主題二方程與不等式

L____________________________________________________________________________________________________

專題06一次二次方程

目錄一覽

知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）

中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識記）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向——元二次方程的解

A考向二解一元二次方程-直接開平方法

A考向三解一元二次方程-配方法

A考向四解一元二次方程-公式法

A考向五解一元二次方程-因式分解法

A考向六配方法的應(yīng)用

A考向七根的判別式

A考向八根與系數(shù)的關(guān)系

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）

知識目標(biāo)

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;

2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等;

3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；

4.能利用一元二次方程解決實(shí)際應(yīng)用問題，并根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.

三"中考解密

本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)

系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值

為15分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

士：考點(diǎn)回歸

一元二次方程L一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式

方程叫做一元二次方程.

2.一般形式：ax2+bx+c=0（其中仇c為常數(shù)，。中0），其中

ax\bx,c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a,b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和

一次項(xiàng)系數(shù).

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意°H0，因?yàn)楫?dāng)°=0時(shí)，

不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)

條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最

高次數(shù)是2.

一元二次方程L一元二次方程的解（根）的意義：

的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因

為只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方

程的解也稱為一元二次方程的根.

2.一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這七，%是一元

二次方程辦2+區(qū)+0=0（a加）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可

利用這兩個(gè)等式求解未知量.

ax：+如+c=0（aw0）,ax；+bx2+c=0（a0）-

直接開平方法形如/—p或（〃x+加）2=p（pNO）的一兀二次方程可采用直接開平方的

方法解一元二次方程.

如果方程化成/=p的形式，那么可得x=±《；

如果方程能化成（〃x+機(jī)）2=P（p>0）的形式，那么nx+m=±J^'

注意：①等號左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

配方法1.將一元二次方程配成（X+機(jī)）2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，

這種解一元二次方程的方法叫配方法.

2.用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為4f+區(qū)+°=0（a加）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程

右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如

果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.

公式法1.把X=-b±JbAac（b2-4acN0）叫做一元二次方程加+樂+C=0

2a

（a8）的求根公式.

2,用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

3,用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c的值（注意符號）；

②求出人2_4℃的值（若4ac<0，方程無實(shí)數(shù)根）；

③在4四20的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程

的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：

①a#0；@b2-4ac>0-

因式分解法1.因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，

是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)

一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到

兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方

程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；

③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

根的判別式利用一元二次方程根的判別式（/=/—4ac）判斷方程的根的情況.

一兀二次方程辦2+6x+c=0（a#>）的根與/=〃—4qc有如下關(guān)系：

①當(dāng)/〉0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)/=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)/<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

一元二次方程1.當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程Q之+6%+c=0（。。0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

根的情況與判

2.當(dāng)/—4QC=0時(shí)，方程辦2+區(qū)+°=0（〃。0）有1個(gè)（兩個(gè)相等的）

別式的關(guān)系

實(shí)數(shù)根；

3.當(dāng)〃—4或<0時(shí)，方程辦2+區(qū)+。=0（。。0）沒有實(shí)數(shù)根?

根與系數(shù)關(guān)系1,若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：X],%是方程/+.+9=0的兩

根時(shí)，Xj+x2=-p,xxx2=q,反過來可得夕=-（X]+》2），q=x62，

前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題,后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

2,若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：出馬是一元二次方程

bc、

2

ax+bx+c=Q（a#））的兩根時(shí)，西+x,=——,XjX2=—,反過來也

aa

成M,即一=—（X]+X）,—=XjXj,

aa2

3,常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.

②已知方程及方程的一f-根，求另一"Is根及未知數(shù).

③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，野+君等等

④判斷兩根的符號.

⑤求作新方程.

⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解題

時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮存0,4川這兩個(gè)前提條件.

利用一元二次列一元二次方程解應(yīng)用題的，，六字訣，，

方程解決實(shí)際1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

問題2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹U：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，

從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

6.答：寫出答案.

增長率等量關(guān)1,增長率=增長量+基礎(chǔ)量.

系2.設(shè)。為原來量，冽為平均增長率，"為增長次數(shù)，b為增長后的量，則

(2(1+m)n—b'當(dāng)加為平均下降率時(shí)，則有Q(1—加)"=6'

利潤等量關(guān)系1.利潤=售價(jià)-成本.

2.利潤率=缺^100%.

面積問題1,類型1：如圖1所示的矩形48CD長為a,寬為b，空白“回形”道路的

寬為X,則陰影部分的面積為(a-2x)(6-2x).

2.類型2：如圖2所示的矩形ABC。長為a,寬為b，陰影道路的寬為x,

則空白部分的面積為(a-x)(6-x)-

3.類型3：如圖3所示的矩形ABCZ)長為a,寬為b，陰影道路的寬為x,

則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為(a-x)S-x).

4P42

□LT

圖1圖2圖3

碰面問題(循環(huán)1,重疊類型(雙循環(huán))：n支球隊(duì)互相之間都要打一場比賽，總共比賽場

問題)次為mo

?.T支球隊(duì)要和剩下的(n-1)支球隊(duì)比賽，支球隊(duì)需要比(n-1)

場

?.?存在n支這樣的球隊(duì)，.?.比賽場次為：n(n-1)場

YA與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，.?.上述求法有重疊部分.

/.m=-n(n-1)

2

2.不重疊類型(單循環(huán))：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場與所有球隊(duì)各打

一場，總共比賽場次為m。

?.?1支球隊(duì)要和剩下的（n-1）支球隊(duì)比賽，.??：!支球隊(duì)需要比（n-1）

場

?.?存在n支這樣的球隊(duì)，，比賽場次為：n伍-1）場.

：A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，

上述求法無重疊.

?*.m=n（n-1）

士重點(diǎn)考向

A考向----元二次方程的解

廨施防而易錯(cuò)易混/特則盤齷一

緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解

1.（2023?綿陽）若x=3是關(guān)于x的一元二次方程x2-1ax-a2=0（a>0）的一個(gè)根，下面對。的值估計(jì)

正確的是（）

1225

A.B.l<a<—C.—<a<2D.2<a<^-

2222

【思路點(diǎn)撥】將方程的根代入方程，解關(guān)于。的一元二次方程并估值即可.

【規(guī)范解答】解：將x=3代入方程得，

9-5a-4=0,

解得a-5土產(chǎn),

又4>0,

所以。=一5位.

2

又因?yàn)?V鬧<8,

所以2c迎1-5<3,

./陶-5/3

12<2，

即

故選:B.

【真題剖析】本題考查一元二次方程的解，能正確解出關(guān)于。的一元二次方程及對求出的。進(jìn)行估值是

解題的關(guān)鍵.

2.（2023?棗莊）若x=3是關(guān)于x的方程ax2-bx=6的解，則2023-6a+26的值為2019.

【思路點(diǎn)撥】把x=3代入方程求出3?-b的值，代入原式計(jì)算即可求出值.

【規(guī)范解答】解：把x=3代入方程得：9a-36=6,即3a-6=2,

貝!I原式=2023-2（3。-6）=2023-4=2019.

故答案為：2019.

【真題剖析】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

3.（2023?株洲）已知實(shí)數(shù)機(jī)、x滿足：（mxi-2）（mx2-2）=4.

①若mg，xi=9，貝！IM18；

o

②若加、司、M為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對（XI，M）有7個(gè).

【思路點(diǎn)撥】①把機(jī)=[■,xi=9代入求值即可；

②由題意知：（加修-2）,（加歷-2）均為整數(shù)，mx（>\,mxi>\,mx1-2>-1,mx2-2>-1,貝1J4="4

=2x2=4xl,再分三種情況討論即可.

【規(guī)范解答】解：①把加=1■,修=9時(shí)，-2）x-2）=4,

OOO

解得：M=18；

故答案為：18.

②當(dāng)切，X”必為正整數(shù)時(shí),

(wxi-2)，(mx2_2)均為整數(shù)，mxi>l,mx2>l,mx\-2>-1,mx2-2>-1,

而4=lx4=2x2=4xl,

mx-2=l(mx)-2=2'mX[-2=4

1或」

---

mx22=4^mx22=2mx22=l

mxi=3mxi=4mxj=6

，或《,或<

==

mx26mx2=4mx23

mxi=3

當(dāng)《「時(shí)，

JTI=\時(shí)，—3,必=6；加=3時(shí)，X1=lJ必=2,

=

mx2b

故（%i，必）為（3,6）(1,2),共2個(gè);

mxi=4

當(dāng)《■時(shí)，m=l時(shí),X\—4,M=4；m=2時(shí)，xi=2,工2=2,772—4時(shí)，Xi=1,M=1，

=

mx24

故（修，必）為（4,4）,（2,2）,（1,1）,共3個(gè)；

fmxj=6

當(dāng)<時(shí)，加=1時(shí)，修=6,應(yīng)=3；冽=3時(shí)，修=2,必=1，

=

mx23

故（修，X2）為（6,3）,（2,1）,共2個(gè);

綜上所述：共有2+3+2=7個(gè).

故答案為：7.

【真題剖析】本題考查了整式方程的代入求值、整式方程的整數(shù)解，因式分解的應(yīng)用，及分類討論的思

想方法.本題的關(guān)鍵及難點(diǎn)是運(yùn)用分類討論的思想方法解題.

A考向二解一元二次方程-直接開平方法

一元二次方程的常見解法及適用情形：

一般形式：ax2+bx+c=0(a0)

直接開平方法形如（x+加）2=20）的方程，可直接開方求解，則再=一加+?,X]=-m-G

因式分解法可化為a（x+"）（x+〃）=0的方程，用因式分解法求解，則石=—機(jī)，X[=-n

配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為a（x+/z）2=左，再直接開方求解

2

公式法利用求根公式：x-―--^^-(A=b-4ac>0)

la

4.（2022?臺灣）已知一元二次方程式（x-2）2=3的兩根為°、b,且a>6,求2°+6之值為何？（）

A.9B.-3C.6+>/3D.-6+A/3

【思路點(diǎn)撥】先利用直接開平方法解方程得到a=2+73-6=2-如，然后計(jì)算代數(shù)式2a+b的值.

【規(guī)范解答】解：G-2）2=3,

x-2=我或x-2=-

所以制=2+y，X2=2-A/3，

即a=2+J^,b—1

所以2a+b=4+2-（/3+2-

故選：C.

【真題剖析】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵.

5.（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2=9的根是》i=2,x?=-4.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：（x+1）占9,

x+1=±3,

X\~~29%2---14.

故答案為：X1=2,X2=-4.

【真題剖析】此題考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等

號的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊，化成N（a>0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解，本題直接開

方求解即可.

A考向三解一元二次方程-配方法

6.（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是（）

A.（x+6）2=28B.（x-6）2=28C.（x+3）2=1D.（x-3）2=1

【思路點(diǎn)撥】利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【規(guī)范解答】解：x2-6x+8=0,

x2-6x=-8,

x2-6x+9=-8+9,

（x-3）2=1,

故選：D.

【真題剖析】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握解一元二次方程-配方法是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?無錫）（1）解方程：x2+6x-1=0；

，6x-5<7

（2）解不等式組：..3x-l-

2x+l

【思路點(diǎn)撥】（1）用配方法解方程即可；

（2）求出每個(gè)不等式的解集，再找公共解集即可.

【規(guī)范解答】解：（1）：x2+6x-1=0,

/.（x+3）2=10,

；?x+3=或x+3=-A/10，

???XI=A/T5-3,必=-VIO-3;

（2）解不等式①得：爛2,

解不等式②得：x>-3,

???不等式組的解集為-3〈爛2.

【真題剖析】本題考查解一元一次方程和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握配方法和求公共解集

的方法.

8.（2022?徐州）（1）解方程：N-2x-1=0；

（2）解不等式組：l+/.

h-x<xT

【思路點(diǎn)撥】（1）方程移項(xiàng)后，利用完全平方公式配方，開方即可求出解；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

【規(guī)范解答】解：（1）方程移項(xiàng)得：N-2X=1,

配方得：x2-2x+l=2,即（x-1）2=2,

開方得：x-1=±&,

解得：修=1+&，必=1-&;

⑵①

由①得：X>1,

由②得：X>2,

則不等式組的解集為x>2.

【真題剖析】此題考查了解一元一次不等式組，以及解一元二次方程-配方法，熟練掌握不等式組的解

法及方程的解法是解本題的關(guān)鍵.

A考向四解一元二次方程-公式法

9.(2023?臺灣)利用公式解可得一元二次方程式3x2-1lx-1=0的兩解為0、b,且a>6,求°值為何

()

A-ll+VTog口-11+V133011W109n11W133

6666

【思路點(diǎn)撥】利用公式法即可求解.

【規(guī)范解答】解：3尤2-11x7=0,

這里。=3,b=-11,c=-1,

(-11)2-4X3X(-1)=133>0,

.11±V13311±V133

2X36

,一元二次方程式3N-11%-1=0的兩解為a、b,且a>6,

:.a的值為11WW.

6

故選：D.

【真題剖析】本題考查了解一元二次方程-公式法，能熟練運(yùn)用公式法解答方程是解此題的關(guān)鍵.

10.(2022?東營)一元二次方程N(yùn)+4x-8=0的解是()

A.X\—2+2^"^,工2=2-2*^3B.X\—2+2-^2，必=2-

C.X\——2+2小^,必=-2-D.X\=~2+2，"^,必=-2-2，*^

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解即可.

【規(guī)范解答】解：6=4,c--8,

AA=42-4xlx(-8)=48>0,

則x=-b±db24ac=14±4f=.2±2^,

2a2

??Xi=-2+2^^jX2=-2-2^^31

故選：D.

【真題剖析】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解

法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法.

A考向五解一元二次方程-因式分解法

11.(2022?包頭)若xi，尤2是方程V-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則修m2的值為()

A.3或-9B.-3或9C.3或-6D.-3或6

【思路點(diǎn)撥】先用因式分解法解出方程，然后分情況討論，然后計(jì)算.

【規(guī)范解答】解：x2-2x-3=Q,

(x-3)(x+1)=0,

x=3或x=-1,

①X1=3,X!*2=

必=-1時(shí)，X23,

②/=-1,X2=2=

3時(shí)，X!*X2-9,

故選：A.

【真題剖析】本題主要考查了解一元二次方程-因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步驟，分情況

討論是解題關(guān)鍵.

12.(2022?云南)方程2x2+1=3x的解為x,=l,xz=^.

【思路點(diǎn)撥】方程利用因式分解法求出解即可.

【規(guī)范解答】解：2/+l=3x,

2x2-3x+l=0,

(x-1)(2x-1)=0,

解得：X1=1,X2=/.

X1=

故答案為：1,x2=y.

【真題剖析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本題的關(guān)鍵.

13.(2022?貴陽)(1)a,6兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示.

用“<”或“>”填空：a<b,ab<0；

(2)在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法,

請從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程.

@x2+2x-1=0；@x2-3x=0；③N-4x=4；(4)x2-4=0.

——I~?-------1----------A

a0b

【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)數(shù)軸確定。、b的正負(fù)，再利用乘法法則確定成；

(2)根據(jù)方程的系數(shù)特點(diǎn)，選擇配方法、公式法或因式分解法.

【規(guī)范解答】解：(1)由數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)知：a<0<b,

:ab<i0.

故答案為：V,<.

(2)①利用公式法：x2+2x-1=0,

A=22-4xlx(-1)

=4+4

=8,

?v—-2±vb^-4ac

2

--2士我

2

_-2±272

~2~

=~1±V2.

；.xi=-1+-/2,x2=~1"V2;

②利用因式分解法：N-3x=0,

Ax(x-3)=0.

??修=0,必=3；

③利用配方法：x2-4x=4,

兩邊都加上4,得N-4X+4=8,

(x-2)2=8.

.'.x-2=±2J^.

.,.%i—2+2*^2,%2=2-

④利用因式分解法：x2-4=0,

(x+2)(x-2)—0.

??X[=-2,必=2.

【真題剖析】本題考查了數(shù)軸、一元二次方程的解法，掌握數(shù)軸的意義、一元二次方程的解法是解決本

題的關(guān)鍵.

A考向六配方法的應(yīng)用

14.(2023?連云港)若沙=5N-4砂+產(chǎn)-2y+8x+3(x>>為實(shí)數(shù))，則少的最小值為-2.

【思路點(diǎn)撥】將原式進(jìn)行配方，然后根據(jù)偶次幕的非負(fù)性即可求得答案.

【規(guī)范解答】解：W=5x2-4xy+y2-2尹8x+3

=N+4N-4xy+y2-2y+8x+3

=4x2-4xy+y2-2y+N+8x+3

=(4x2-4xy+y2)-2y+N+8x+3

=(2x-y)2-2j^+x2+4x+4x+3

=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3

=(2x-y)2+2(2x-y)+1-l+x2+4x+4-4+3

=[(2x-y)2+2(2x-y)+1]+(x2+4x+4)-2

=(2x-jH-1)2+(x+2)2-2,

y均為實(shí)數(shù)，

(2%-尹1)2>0,(x+2)2>0,

原式股-2,

即原式的少的最小值為：-2,

解法二：由題意5x2+(8-4y)x+(y-2y+3-仍=0,

Vx為實(shí)數(shù)，

(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)>0,

即5W>(y+3)2-10>-10,

：.W>-2,

.,.少的最小值為：-2,

故答案為：-2.

【真題剖析】本題考查配方法的應(yīng)用及偶次暴的非負(fù)性，利用配方法把原式整理為'平方+常數(shù)”的形式是

解題的關(guān)鍵.

15.(2022?樂山)已知%2+/+]0=6加-2",則m-〃=4.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式得出m和n的值即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：?.加2+〃2+1()=6根-2”，

/.m2-6加+9+層+2"+1=0,

即(加-3)2+(n+1)2=0,

?.加3,〃~~-1,

'.m-n—4,

故答案為：4.

【真題剖析】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)完全平方公式得出m和n的值是解題的關(guān)鍵.

A考向七根的判別式

搟鼠我虧[易錯(cuò):就，痔則建馥

1.當(dāng)戶-^ac〉0時(shí)，方程辦2+bx+c=0(。H0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

2.當(dāng)尸―4ac=0時(shí)，方程云+。=0僅力0)有i個(gè)(兩個(gè)相等的)實(shí)數(shù)根；

3.當(dāng)〃-4ac<0時(shí)，方程。/+bx+c=0(tz/0)沒有實(shí)數(shù)根.

16.(2023?眉山)關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2X+〃L2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍是()

o

A.B.m>3C."?W3D.〃z<3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式A>0,可得出關(guān)于加的一元一次不等式，解之即可得出力

的取值范圍，對照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2x+m-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

(-2)2-4xlx(m-2)=12-4機(jī)>0,

解得：m<3.

故選：D.

【真題剖析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?鞍山)若關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)+3x-a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則°的取值范圍是?>

旦

二%一,

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)判別式的意義得到A=32-4xlx(-“)>0,然后解不等式即可.

【規(guī)范解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)+3x-a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

2

.\A>0,BPA=3-4xlx(-a)>0,

解得a>--y.

4

—q

故答案為：a>——■

4

【真題剖析】本題考查了根的判別式一元二次方程"2+6X+C=0(存0)的根與A=62-4ac有如下關(guān)系

當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無

實(shí)數(shù)根.

18.(2023?揚(yáng)州)若關(guān)于x的一元二次方程無2+2/左=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為小

<1.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于左的一元一次不等式，解不

等式即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：?.?方程/+2x+左=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

：.'=〃■-4ac=22-4k=4-4k>0,

解得：k<1.

故答案為：4<1.

【真題剖析】本題考查了根的判別式，根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式得出4-4k>0是

解題的關(guān)鍵.

A考向八根與系數(shù)的關(guān)系

19.(2023?錦州)若關(guān)于x的一元二次方程依2_為+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是()

A.k<^B.狂C.左〈春且厚0D.心■，且存0

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的定義，得存0,根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出AK),求出左的取值范圍

即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：?.?關(guān)于x的一元二次方程依2-2X+3=0,

胖0,

??.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

；.△=(-2)2-4公<3K),

解得白，

O

：.k的取值范圍是依■■且厚0,

O

故選：D.

【真題剖析】此題考查了根的判別式，掌握一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的情況與根的判

別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

20.(2023?岳陽)已知關(guān)于x的一元二次方程了2+2〃吠+a2-加+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根片、x2>且

修+必+修42=2,則實(shí)數(shù)m=3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式A>0,可得出關(guān)于"的一元一次不等式，解之可得出〃?

2

的取值范圍，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得出處+無2=-2加，x^x2=m-m+2,結(jié)合/+必+'/苫2=2,可得出

關(guān)于加的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：???原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

22

(2m)-4xlx(m-m+2)>0,

Vxi，X2是關(guān)于X的一元二次方程x2+2mx+加2-m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

；.xi+x2=-2m,xi*X2~m2-m+2,

?XI+X2+X/X2=2,

-2m+m2-m+2=2,

解得：mi=0(不符合題意，舍去)，加2=3,

實(shí)數(shù)m的值為3.

故答案為：3.

【真題剖析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合XI+X2+X1?M=2,找出

關(guān)于加的一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

21.(2023?南充)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m—0.

(1)求證：無論加為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若修，X2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且乂紅=Y，求m的值.

X1x22

【思路點(diǎn)撥】(1)由判別式A=(4m-1)2>0,可得答案;

xx<5

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知為+必=2加-1,X1X2=-3蘇+%,9由L=-《■進(jìn)行變形直接代入得到

X1x22

5m2-7m+2=0,求解可得.

【規(guī)范解答】(1)證明：VA=[-(2m-1)]2-4xlx(-3m2+m)

=4加2-4加+1+12加2-4m

=16加2-8加+1

=(4m-1)2>0,

???方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)解：由題意知，X\+X2=2m-1,X\X2=-3加2+加，

222

..XnX!_X1+X2_(X1+x2)5

X1x2xj2x/22

...(2m；)，2=々,整理得5加-7加+2=0,

-3m+m2

解得加=1或加=看.

5

【真題剖析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系若為，町是一元二次方程辦2+云+。=0(分0)的兩根時(shí)，修+必

=-X1X2=￡.也考查了根的判別式.

aa

A考向九一元二次方程的應(yīng)用

列一元二次方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程.其中分析實(shí)際問題是

解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問題.

22.(2023?重慶)某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長，預(yù)計(jì)八月份將提

供崗位1815個(gè)，設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x,根據(jù)題意，可列方程為1501

(1+x)2=1815.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815

個(gè)，列一元二次方程即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，得1501(1+x)2=1815,

故答案為：1501(1+x)2=1815.

【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.(2023?牡丹江)張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達(dá)

到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是20%.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)每月盈利的平均增長率是X,利用5月份盈利=3月份盈利X（1+每月盈利的平均增長率）

2,可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：設(shè)每月盈利的平均增長率是X,

根據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2（不符合題意，舍去），

,每月盈利的平均增長率是20%.

故答案為：20%.

【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

24.（2023?東營）如圖，老李想用長為70加的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個(gè)矩形羊圈

ABCD,并在邊2C上留一個(gè)2m寬的門（建在斯處，另用其他材料）.

（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640加2的羊圈？

（2）羊圈的面積能達(dá)到650加2嗎？如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由.

1Al\D'

BEFC

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)3C=柵欄總長-2/8,再利用矩形面積公式即可求出；

（2）把5=650代入x（72-2%）中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可.

【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)矩形/BCD的邊/則邊8C=70-2x+2=（72-2x）m.

根據(jù)題意，得x（72-2x）=640,

化簡，得x2-36x+320=0,

解得看=16,無2=20,

當(dāng)x=16時(shí)，72-2x=72-32=40（m）,

當(dāng)尤=20時(shí)，72-2x=72-40=32（m）.

答：當(dāng)羊圈的長為40加，寬為16a或長為32%,寬為20心時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640小的羊圈;

（2）答：不能，

理由：由題意，得x（72-2x）=650,

化簡,得N-36x+325=0,

A=（-36）2-4x325=-4<0,

一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

二羊圈的面積不能達(dá)到650m2.

【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到周長等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

最新真題奇萃

1.（2023?赤峰）用配方法解方程N(yùn)-4x-1=0時(shí)，配方后正確的是（）

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2)2=5D.(x-2)2=17

【思路點(diǎn)撥】先把-1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4,再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方

的形式即可.

【規(guī)范解答】解：；x2-4x-1=0,

.'.x2-4x=1,

.".x2-4x+4—1+4,

(x-2)2=5.

故選：C.

【真題剖析】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成(x+m)2="(?>0)的形式，

再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

2.(2023?福建)根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)

生產(chǎn)總值為53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程()

A.43903.89(1+x)=53109.85

B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89x2=53109.85

D.43903.89(1+x2)=53109.85

【思路點(diǎn)撥】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為

43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元，據(jù)此列方程.

【規(guī)范解答】解：設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為X,

根據(jù)題意得，43903.89(1+x)2=53109.85,

故選：B.

【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，

找出合適的等量關(guān)系，列出方程.

3.(2023?廣西)據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全

國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平

均增長率為x,依題意可列方程為()

A.3.2(1-%)2=3.7B.3.2(1+x)2=3.7

C.3.7(1-x)2=3.2D.3.7(1+x)2=3.2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)2020年的人均可支配收入x(1+年平均增長率)2=2022年的人均可支配收入，列出

一元二次方程即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：3.2(1+x)2=3.7,

故選:B.

【真題剖析】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程

是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?黑龍江）如圖，在長為100加，寬為50加的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分

全部種上花卉，且花圃的面積是3600〃落則小路的寬是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10w

【思路點(diǎn)撥】設(shè)小路的寬是x機(jī)，則余下的部分可合成長為（100-2x）m,寬為（50-2%）機(jī)的矩形，

根據(jù)花圃的面積是3600/，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解:設(shè)小路的寬是則余下的部分可合成長為（100-2x）m,寬為（50-2x）機(jī)的矩

形，

根據(jù)題意得：（100-2%）（50-2%）=3600,

整理得：x2-75x+350=0,

解得：%i=5,X2=70（不符合題意，舍去），

小路的寬是5m.

故選：A.

【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?鎮(zhèn)江）若x=1是關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)+mx-6=0的一個(gè)根，則加=5.

【思路點(diǎn)撥】把x=l代入原方程得到1+加-6=0,然后解一次方程即可.

【規(guī)范解答】解：把x=l代入方程/+加”6=0得1+m-6=0,

解得m=5.

故答案為：5.

【真題剖析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次

方程的解.

6.（2023?寧夏）方程N(yùn)-4x-〃?=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為-4.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根的判別式的意義得到A=（-4）2+4"?=。，然后解不等式即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得△=（-4）2+4m=0,

解得m--4,

即m的值為-4.

故答案為：-4.

【真題剖析】本題考查了根的判別式一元二次方程亦2+6X+C=0（°和）的根與A=〃-4ac有如下關(guān)系

當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)