第六章計(jì)數(shù)原理6.3二項(xiàng)式定理（系數(shù)和問(wèn)題）01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式特征：（1）項(xiàng)數(shù)：共有n＋1項(xiàng)，比指數(shù)n多1．（2）次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)均為n；

字母a的次數(shù)按降冪排列，由n遞減到0，字母b的次數(shù)按升冪

排列，由0遞增到n．（3）二項(xiàng)式系數(shù)：

只與n，r有關(guān)，與a，b無(wú)關(guān)．（4）展開(kāi)式的通項(xiàng)（第r＋1項(xiàng)）：02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

(a＋b)n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)依次是

，

，…，

，…，

，當(dāng)n依次取1，2，3，……時(shí)，我們把對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)按如下形式排列：

圖中的三角形數(shù)表稱為“二項(xiàng)式系數(shù)表”．

類似這樣的數(shù)表在我國(guó)南宋時(shí)期楊輝所著的《詳解九章算法》一書中曾列出過(guò)（如圖）．

楊輝在書中說(shuō)明：表中每一行兩端都是數(shù)字1，而其余位置上的每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和．

例如∶2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，….．

一般地，對(duì)于(a＋b)n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)

，

，…，

，…，

，我們可以將其看作函數(shù)

進(jìn)而可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)研究它們．

（1）圖像關(guān)于直線

r=3對(duì)稱，即

例如，當(dāng)n=6時(shí)，我們可以畫出

的圖像：

（2）當(dāng)

r=3時(shí)，f(r)取得最大值20；

（3）當(dāng)0≤r≤3時(shí)，f(r)單調(diào)遞增；當(dāng)3≤r≤6時(shí)，f(r)單調(diào)遞減．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)：

（2）單調(diào)性和最大值：二項(xiàng)式系數(shù)f(r)從兩端向中間逐漸增大．

（1）對(duì)稱性：二項(xiàng)式系數(shù)f(r)關(guān)于直線

對(duì)稱，即f(r)=f(n－r)．在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)n＋1是奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)n＋1是偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和為：

．令a

=b=1，則例4當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求證：思考