眾數，依據頻率為0.5求中位數；（2）先確定成果在[120，150]的同學人數以及成果在[130,140)中人數，再利用古典概型概率公式求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得區(qū)間對應人數最多，所以眾數為95，設中位數為，則所以中位數為；（2）成果在[120，150]的同學人數有，成果在[130,140)中人數，從6人抽取2人共有15種方法，其中抽取2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的抽法有種，因此所求概率為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.21.已知函數.（1）求函數最小正周期并用五點作圖法畫出函數在區(qū)間上的圖象；（2）若將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數的解析式，并求當時，函數的最小值及此時的值.【答案】（1），圖象見解析；（2），最小值，時取到.【解析】【分析】（1）先依據二倍角公式以及協(xié)助角公式化簡函數解析式，再依據正弦函數性質求周期，最終依據五點作圖法畫出圖象；（2）依據函數圖象變換規(guī)律得，再依據正弦函數性質求最值.【詳解】（1）所以周期為，列表如下：作圖如下：（2）函數的圖象向右平移個單位長度，得到,因此當時，取最小值為【點睛】本題考查五點作圖法、正弦函數性質、二倍角公式以及協(xié)助角公式，考查綜合分析求解實力，屬中檔題.22.已知橢圓