第一章集合與常用邏輯用語習(xí)題課充分條件與必要條件的綜合應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握探求一個命題成立的充分條件、必要條件、充要條件的方法與步驟.(邏輯推理)2.掌握利用充分條件、必要條件求參數(shù)取值范圍的一般方法.(邏輯推理)3.掌握解決充分條件、必要條件綜合問題的基本方法.(邏輯推理)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一:充分、必要、充要條件的多角度理解

知識大串聯(lián)角度1原始定義的理解一般地,“若p,則q”為真命題,即p可以推出q,用符號記作

,也就說p是q的

條件,q是p的

條件.

角度2命題中條件、結(jié)論推出關(guān)系的理解若

,即充分條件;若結(jié)論?條件,即

條件.

p?q充分

必要

條件?結(jié)論

必要

角度3幾何判定、性質(zhì)定理的理解判定定理:同位角相等,兩直線平行.判定定理指出了兩直線平行的

是同位角相等.

性質(zhì)定理:兩直線平行,同位角相等.

指出了兩直線平行的必要條件是同位角相等.

角度4集合關(guān)系的理解若A?B,則

,即說明A是B的充分條件,B是A的必要條件.而“A?B”可以轉(zhuǎn)化成集合的運算,如

.

充分條件

性質(zhì)定理

A?B

A∪B=B,或A∩B=A微思考充分、必要條件的多角度理解,本質(zhì)上都是一樣的嗎?角度之間的關(guān)系如何?提示

本質(zhì)上都是一樣的,四種角度是一般到具體的關(guān)系,借助充分、必要條件把已有知識連成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu).知識點二:命題中條件與結(jié)論的判斷——“縮句”

找條件(1)A是B的(

)條件.縮句:

.B就自然是結(jié)論了.

(2)A的(

)條件是B.縮句:

.A就自然是結(jié)論了.

微思考“縮句”的作用是什么?

A是條件

條件是B提示

通過縮句明確條件是什么,然后自然就明確結(jié)論是什么.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1充分、必要條件是演繹推理的基礎(chǔ)與保證.那么,充分、必要之間的關(guān)系有充分、必要、充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要這六種,如何區(qū)分這些關(guān)系?探究點一充分條件、必要條件、充要條件的辨析【例1】

(1)使x>1成立的一個①充分條件是(

),②必要條件是(

)A.x>0 B.x>2C.x<0 D.x<2BA解析

①根據(jù)充分條件的定義,要找使x>1成立的一個充分條件,即集合{x|x>1}的子集就可以,只有B滿足.②根據(jù)必要條件的定義,要找使x>1成立的一個必要條件,即{x|x>1}是某個集合的子集,只有A正確.(2)使a>b成立的①充分不必要條件是(

),②必要不充分條件是(

)A.a>b-1 B.a>b+1C.a+c>b+c D.a>2bBA解析

①因為a>b+1?a>b,所以a>b+1是a>b的充分條件.又因為a>b

a>b+1,所以a>b+1不是a>b的必要條件,故a>b+1是a>b成立的充分不必要條件,所以B中條件符合.②因為a>b?a>b-1,所以a>b-1是a>b的必要條件.又因為a>b-1a>b,所以a>b-1不是a>b的充分條件,故a>b-1是a>b成立的必要不充分條件.C是充要條件.D是既不充分也不必要條件.延伸探究(多選題)把例1(2)中的“充分不必要條件”改成“充分條件”,即:使a>b成立的充分條件是(

)A.a>b-1 B.a>b+1C.a+c>b+c D.a>2bBC解析

充分條件,只涉及充分性,對于必要性不需考慮.規(guī)律方法

充分條件、必要條件的探求,對于解集類的一般轉(zhuǎn)化為集合問題.根據(jù)“小充分、大必要”判斷求解其充分條件、必要條件.可根據(jù)以下表格確定p:x∈M與q:x∈N的關(guān)系:條件類別集合M與N的關(guān)系p是q的充分不必要條件M?Np是q的必要不充分條件M?Np是q的充要條件M=Np是q的充分條件M?Np是q的必要條件M?N對于其他類型,一般是轉(zhuǎn)化為條件與結(jié)論的推出關(guān)系.首先通過縮句厘清條件、結(jié)論,充分條件是由條件推出結(jié)論,必要條件是由結(jié)論推出條件.這種問題通常是開放性問題,條件一般不唯一.探究點二根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍問題2能判斷p是q的什么條件,表示正向理解充分必要條件,而數(shù)學(xué)經(jīng)常會采用逆向變形的方式來達到思維的靈活應(yīng)用.據(jù)此,你能提出什么問題?【例2】已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.{a|-1<a<6} B.{a|-1≤a≤6}C.{a|a<-1,或a>6} D.{a|a≤-1,或a≥6}分析

可將p和q中所涉及的變量x的取值范圍解出來,根據(jù)充分條件,轉(zhuǎn)化為其構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系,建立關(guān)于參數(shù)a的不等式組,從而求得實數(shù)a的取值范圍.B解析

設(shè)q,p表示的范圍分別為集合A,B,則A={x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4}.因為q是p的充分條件,則有A?B,即所以-1≤a≤6.故選B.延伸探究例2中,是否存在實數(shù)a,使p是q成立的必要不充分條件?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.解

存在.理由如下,設(shè)q,p表示的范圍分別為集合A,B,則A={x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4},若p是q的必要不充分條件,則A?B.需此時,需驗證端點情況,以排除A=B的情況.經(jīng)檢驗,當(dāng)a=-1時,B={x|-5<x<3},當(dāng)a=6時,B={x|2<x<10},均滿足A?B.故存在這樣的實數(shù)a,a的取值范圍為{a|-1≤a≤6}.規(guī)律方法

根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)取值范圍的步驟如下:(1)記集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根據(jù)集合M與N的包含關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組);(3)解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)12341.(例1對點題)寫出“0<x<2”的一個充分不必要條件

,必要不充分條件

.

0<x<1

0<x<6(答案均不唯一)

解析

根據(jù)充分條件的定義,要找“0<x<2”的一個充分不必要條件,即寫出集合{x|0<x<2}的真子集就可以,{x|0<x<1}滿足要求;根據(jù)必要條件的定義,要找“0<x<2”的一個必要不充分條件,即{x|0<x<2}是某個集合的真子集就可以,{x|0<x<6}滿足要求.12342.(例1對點題)(多選題)使a∈R,|a|<4成立的充分不必要條件可以是(

)A.a<4 B.|a|<3C.-4<a<4 D.0<a<3BD解析

A.{a||a|<4}?{a|a<4},所以a<4是|a|<4成立的一個必要不充分條件;B.{a||a|<3}?{a||a|<4},所以|a|<3是|a|<4成立的一個充分不必要條件;C.{a||a|<4}={a|-4<a<4},所以-4<a<4是|a|<4成立的一個充要條件;D.{a|0<a<3}?{a||a|<4},所以0<a<3是|a|<4成立的一個充分不必要條件.故選BD.12343.(例2對點題)若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要條件,則a的取值范圍是(

)A.{a|a≥3}B.{a|a≤-1}C.{a|-1≤a≤3}D.{a|a≤3}B解析

設(shè)A={x|x<a},B={x|x≥3或x≤-1},因為“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要條件,故A?B.