高等數學（下冊）試題及詳細答案（精講版）

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

1.向量a=｛后,1,1｝與y軸的夾角"為（）

A.-B.-

64

C.-D.-

32

【答案】C

【解析】本題考查了向量與坐標軸的夾角。cosP=-11--,所以夕=上71。

-2

【提醒】本題還可以轉化為求兩向量a=｛VI1,1｝與｛0,1,0｝之間的夾角。

【點評】本題涉及內容是空間解析幾何中的重點，考試熱度：☆☆☆；大部分出現在選擇

題或填空題中。

2.函數/（尤,y）=Jf+y2在點（0,0）處（）

A.連續(xù)B.間斷

C,可微D.偏導數存在

【答案】A.

【解析】本題考查了二元函數的連續(xù)、偏導數與可微等概念。點（0,0）在初等函數

f（x,y）=Jf+y2的定義域內,故它在點（0,o）處連續(xù)。由于

￡（。,。）=1而〃°+一,°）—〃°,°）=1而色

'7。Ax-Ax

不存在，所以函數在（0,0）處偏導數不存在，從而在該點一定不可微。故本題選A。

【提醒】記住以下結論：（1）二元初等函數在其定義域內的每一點都連續(xù)。（2）可微必定

連續(xù)且偏導數存在，連續(xù)未必偏導數存在，偏導數存在也未必連續(xù)，連續(xù)未必可微，偏導

數存在也未必可微，偏導不存在一定不可微，偏導數連續(xù)是可微的充分不必要條件。

【點評】本題涉及內容是多元函數微分學中的難點，考試熱度：☆☆☆;大部分出現在選

擇題中。

3.設函數尸Cr,y),Q(x,y)具有連續(xù)的偏導數，且P(x,y)dx+Q(尤,y)dy是某函數"(尤,y)

的全微分，則()

絲

A.2=絲-

dydx5y

絲

cdP=_dQ?-

dydx

【答案】A.

【解析】本題考查了二元函數的全微分求積定理：設開區(qū)域G是一單連通域，函數尸(x,y),

Q(x,y)在G內具有一階連續(xù)偏導數，則尸(無，y)〃x+Q(x,y)辦是某函數a(x,y)的全微分

的充要條件是空=絲在G內恒成立。故本題選A。

dydx

【提醒】右尸行，y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),則稱P(x,y)辦+Q(尤,y)dy=O為全微分方

程。顯然，這時該方程通解為u(x,y)=C(C是任意常數)。

【點評】本題涉及內容是求解全微分方程的基礎，大部分出現在選擇、填空題中?？荚嚐?/p>

度：☆☆☆☆；

【歷年考題鏈接】(2007,7)3.設函數/(x,y)具有連續(xù)的偏導數，且;■(x,y)Mc+/(x,y)My

是某個函數"(x,y)的全微分，則/(x,y)滿足()

更

更

理

y--o

5T&②&-辦

A.c=0

更

更

X5T&sf￥-OX+-O

--&冷-

答案：Co

4.下列方程中，是一階線性非齊次微分方程的是)

A.ydy=(x+y)dxB.xdy=(y?+y)dx

@=靖+3

C.--xcosy=9D.

dxdx

【答案】Bo

【解析】本題考查了一階線性非齊次微分方程的概念。所有能化為

立+P(x)y=Q(x)(Q(x)不恒為零)的方程就是一階線性非齊次微分方程。本題中的四個

dx

方程，只有選項B中的方程能化為電-Ly=x,故選B。

dxx

【提醒】若方程中出現了y,y'的非線性函數(如本題選項C,D中出現的cos%V),則

此方程就不是線性方程。另外，一定要掌握此類方程的求解方法。

【點評】本題涉及內容是微分方程中的重要概念，需牢記。一般以選擇題的形式考查，考

試熱度：☆☆☆☆；

【歷年考題鏈接】(2009,10)4.微分方程孫'+尸尤+3是()

A.可分離變量的微分方程B.齊次微分方程

C.一階線性齊次微分方程D.一階線性非齊次微分方程

答案：Do

5.下列無窮級數中，收斂的無窮級數是()

y2n+ly1+C-1)"-1

A.B.

Zf3/7+5Ztn

001

ooz-i\n-l

C.D.

a

【答案】D。

【解析】本題考查了常見的數項級數的斂散性。由于lim型蟲=2/0,所以1四發(fā)

83〃+53M3w+5

co1ooco001

散;由于￡上發(fā)散，交錯級數收斂，所以￡i+（T）發(fā)散。?為p=5

Tin署〃M〃念”

的p級數，發(fā)散。故選D。

00001

【提醒】（1）不論什么級數￡%,若則它一定發(fā)散。（2）p級數￡），

n—>00v）P

當夕>1收斂，當夕K1發(fā)散。（3）交錯級數，（-1）"-%"的斂散性一般用萊布尼茲判別法:

%單調遞減且趨于0,則收斂。

【點評】本題涉及內容是考試的重點熱點，常出現在選擇題中。考試熱度：☆☆☆☆☆；

【歷年考題鏈接】（2010,1）5.下列無窮級數中發(fā)散的無窮級數是（）

(-1)"

Jn+1

答案：Ao

二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

6.在空間直角坐標系中，直線）的方向向量為.

x-y-2z=3

【答案】｛-1,3,-2｝。

【解析】本題考查了如何從直線的一般式方程中得到直線的方向向量。直線卜+，+：=0,的

x-y-2z=3

方向向量為:

k=-i+3j-2k.

-1-2

故本題答案可以是-i+3/-2左或者｛-1,3,-2｝。后者是前者的簡寫形式。

【提醒】要熟悉直線的點向式方程(對稱式方程)、一般式方程、參數式方程及它們之間

的轉換。

【點評】本題涉及內容是考試的重點，常出現在各類題型中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢睢?；

【歷年考題鏈接】(2010,4)11.求過點尸(3,-1,0)并且與直線;=二5=一垂直的平面方

程。

答案：x-2y-5=0.

7.函數/(x,y)=---\~廣的定義域為___________.

In(l-x2-y2)

【答案】｛(x,j)|0<x2+y<1｝-

【解析】本題考查了二元函數的定義域求法。要是此函數有意義，則需滿足：

ln(l-f—y2)H0,

1-x2-/>0,

解得：0</+/<1,因此定義域為：|(%,j)|0<%2+/<1｝

【提醒】二元函數的定義域是平面的一部分，稱為區(qū)域，一定要用平面點集的形式寫出。

如本題若填寫0<f+丁2<1,就是錯誤的。

【點評】本題涉及的內容是多元函數微分學的基本內容，常出現在選擇和填空題中?？荚?/p>

熱度：☆☆☆;

8.設積分區(qū)域D：V+y2W4,則二重積分。7(爐+/)公辦在極坐標中的二次積分為

【答案】啖/(產)4廠。

【解析】本題考查了極坐標系下二重積分的計算。本題中，積分區(qū)域D為以原點為圓心、

半徑為2的圓域，故D可用不等式

D=1(r,^)|0<r<2,0<6^<2?}

來表示，應用公式辦Uy=/(rcosO/sin9)rdrd。得:

DD

[]/(*2+/)如fy=J。d'\(3'r2)rdr0

D

【提醒】當被積函數中含有一+)?,且積分區(qū)域為圓域，用極坐標計算較為方便。

【點評】本題涉及內容是考試的重點，常出現在填空題和計算題中。考試熱度：☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】(2009,10)15.計算二重積分063一丁溫,，其中積分區(qū)域0：一+尸式

D

2o

答案：(1-”2)乃。

9.微分方程y"+>2?y+2y=1的一個特解y*=.

【答案】-?

2

【解析】本題考查了微分方程特解的概念。本題中的方程不是線性的，不是一個常見的方

程，求特解沒有固定的公式可以用。根據觀察，、=,滿足微分方程丫〃+丁?3/+2丫=1,

2

故為它的一個特解。

【提醒】注意微分方程通解、特解的定義，以及二階常系數線性非齊次方程特解的求法。

【點評】本題涉及內容是考試的難點，常出現在填空題和計算題中。考試熱度：☆☆☆.

10.設函數/(尤)是周期為2兀的函數，f(x)的傅里葉級數為

兀2(―I)"]

——+>(......—cos(2n-l)x+——sinnx)

2￡'(2"1)2%n

則傅里葉系數。2=

【答案】0。

【解析】本題考查了傅里葉系數和傅里葉級數的概念。若周期為2兀的函數f(x)的傅里葉級

數為？+2cosnx+bnsinnx),貝(J由

2n=l

1.開

〃o=—于(x)dx

兀】一4

10開

<〃〃=—/(x)cosnxdx{n=1,2,)

兀

1「冗.

bn=—\/(x)sinnxdx(n=1,2,)

定出的系數為,4,4,?叫做函數f(x)的傅里葉系數。由定義知，出為式中cos2]的系數。

由已知，f(x)的傅里葉級數為-工+>(---2cos(2n-l)x+—sin幾x),其中不含

2￡(2〃-1)2兀n

cos2nx,即cos2%的系數為零，因此。2=0。

【提醒】謹記周期為2兀的函數的傅里葉系數的求法。(見解析)

【點評】本題涉及內容是考試的重難點，常出現在填空題和計算題中。考試熱度：☆☆☆

☆。

【歷年考題鏈接】(2010,4)22.設函數/^，.。‘一"''〈。的傅里葉級數展開式為

[xfi<X<71

—+^(ancosnx+bnb7.

2〃=i

答案：-o

7

三、計算題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

11.已知直線L過點P(2,-1,-1),并且與平面71:x-y+z=0垂直，求直線L的方程.

【答案】-x---2=2y—+1=——z+1

1-11

【解析】本題考查了空間解析幾何中直線方程的求法。一般是先找到一個已知點，然后去

尋求直線的方向向量，最后寫出直線的對稱式(點向式)方程。由題意，已知平面的法向

量可作為直線的方向向量，即5={1,—1,1},所以直線的方程為：二二2=五1=三擔。

【提醒】只要與直線平行的任何非零向量都可以取成直線的方向向量；只要是與平面垂直

的任何非零向量都可以取成平面的法向量。

【點評】本題涉及內容是考試的重點，平面和直線的方程的建立是幾乎每年必考的，常出

現在填空題和計算題中。考試熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】(2010,4)11.求過點尸(3,-1,0)并且與直線H=上==垂直的平面方程。

1-20

答案：x-2y-5=0.

12.設函數z=x2+arctan工,求和°工.

xdxdxdy

_8z-yd2zy2-x*

22

dx+ydxdy(x+y

【解析】本題考查了多元函數的偏導數的求法。

【提醒】對于具體的多元函數，求偏導數和求一元函數的導數一樣，對哪個變量求偏導，

計算時就將其余的變量視為常數，直接將函數對此變量求導數即可。對于抽象的多元函數,

求偏導數的時候要引入中間變量，畫出結構圖，再根據鏈式法則求偏導數。

【點評】本題涉及內容是考試的重點，幾乎是每年必考的，常出現在填空題和計算題中。

考試熱度：☆☆☆☆☆。

【歷年考題鏈接】(2010,4)6.設函數z=^衛(wèi)三，則生=___________.

ydx

田上sinysinx

答案t：Z=-----------o

y

13.設函數z=xy+1,求全微分dz.

,依心,Szcyd2zy2-x2

［答案1-=2x—----,———==-------°

22

dx冗之+yQxdy(x+yj

【解析】本題考查了二元函數的全微分。若二元函數z=/(x,y)是可微的，則它的全微分

y+1

為：dz=df(x,y)=—dx+—dyo本題中，z=x,因為

dxdy

京=(y+1)x=xv+1Inx,

oxdy

故它的全微分是：

yy+i

dz=(^y+l)xdx+xInxdy。

【提醒】只要記住全微分的公式dz=4(x,y)=g&c+|^6fy,這類題其實是求兩個偏導

oxdy

數。

【點評】本題涉及內容是高等數學中的基本知識，必須掌握。這類題常出現在填空題和計

算題中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢?

【歷年考題鏈接】(2009,10)7.設函數2=2/+/,則全微分dz=.

答案：dz=4-xdx+2ydy0

分7

14.設函數農〃%,sin(2x+y)),其中/(%y)具有連續(xù)偏導數，求一和一.

dxdy

【答案】=0+2/,cos(2x+y).—=fcos(2x+y).

oxoyv

【解析】本題考查了抽象的二元復合函數的偏導數的求法。先引入中間變量a#：設"=x,

v=sin(2x+y),則此函數是由z=/(〃/),a=尤#=sin(2x+y)復合而成。根據鏈式法則

(68頁)可得,

dzdzdudzdv?.?..、ic,c,，c、

二=三二+丁丁=力1+工「rcos(2x+y).2=/,+2fcos(2x+y),

OXOUoxovoxr

dzdzdu+dzdv?+?r"4,小、

-^=-^^-^^-=fu-0fv-cos(2x+y)]-l=fvcos(2x+y)。

oyouoyovoy

【提醒】求解這類題首先要引入中間變量，搞清函數的結構，然后按照鏈式法則展開即可。

【點評】本題涉及內容是考試的熱點，重在考查二元復合函數的結構和偏導數的計算。常

出現在填空和計算題中。熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】(2010,1)12.設函數z=f(2,x),其中f是可微函數，求包，包.

xexoy

dzy?dz1?

答案：￡=――2fu+rfv^=~fu-

oxxoyx

15.設函數/(%,丁)=5—1公十,,求grad/(2,1).

[2君問

【答案】gradf(2,l)=＜二，丁卜

【解析】本題考查了多元函數梯度的求法。根據梯度的定義，函數2=/(匹丁)在點(%,%)

處的梯度為gradf(%0,j0)=￡(%,%)i+/v(%0,%)J={￡(%,%),/*后,%)}?了解到這一

點，本題就轉化成了求函數在指定點處的偏導數了。因為

更=_xSf=y

dx7%2+y，dy+

3-晟T-乎/⑵…&=—身

所以有

gra（V（2』）=￥，M。

【提醒】函數〃=/（x,y,z）在點（%,%,2（））處的梯度為：

zk

gradf（%0，%）=力（/，％，z°?+｛（%，％，z°）J+｛（/，％，o）

=｛，（Xo，％，Zo）/（Xo，%，Zo），工（Xo，%，Zo）｝?

【點評】上面的12,13,14題以及本題中出現的概念不同，但都與偏導數的計算有關，只要

概念清楚了，偏導數的計算沒有問題，它就顯得比較簡單。本題考試熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】（2010,1）14.求函數f（x,y,z）=xyz-x2-y2+3z在點（-1,-1,2）處的梯度.

答案：gradf（-l-1,2）=｛0,0,4｝o

16.計算二重積分jj（x+y）斌y,其中積分區(qū)域。是由直線x+y=2,y=x及y=0所圍成的區(qū)

D

域.

4

【答案】一。

3

【解析】本題考查了平面直角坐標系下二重積分的計算。先應該畫出積分區(qū)域，如下圖陰

影部分。

它是一個y型區(qū)域，故這個二重積分可以先對x積分后對y積分:

(x+y)dxdy=￡dyJ(x+y)dx

D,

'(1+y^dx^y

2廣，+沖夕辦

o2

2二

4

3

【提醒】要求直角坐標系下以及極坐標系下的二重積分的計算要熟練掌握，因為這些是積

分學中的基本技能。

【點評】本題涉及內容是考試的熱點，重在考查學員二重積分的計算能力。這類題一般出

現可以出現在各類題型中，選擇、填空可能考查交換積分的次序等較容易的問題，計算題

中主要考查計算能力。本題考試熱度：☆☆☆☆☆.

【歷年考題鏈接】（2010,1）16.計算二重積分I=U（x+2y）dxdy,其中D是由坐標軸和直

D

線x+y=4所圍成的區(qū)域.

答案：32。

17.計算三重積分丫以4Mz,其中積分區(qū)域Q是由平面2x+3y+z=2及坐標面所圍成的區(qū)

域.

【答案】—.

27

【解析】本題考查了平面直角坐標系下三重積分的計算。先分析積分區(qū)域。積分區(qū)域Q是

由平面2x+3y+z=2及坐標面所圍成的區(qū)域，它位于第一卦限，在xoy坐標面上的投影為平

面區(qū)域：j（x,y）|0<x<l,0<y<|-1xl,區(qū)域中變量z的變化范圍是：

Q<z<2-2x-3y.然后來計算積分:

22

fffydxdydz=￡可；%ydz

Q

=￡^￡3y（2-2x-3y）dy

1

27

【提醒】一般來說，計算直角坐標系下的三重積分時，先看積分區(qū)域在一個坐標面（通常

選xoy平面）上的投影區(qū)域是什么，確定是什么型區(qū)域，繼而得到兩個變量的取值范圍，然

后要從已知的式子或圖形中找到第三個變量的取值范圍，積分限確定好了，最后計算積分。

積分限的確定方法不止一種，限于篇幅，這里不展開陳述，希望學員們多看例題，多總結。

【點評】本題涉及內容是考試的熱點，重在考查直角坐標系下三重積分的計算方法。多出

現在計算題中。另外，極坐標系下三重積分的計算同樣重要，不容忽視。熱度：☆☆☆☆

【歷年考題鏈接】（2010,1）17.計算三重積分I=j]j（x2+y2+z2）dxdydz,其中積分區(qū)域Q：

C

x2+y2+z2^l.

答案：一兀。

5

18.計算對弧長的曲線積分卜聲而7ds,其中C是圓周f+y2=l.

【答案】

【解析】本題考查了對弧長的曲線積分的計算。曲線C是圓周x2+y2=i,它可用參數方程來

表示：x=cost,y=sint(O<t<2^)o根據計算公式可得:

―—12?~~12

JeWs=即)2+2M)1(?osJ+(sin/dt

酒力

Jo

=2e%.

【提醒】一般的，若曲線L的方程為參數方程：x=(p(t),y=^tXa<t<j3),貝U

L/(x,y)ds=/4⑺0⑺]J"⑺『+[〃")『dt.

【點評】對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分一樣，幾乎是每年必考的內容，需重點掌

握。它們大都出現在計算題中?？荚嚐岫龋骸睢睢睢睢?

【歷年考題鏈接】(2008,4)18.計算對弧長的曲線積分(2x-y+l)ds,其中乙是直線y=x-l

上點(0,-1)到點(1,0)的直線段.

…5后

答案：——。

2

19.驗證對坐標的曲線積分

J(2xy-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy

與路徑無關，并計算

/=[()(2D-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy

J(i,o)

【答案】5o

【解析】本題考查了平面上曲線積分與路徑無關的條件以及對坐標的曲線積分的計算。曲

423

線積分JcPdx+=jc(2xy-y+3)dx+(x-4xy)dy與路徑無關的充要條件是：

—=—o因為?￡=2%一4丁3,義=2%—4/,所以變=絲，從而。曲線積分

dydxdydxdydx

fPdx+Qdy=[(2孫-y'+3)為:+評一4孫辦與路徑無關。

*CJc

由于積分與積分路徑無關，為了方便計算，可以取積分路徑為：(LO)f(2,0).(2,1),

(1,0)-(2,0)時,l<x<2,y=0；(2,0)9(2,1)時，0<y<l,x=2,所以：

/=[(2xy-y4++(x2-4xy3)dy=f3dx+f(22—4?2-y3)dy=3+4—2=5o

J(l,0)■JlJo■

【提醒】一般地，曲線積分fRa+。力與路徑無關的充要條件是：—o

【點評】曲線積分無路徑的無關性的考察大多出現在填空和計算題中，它和曲線積分的計

算都是考察的重點，需熟練掌握。考試熱度：☆☆☆☆☆.

20.求微分方程?=/工+^的通解.

dx

【解析】本題考查了一階線性非齊次微分方程的通解的求法。先將此方程變?yōu)闃藴市问剑?/p>

^-y=e-x,用一階線性非齊次微分方程的通解公式求通解：

dx

="(廣辦+0

F…

=--ex+Cer.

2

【提醒】一定要記住一階線性非齊次微分方程yr+P(x)y=Q(x)的通解公式：

【點評】本題設計內容是微分方程中的基本內容，這類題和二階常系數線性微分方程的解

法幾乎是二者必考其一，需多加練習?？荚嚐岫龋骸睢睢睢?

n

21.判斷無窮級數8￡n匕的斂散性.

zt初

【解析】本題考查了正項級數的斂散性的判斷。當一個正項級數通項中含階乘、乘方、指

數函數等時，一般用比值審斂法來判斷其斂散性。令氏二—，由于

n\

=lim1+—=e>l,

goo/s(n+1)!n\snJ

8nn

所以無窮級數發(fā)散。

W〃！

22.將函數/(x)=」展開為x-1的塞級數.

x+4

【解析】本題考查了如何將一個函數展開為塞級數。這類題一般有兩種方法求解：一種是

直接法，一種是間接法。多考查利用間接法將一個函數展開為塞級數。需要學員們記住常

見函數的哥級數展開式。本題，先將所給函數變形:

f(x)=^—=l-=1——--1

x+4x+45+x-l,x—1

1+----

5

18

根據：——=y(-i)nx"(-i<x<i),得

1+x"=0

100x-1I(-1<^<1)

=X(-1)'

~~5~

n-0

5