高等數(shù)學(xué)教案主題：不定積分的概念和性質(zhì)PAGE教學(xué)主題不定積分的概念教學(xué)目標(biāo)理解原函數(shù)、不定積分的概念掌握不定積分的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)不定積分的概念及其性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)不定積分的概念及其性質(zhì)教學(xué)方法以理論講述法為主,學(xué)生進(jìn)行討論分析課時(shí)2課時(shí)教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)一、新課導(dǎo)入（以微分逆運(yùn)算導(dǎo)入）已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,去求該質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)運(yùn)用到了導(dǎo)數(shù),即函數(shù)在一點(diǎn)附近相對(duì)于自變量的變化快慢程度.在實(shí)際中,也往往會(huì)遇到與其相反的問題.比如已知一質(zhì)點(diǎn)以某一速度作變速運(yùn)動(dòng)去求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.這樣問題就變成了已知某一個(gè)函數(shù),去求函數(shù),使得,即求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使它的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)的過程.類似這樣的問題就是積分學(xué)要研究的基本問題.二、講授新課,引出不定積分的概念首先來了解一下原函數(shù)的概念.定義1：如果在區(qū)間上,可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,即對(duì)任一,都有,那么函數(shù)就稱為在區(qū)間上的原函數(shù).例如：,所以是的一個(gè)原函數(shù).現(xiàn)在來考慮這樣的兩個(gè)問題：（1）已知的原函數(shù)為,則對(duì)任何的常數(shù),有.（無窮多個(gè)）一、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)概念是函數(shù)變化率的精確描述.二、思考并回答問題（1）已知已知的原函數(shù)為,則對(duì)任何的常數(shù),求.（2）已知和均為的原函數(shù),則它們之間存在一個(gè)什么樣的關(guān)系？教學(xué)過程（2）已知和均為的原函數(shù),則他們之間存在一個(gè)什么樣的關(guān)系？（相差一個(gè)常數(shù)）通過師生共同分析以上問題,引出不定積分的定義.定義2：在區(qū)間上,函數(shù)的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分,記作,即,其中記號(hào)稱為積分號(hào),稱為積分變量,稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式.注意：原函數(shù)和不定積分是個(gè)體與全體的關(guān)系（強(qiáng)調(diào)常數(shù)的重要性）.三、舉例利用定義求簡(jiǎn)單積分例1：求.解：由于,所以是的一個(gè)原函數(shù).因此例2：求.解：當(dāng)時(shí),由于,所以是在的一個(gè)原函數(shù),所以在內(nèi),當(dāng)時(shí),由于,所以是在的一個(gè)原函數(shù),所以在內(nèi),綜上所述,例3:設(shè)曲線通過點(diǎn)（1,2）,且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解：由題設(shè)曲線,則任一點(diǎn)切線斜率為,則是的一個(gè)原函數(shù),因?yàn)?所以有因過點(diǎn),所以,與教師共同分析以上問題,引出不定積分的定義.三、嘗試?yán)貌欢ǚe分的定義去求簡(jiǎn)單積分例1：求.例2：求.例3:設(shè)曲線通過點(diǎn)（1,2）,且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.教學(xué)過程所以四、給出基本積分表（從微分逆運(yùn)算考慮）從定義可得：由于是的原函數(shù),則有或.由于是的原函數(shù),則有或.結(jié)論：微分運(yùn)算與積分運(yùn)算是互逆的（給出基本積分表）.例4：求.(積分表的應(yīng)用)解：五、不定積分的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在,則.性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在,為非零常數(shù),則.（2）利用不定積分的性質(zhì)去求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分例4：求解：例5：求解：四、根據(jù)微分運(yùn)算與積分運(yùn)算是互逆的性質(zhì)給出基本的積分,并嘗試應(yīng)用其求一些積分.五、嘗試?yán)貌欢ǚe分的性質(zhì)去求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分教學(xué)過程例6：求解：六、課堂小結(jié)（1）原函數(shù)及不定積分的概念（2）能夠利用不定積分的定義求簡(jiǎn)單積分（3）基本積分表（4）不定積分的性質(zhì)六、與教師一起進(jìn)行總結(jié)板書設(shè)計(jì);由于;由于是的原函數(shù),則有;微分運(yùn)算與積分運(yùn)算是互逆的.積分表內(nèi)容（學(xué)生板書）例4：求不定積分的性質(zhì)定理1：……定理2：……例4：求例5：求例6：求課堂小結(jié):……不定積分已知,求函數(shù),使得.定義1：（原函數(shù)的定義）…….（1）（2）與的關(guān)系？的全體原函數(shù)定義2：