中考經(jīng)典幾何題講義系列：截長補(bǔ)短

有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關(guān)系。

這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解。所謂“截長”，就是

將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相等，然后證

明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較

短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等。然后求出延長后的線段與最長

的已知線段的關(guān)系。有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求

解。

截長法：

(1)過某一點(diǎn)作長邊的垂線

(2)在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相

等。

補(bǔ)短法

(1)延長短邊。

(2)通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起?！?/p>

幾種截長補(bǔ)短解題法類型

我們大致可把截長補(bǔ)短分為下面幾種類型；

類型①a±b=c

類型②a±b=kc

類型③弛

C

類型④c2=a-b

對(duì)于類型①，可采取直接截長或補(bǔ)短，繞后進(jìn)行證明?；蛘呋癁轭愋廷谧C明。

對(duì)于②，可以將。士6與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，然后證明這個(gè)三角形為特殊

三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個(gè)角為30。的直角三角形等。

對(duì)于類型③，一般將截長或補(bǔ)短后的。土。與。構(gòu)建在一個(gè)三角形中，與類型

②相同。實(shí)際上是求類型②中的左值。

對(duì)于類型④，將。化為￡=?的形式，然后通過相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)行

ac

證明。在證明相似三角形的過程中，可能會(huì)用到截長或補(bǔ)短的方法。

例：

FD

在正方形A5CZ）中，DE=DF,DG1CE,交CA于G,GH1AF,交

A。于尸，交CE延長線于H,請(qǐng)問三條粗線。G,GH,?！钡臄?shù)量關(guān)

系

方法一（好想不好證）

方法二（好證不好想）

例題不詳解。

（第2頁題目答案見第3、4頁）

AB

(1)正方形A3CD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)P在3c上，ZEAF=45°e

求證：EF=DE+BF

(1)變形a

正方形A3CD中，點(diǎn)E在。延長線上，點(diǎn)R在3c延長線上，ZEAF=45°0

請(qǐng)問現(xiàn)在跖、DE、3R又有什么數(shù)量關(guān)系？

(1)變形6

正方形A3CD中，點(diǎn)E在。C延長線上，點(diǎn)R在底延長線上，ZEAF=45°0

請(qǐng)問現(xiàn)在ER、DE、3R又有什么數(shù)量關(guān)系？

(1)變形

A

0

正三角形ABC中，E在A3上，F(xiàn)^.AC1.Z.EDF=45oDB=DC,ZBDC=120°□

請(qǐng)問現(xiàn)在ERBE、CR又有什么數(shù)量關(guān)系？

(1)變形d

E

正方形A3CD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)R在3C上，ZEAD=15°,ZFAB=3Q°□

AD=M

求AAER的面積

(1)解：(簡單思路)

延長CD到點(diǎn)G,使得ZXABE連接AG。

由四邊形A3CD是正方形得

ZADG=ZABF=9Q°

AD=AB

又DG=BF

所以AADGM^ABF(SAS)

ZGAD=ZFAB

AG=AF

由四邊形A3。是正方形得

ZDAB=90°=ZDAF+ZFAB

=ZDAF+ZGAD=ZGAF

所以/GAE=ZGAF-ZEAF

=90。一45。=45。

ZGAE=ZFAE=45°

又AG=AF

AE=AE

所以AEAGMAEAF(SAS)

EF=GE=GD+DE=BF+DE

變形a解：（簡單思路）

EF=BF-DE

在3C上截取3G,使得BG=DF,連接AG。

由四邊形ABCD是正方形得

ZADE=ZABG=9Q°

AD=AB

又DE=BG

所以AADE三AABG(SAS)

ZEAD=ZGAB

AE=AG

由四邊形A3。是正方形得

ZDAB=9Q°=ZDAG+ZGAB

=ZDAG+ZEAD=ZGAE

所以/GAF=ZGAE-ZEAF

=90。一45。=45。

ZGAF=ZEAF=45°

又AG=AE

AF=AF

所以AGAF(SAS)

EF=GF=BF-BG=BF-DE

變形8解：（簡單思路）

EF=DE-BF

在DC上截取DG,使得DG=BF,連接AG。

由四邊形A3CD是正方形得

ZADG=ZABF=90°

AD=AB

又DG=BF

所以AADGTAABF(SAS)

ZGAD=ZFAB

AG=AF

由四邊形ABC。是正方形得

ZDAB=9Q°=ZDAG+ZGAB

=ZBAF+ZGAB=ZGAF

所以/GAE=ZGAF-ZEAF

=90°-45°=45°

ZGAE=ZFAE=45°

又AG=AF

AE=AE

所以AE4G三AEAF(SAS)

EF=EG=ED-GD=DE-BF

變形c解：（簡單思路）

A

EF=BE+FC

延長AC到點(diǎn)G,使得CG=BE,連接DG。

由AABC是正三角形得

ZABC=ZACB=6Q°

又DB=DC,ZBDC=12Q°

所以ND3C=NDC3=30°

ZDBE=ZABC+ZDBC=6Q0+30°=90°

ZACD=ZACB+ZDCB=6Q0+300=90°

所以NGCD=1800-ZACD=90°

ZDBE=ZDCG=9Q°

又DB=DC,BE=CG

所以ADBE三ADCG(SAS)

ZEDB=ZGDC

DE=DG

又ZDBC=120°=ZEDB+ZEDC

=ZGDC+ZEDC=ZEDG

所以/GDF=ZEDG-ZEDF

=120°-60°=60°

ZGDF=ZEDF=60°

又DG=DE

DF=DF

所以AGDRMAEDF(SAS)

EF=GF=CG+FC=BE+FC

變形d解：（簡單思路）

延長CD到點(diǎn)G,使得DG=3E連接AG。

過E作EHLAG.前面如（1）所證，

AADGsAABF,\EAG=AEAF

ZGAD=ZFAB=30°,SAEAG=SAEAF

在R/AADG中，AGAD=3Q°,AD=^

^AGD=60°,AG=2

設(shè)EH=x

在RtAEGH中和RtAEHA中

ZAGD=60°,Z77AE=45O

HG=BX,AH=X

3

AG=2=HG+AH=—x+x,EH=x=3-y[j

3

SAEAF=SAEAG=EH義AG+2=3-.

（第5頁題目答案見第6頁）

(2)

正方形A3CD中，對(duì)角線AC與3。交于。，點(diǎn)E在BD上,AE平分ND4C。

求證：AC/2=AD-E0

(2)加強(qiáng)版

N

AB

正方形ABCD中，舷在CD上，N在D4延長線上，CM=AN,點(diǎn)E在3。上,

NE淬分/DNM。

請(qǐng)問MN、AD.ER有什么數(shù)量關(guān)系？

(2)解：(簡單思路)

過E作EGLAD于G

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形

ZADC=9Q°,3。平分/ADC,AC1BD

所以ZADB=ZADC/2=450

因?yàn)锳E平分NZMC,EOLAC,EGLAD

所以NEA0=NE4G,

ZDGE=nAOE=NAGE=90°又AE=AE,

所以AAE。三AAEG(AAS)

所以AG=A。，EO=EG

又NADB=45°,NDGE=90°

所以ADGE為等腰直角三角形

DG=EG=EO

AD-DG=AD-E0=AG=A0=AC/2

(2)加強(qiáng)版解：(簡單思路)

MN/2=AD-EF

過E作EGLAD于G,作EQ，A3于Q,

過3做于P

按照(2)的解法，可求證，

AGNEMAFNE(AAS)

ADGE為等腰直角三角形

AG=AD-DG=AD-EF,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

ZABC=ZGAQ=ZBCM=90°

3。平分NABC,BC=BA

ZABD=ZABC/2=45°,又/EQB=9Q°

AEQB為等腰及三角形，ZBEQ=45°

因?yàn)?GAQ=ZEGA=ZEQA=90°

所以四邊形AGEQ為矩形，

EQ=AG=AD-EF,EQ//AG

ZQEN=ZENG

又NENG=/ENF,所以NQEN=NENF

由BC=BA,ZBCM=ZBAN=900,CM=AN,

所以ABCMvABAN(SAS)

BM=BN,ZCBM=ZABN

ZABC=90°=ZABM+ZCBM

=ZABM+ZABN=ZMBN,又BM=BN

所以AMBN為等腰及三角形，

又3尸，斜邊MN于P,

所以ANP3為等腰心三角形。

BP=MN/2,NPNB=45°。

ZBNE=ZENF+ZPNB

ZBEN=ZQEN+ZQEB

又ZQEN=ZENF,ZPNB=ZQEB=45°

所以NBNE=/BEN

BN=BE,

又ZPNB=ZQEB=45°=ZNBP=ZEBQ

所以A3EQ三ABNP(SAS)

EQ=BP

EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2

所以AD-EF=MN/2。

經(jīng)典練習(xí)題(一)

1、如圖，在。。中，C是A8的中點(diǎn)，直線CDLAB于點(diǎn)E,AB=BE,PB、PA

組成的。。的一條折弦，C是劣弧的中點(diǎn)，直線CDLR4于點(diǎn)E,則AE

=PE+PB,請(qǐng)證明你的結(jié)論。

分析：本題要證明AE=PE+P3,可以將AE分為兩段，使其中一段長度等于PE,

然后另一段長度關(guān)于尸瓦反之亦。證明△AHCZABPC。然后再證明

=PE,那么AE=PE+PB。

證明：在AE上截取AH=P5,連接AC、CH、BC、CP。

：C是AB的中點(diǎn)

AC=BCc

：.AC=BC

///J0><\

,:CP=CP'、B

/A=NB

：.在AC4H與ACB尸中\(zhòng)

/CA=CB一一——口

<ZA=ZB

IAH=BP

△CAH^/\CBP(SAS)

：.CH=CP

'：CELHP

：.PE=EH

：.AE=PE+PB

2、如圖，OO為△ABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角N3CQ,ZACB

=120°,求三產(chǎn)的值。

分析：要求--AC的值,可用截長的方法來做，即可在A3上截取3E=AC,使

PC

△PAC,即可求出8C-AC的值。

PC

解：連接力、PB,在3c上截取3E,使3E=AC,連接尸E。

VZeCP+ZPCA=180°

又：ZPCA+ZPBA=120°

：.ZQCP=ZPBA

'：PB=PB

：.ZPCB=ZFAB

又?：/QCP=NPBA

：.ZPBA=ZFAB

：.PA=PB,PB=PA

在^PBE與APAC中

,PB=PA

<ZPBC=ZQAP

IBE=AC

:ZBE義MPAC(SAS)

：.PC=PE

：.ZPEC=ZBCP=30°

:=6

PC

.BC-AC=

PC-

3、如圖，00為△ABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角NACQ,ZACB

=90°,

求證：①PA=PB

@AC-BC=42PC

分析：要證明AC—3C=忘PC,可使用截長的方法，即在AC上截取AH=BC,

HC=AC-BC,然后將HC與PC構(gòu)建一個(gè)等腰直角三角形，且HC為斜邊,

o

p

c

PC為直角邊。通過求解△APH咨△C3P。即可證明AC—3。=拒尸。。

證明：連接出、PB,在AC上截取AH=3C。

：CP平分NACQ,NACQ=90°

：.ZPCA=ZQCP=45°

.四邊形APC3為圓的內(nèi)接四邊形

ZPAB+ZPCB=18Q°=ZPCQ=ZPCB

：.PA=PB

：.PA=PB

'：PC=PC

：.ZCBP=ZPAC

在△4物與^CBP中

,AH=CB

<ZCBP=ZPAC

IAP=BP

...AAPH^ACBP

：.PH=PC

'：ZPCH=45°

又???APHC為等腰直角三角形

：.AC-AH=AC-CB=HC=0PC

：.AC-BC=0PC

4、如圖，。。為△ABC的外接圓，弦CD平分NAC3,ZACB=120°,求生3

CD

的值。

分析：要求8+匿,我們的思路是將直延長至并與°構(gòu)建在一個(gè)三角形內(nèi)，

CD

然后解三角形并證明延長線與CA相等。我們將CB延長至H,作

CH=CA+CB,然后將CH和CD構(gòu)建在一個(gè)三角形內(nèi)，即過點(diǎn)D作NCDH

=60。延長C3,交DH于點(diǎn)、H,即可證△CAD當(dāng)AHBD,再可求出生3

CD

的值。

解：過點(diǎn)。作NCDH=60。延長底，交DH于點(diǎn)、H,連接AD、BD,

ZADB=CDH=60°

：.ZBDH=ZADC

"：ZDCH=60°=ZH=ZACD

：.DH=DC

在^CAD與△HBD中

/ZH=ZACD

<DH=DC

IZBDH=ZAPC

:.ACAD經(jīng)AHBD(ASA)

：.CA=BH

：.CB+BA=CD

CA+CB

5、如圖，尸是等邊△ABC外接圓BC上任意一點(diǎn)，求證：PA=PB+PC.

分析：要證明以=依+尸?？捎媒亻L的方法，即在以上截取AG=CP,然后證

明PG=BP即可。

證明：在AP上截取AG=CP

△ABC為等邊三角形

：.AB=BC

'：BP=BP

：.ZBAG=ZPCB

在△436與4CBP中

<AG=CP

<ZBAG=ZPCB

IAB=BC

AAABG^ACBP(SAS)

：.BP=BG,ZABG=ZPBC

：.ZGBP=60°,BP=PG

：.PA=PB+PC

6、如圖，RTZkABC中，AD為斜邊3C的高，P為AD的中點(diǎn)，BP交AC于N,

3c于M。求證：MN2=AN-NCo

分析：要證明"尸=4"W?？蓪⒋耸交癁轸?費(fèi)’然后利用相似三角形的

比例關(guān)系進(jìn)行求解。

證明：延長B4、MN,交于點(diǎn)E。

???△ABC是等腰直角三角形

ZEAN=ZMNC=90°

"：ZANE=ZMNC

：.ZC=ZE

：.LAEMsAMNC

,:AD〃MN

：.ZCNM=ZCAD

ZCMN=ZCDA

'：ZC=ZC

：.4CNMS4CAD

?MN_NC

*,ANMN

：.MN2=AN-NC

7、如圖，△ABC內(nèi)接于。。，A3是。。的直徑，CD平分NAC3交。。于點(diǎn)D,

交A3于點(diǎn)R,弦AELCD于H,連接CE、0H。求證：OHLAC。

分析：要證明OHLAC,可用補(bǔ)短的方法，即延長/、AE,交于點(diǎn)即可證

OH//AC.即可證明OHLAC。

證明：延長C3交AE的延長線于點(diǎn)V。

,.?A3為。。的直徑

/.ZACM=9Q°

'：AM±CD,且CD平分NAC3

：.AH=HM,OA=OB

是AACE的中位線

OH//CM

又：ZACM=90°

：.OH±AC

8、以△ABC的邊A3為直徑作。。，。。與3c邊的交點(diǎn)。恰好為3c的中點(diǎn),

過點(diǎn)。作DELAC于E,DE為。。的切線。求一的值。

DC

分析：要求迫的值，可用補(bǔ)短的方法，即延長A4,過C作的延長

DC

線交于點(diǎn)即可求出名DF的值。

DC

解：延長D4至作CMLBM于航。

,點(diǎn)。為3c中點(diǎn)

.?.AD平分NA4c

AZDAE=60°,AD=AD

_________n

：.DE=y/AD--AE2=—AD

2

?.?。與。分別為A3、3C的中點(diǎn)

：.AC=AB=2AD

'：ZCAM=180°-120°=60°

：.AC=2AD

:.CM=%AC=6AD

：.AM=-AC=AD

2

：.OC=yjOM2+CM-=擊AD

BADr-

.匹=2=叵

"DC41AD4

9、如圖，直徑A3、CD互相垂直，點(diǎn)“是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM、MC.MB、

MD。

Affi>2_MC2

求證:為定值。

MA.MB

分析：要證明先算為定值'可用補(bǔ)短的方法,即延長皿過A作

40，4”,班/，”3,交4。的延長線于Ho

解：連接BC、AC、AD,作BH±MB交AD的延長線于H。

：CD為。。的直徑

:.ACBD、△C4D為等腰直角三角形

ZCBD=/MBH=90°

：.ZCBM=ZDBH

'：ZBDH+ZMPB=ZMCB+ZMDC=1SO°

：.ZBDH=ZMCB

：.CB=DB

.?.在△MCB與△BDH中

,ZCBM=ZDBH

<CB=DB

LZBDH=ZMCB

AMCB咨ABDH

：.DH=MC

：.BM=BH

??.△MBH為等腰直角三角

MH=MD+DH=MD+MC=0MB

同理可得：MD-MC=A/2MA

.MD?-MC?—(MD+MC)20MA.6MB=1

MA?MBMA,MBMA?MB

.MD2-MC2-

??-------------------2

MA.MB

經(jīng)典練習(xí)題（二）

1.正方形ABC。中，E為BC上的一點(diǎn)，尸為CD上的一點(diǎn),

BE+DF=EF,則ZEAF的度數(shù)為多少

解題思路：延長EB至點(diǎn)G,使得BG=DF,連接AG,可證明：4ABG沿AADF(SAS),

AZDAF=ZBAG,AF=AG,又；EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE：.AAEF(SSS)

ZEAG=ZEAF,,：ZDAF+ZEAF+ZBAE=9Q°：,ZEAG+ZEAF=9Q°,：.ZEAF=45°o

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZABC=40°,是NA2C的平分線，

延長BD至E,是DE=AD,則/EC4的度數(shù)為多少

解題思路：在BC上截取BF=AB,連DF,則有△A3。絲△尸2。，：.DF=DA=DE,又

ZACB=ZABC=40°,ZDFC=180°-ZA=80°,：.ZFDC=60°,

'：ZEDC=ZADB=180°-ZABD-ZA=180°-2Q°-100°=60°,：.4DCE冬4DCF,故

ZECA=ZDCB=40°.

3.已知：AC平分NBA。，CE±AB,ZB+ZD=