第二章有理數(shù)的運算知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導圖

加法法則

減法法則

乘法法則

有理數(shù)的運算法則

除法法則

乘方運算的符號法則

的混合運算順序

數(shù)軸匕匕較法

有理數(shù)的運算法則匕匕較法

有理數(shù)比較大小作差匕聯(lián)法

作商比較法

倒數(shù)匕戚法

科學記數(shù)法

02知識速記

一、有理數(shù)的運算

1、法則：

(1)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取

絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

(2)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b).

(3)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.②任何數(shù)同0相乘，都得0.

(4)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).即.

b

(5)乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次嘉是正數(shù)；②正數(shù)的任何次幕都是正數(shù),

0的任何非零次幕都是0.

(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；

③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

詮釋：“奇負偶正”口訣的應用：

(1)多重負號的化簡，這里奇偶指的是“一”號的個數(shù)，例如：(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.

(2)有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結果中積的符號，例如:

(-3)x(-2)x(-6)=—36,而(-3)x(-2)x6=36.

(3)有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則累為負；指數(shù)為偶數(shù)，則幕為

正，例如：(一3)2=9,(—3)3=—27.

2.運算律：

(1)交換律：①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:

(2)結合律：①加法結合律：(a+6)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：(ab)c=a(bc)

(3)分酉己律：a(b+c)=ab+ac

二、有理數(shù)的大小比較

比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法；(2)法則比較法：正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；

兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?3)作差比較法.(4)作商比較法；(5)倒數(shù)比較法.

三、科學記數(shù)法

把一個大于10的數(shù)表示成ax10"的形式(其中14同＜10,"是正整數(shù))，此種記法叫做科學記數(shù)法.例

如：200000=2xl05.

03題型歸納L

題型一有理數(shù)的加減混合運算

例題：(23-24七年級上?江西吉安?階段練習)計算下列各題：

(1)(-21)-(-9)+|-8|-(-12)

(2)+(+7)-(-20)+(-40)-(+6)-1-3-4|

鞏固訓練

1.(23-24七年級上?陜西西安?階段練習)計算:

(1)12-(-18)+(-7)；

4

(2)39-(-20.8)-y；

⑶"十。?25|-1+胃；

7_3?)+(-4.2).

(4)++4+

2.(23-24七年級上?遼寧葫蘆島?階段練習)計算.

⑴13m一2T+3：-(+5.75)；

(2)(-13)+(-7)-(+20)-(-40)+(+16).

(4)(+1.9)+3.6-(-10.1)+1.4.

3.(23-24七年級上?遼寧沈陽?階段練習)計算:

(1)(-20)+(+12)-(-5)-(+7)；

⑵3；-+2t+

(3)-2.4+3.5-4.6+4.5；

⑷一5；1.5一4.5一4：

-5.

題型二有理數(shù)的加減中的簡便運算

例題：(23-24七年級上?陜西渭南?期中)用簡便方法計算：f+lo1j+(-11.5)+f-lo1j-(+4.5).

鞏固訓練

1.(23-24七年級上.山東德州?階段練習)計算下列各式:

(1)43+(-57)+27+(-43)

34

77

(3)(-12.75)+(+5.2)+1-7-J+(-3.2)

2.(23-24七年級上?山東荷澤?階段練習)計算:

(1)23-17-(-7)+(-16)

(2)(-26.54)-(-6.4)+18.54-6.4

(3)(-0.5)--3-+2.75-+7-

\4J2

⑷-2：一(—2.5)+l—1-2；

3.(23-24七年級上.山東德州?階段練習)計算題

(1)0-(-6)+2-(-13)-(+8)

(2)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+5.7

(3”3J-37

o412

(3

(4)1+17-(+6.25)--(+0.75)-22-

題型三有理數(shù)的加減混合運算的應用

例題：(23-24七年級上.河南鄭州?期末)小李是一名外賣員，某天中午他騎電動車一直在南北方向的文化路

上送外賣.如果向北行駛記作“+”，向南行駛記作這天中午他從集合點出發(fā)，行程記錄如下(單位：

千米)：

—2,+3.5,-1.8,+0.3,+1.6,—2.6.

(1)小李將最后一份外賣送到目的地時，他在集合點的什么方向？距集合點多遠？

(2)小李距集合點最遠為千米.

(3)若小李在出發(fā)時電動車顯示剩余電量還能行駛15千米，在中間不充電的情況下,他能否完成上面的行程?

請說明理由.

鞏固訓練

1.(23-24七年級上?江蘇連云港?開學考試)下表記錄的是我國5個城市某天的最低氣溫.

南京銀川北京杭州連云港

0℃3℃-4℃2℃-1℃

..I.!__I||______

一、-j-q.-ii.h.(之<1

(i)氣溫最高的城市是一，氣溫最低的城市是「

(2)將這5個城市當天的最低氣溫所對應的數(shù)據(jù)在數(shù)軸上表示出來;

(3)連云港與北京的溫度相差一。C.

2.(24-25七年級上?全國?隨堂練習)某自行車廠一周計劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均每天生產(chǎn)200輛，由于

各種原因實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負)：

星期一二三四五六日

增減+5-2-4+13-10+16-9

(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)輛；

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛;

(3)該廠實行每周計件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎15元；少

生產(chǎn)一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？

3.(22-23七年級上?廣西河池?期中)已知A,B兩地相距30米，小豬佩奇從A地出發(fā)前往B地，第一次它

后退1米，第二次它前進2米，第三次再后退3米，第四次又向前進4米，按此規(guī)律行進，如果A地在數(shù)

軸上表示的數(shù)為-16.

A

-----------------------

(1)求出B地在數(shù)軸上表示的數(shù)；

(2)小豬佩奇從A地出發(fā)經(jīng)過第七次行進后到達點P,第八次行進后到達點Q,點P點。到A地的距離相等

嗎？說明理由？

(3)若B地在原點的左側，那么經(jīng)過100次行進后小豬佩奇到達的點與點8之間的距離是多少？

題型四倒數(shù)

例題：(23-24九年級下?山東青島?階段練習)-焉的倒數(shù)是.

鞏固訓練

4

1.(22-23六年級下?上海閔行?階段練習)-百的倒數(shù)是.

2.(23-24七年級上?浙江金華?階段練習)；的相反數(shù)是,倒數(shù)是,絕對值是.

3.(23-24七年級上?山東青島?階段練習)-I1的倒數(shù)是；的相反數(shù)是

-4的絕對值是.

O

題型五有理數(shù)的乘除混合運算

例題：(24-25七年級上?全國?隨堂練習)計算：

o4

⑴(-81)+了§+(-16).

⑵“TqxH>7.

鞏固訓練

1.（23-24七年級上?江西南昌?階段練習）計算:

⑴（-32）+4翻;;

⑵24+（-2）+’1口.

2.（24-25七年級上?全國?隨堂練習）計算:

3.計算：

（1）（一3）十］一1；］><0?75;［一^）*（一6）；

⑵"義（-?！梗┮龑Вㄒ?0）；

題型六有理數(shù)的乘方運算

例題：（2023?全國?九年級專題練習）計算:

32

（D-C-2）3;（2）-24;

鞏固訓練

1.計算：

,3

(1)(-5)4;(2)-y；(3)-(-0.3)3.

2.計算：

⑴-§)2；(2)-(--1)2；⑶-5，；(4)-：.

3.計算：

⑴(-3＞；⑵(-1.5)2；⑷-(一3R(5)-(-2)3.

題型七有理數(shù)的乘方運算的應用

例題:你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反

復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條.如圖所示：這樣捏合到第6次后可拉出幾根面條?

第一次第二次第三次

捏合后捏合后捏合后

鞏固訓練

1.如圖，某種細胞經(jīng)過30分鐘由一個分裂成2個，若要這種細胞由一個分裂成16個，那么這個過程要經(jīng)

過()

O

6)，6)

A.1.5小時B.2小時C.3小時D.4小時

2.一根1米長的木棒，小明第一次截去全長的;，第二次截去余下的;，依次截去每一次余下的g,則第五

次截去后剩下的木棒長為米.

3.如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個.根據(jù)此規(guī)律可得:

（1）這樣的一個細胞經(jīng)過2小時后可分裂成多少個細胞？

（2）這樣的一個細胞經(jīng)過多少小時后可分裂成64個細胞?

題型八用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

例題：（23-24七年級下?四川巴中.期末）今年政府工作報告提出，從今年開始擬連續(xù)幾年發(fā)行超長期特別國

債，今年先發(fā)行1萬億元.5月17日，首批發(fā)行400億元30年期國債，年利率為2.57%.某大型企業(yè)購買

了5000萬元國債，該企業(yè)一年的國債利息收益為元（用合適的記數(shù)法表示）.

鞏固訓練

1.（22-23七年級上?湖南湘西?期末）2022年10月16日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國人民代表大會在北京大

會堂隆重開幕，習近平代表第十九屆委員會向大會作報告.報告全文的總字數(shù)約為32500,把32500用科學

記數(shù)法表示為.

2.（2024?江蘇宿遷?模擬預測）2021全國人口普查結果顯示，全國人口共141178萬人，與2010年（第六次

全國人口普查數(shù)據(jù)，下同）的133972萬人相比，增加7206萬人，增長5.38%,年平均增長率為0.53%,比

2000年到2010年的年平均增長率0.57%下降0.04個百分點.數(shù)據(jù)7206萬