2025年陜西省富平縣富平中學高中畢業(yè)班1月模擬考試數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．2．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“-”當作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．153．設(shè)為非零實數(shù)，且，則（）A． B． C． D．4．命題“”的否定為（）A． B．C． D．5．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．26．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．7．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤9．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．210．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．212．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某高校開展安全教育活動，安排6名老師到4個班進行講解，要求1班和2班各安排一名老師，其余兩個班各安排兩名老師，其中劉老師和王老師不在一起，則不同的安排方案有________種.14．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則_________．15．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線與拋物線交于點，以線段為直徑的圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，則實數(shù)的取值范圍為________．16．（5分）函數(shù)的定義域是____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中心在原點的橢圓的左焦點為，與軸正半軸交點為，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當時，直線過定點.18．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．19．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，正實數(shù)、滿足，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，將其轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為1×20+1×24=1．故選：B．本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應(yīng)用等，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3．C【解析】

取，計算知錯誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學生對于不等式性質(zhì)的靈活運用.4．C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．7．B【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標準方程，結(jié)合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.8．A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

作出可行域，直線目標函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．10．D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點P的坐標，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.11．D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．C【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結(jié)束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結(jié)束，得，故選C．本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．156【解析】

先考慮每班安排的老師人數(shù)，然后計算出對應(yīng)的方案數(shù)，再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù)，兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1，1，2，2，共有種，劉老師和王老師分配到一個班，共有種，所以種.故答案為：.本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，難度一般.對于分組的問題，首先確定每組的數(shù)量，對于其中特殊元素，可通過“正難則反”的思想進行分析.14．【解析】

由題意可得，又由于為的中點，且點在軸上，所以可得點的橫坐標，代入拋物線方程中可求點的縱坐標，從而可求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解：因為是拋物線的焦點，所以，設(shè)點的坐標為，因為為的中點，而點的橫坐標為0，所以，所以，解得，所以點的坐標為所以，故答案為：此題考查拋物線的性質(zhì)，中點坐標公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程，且點D恒在圓E外，即圓E上存在點，使得，則當與圓E相切時，此時，由此列出不等式，即可求解。【詳解】由題意可得，直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，則，，設(shè)，則，，又，所以圓是以為圓心，4為半徑的圓，所以點恒在圓外．圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，即圓上存在點，使得，設(shè)過點的兩直線分別切圓于點，要滿足題意，則，所以，整理得，解得，故實數(shù)的取值范圍為本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中準確求得圓E的方程，把圓上存在點，使得以為直徑的圓過點，轉(zhuǎn)化為圓上存在點，使得是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。16．【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）在中，計算出的值，可得出的值，進而可得出的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)已知條件得出，利用韋達定理和斜率公式化簡得出與所滿足的關(guān)系式，代入直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標.【詳解】（1）在中，，，，，，，，因此，橢圓的標準方程為；（2）由題不妨設(shè)，設(shè)點，聯(lián)立，消去化簡得，且，，，，，∴代入，化簡得，化簡得，，，，直線，因此，直線過定點.本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算能力，屬于中等題.18．(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題．19．（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)兩個曲線的焦點相同，得到，再根據(jù)與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設(shè)點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數(shù)量積得出，則問題得以證明；（3）設(shè)直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，也是橢圓的一個焦點，，①又與的公共弦的長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，，②聯(lián)立①②，得，，故的方程為；（2）如圖，，由得，在點處的切線方程為，即，令，得，即，，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形；（3）設(shè)直線，直線，、、，則，設(shè)向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關(guān)系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，構(gòu)造方程，利用韋達定理，以及向量的關(guān)系，得到關(guān)于斜率的方程，計算量大，屬于難題．20．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令通過二次求導確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區(qū)間遞減；當時，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點為1（2）函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，又因為，所以，方程關(guān)于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.21．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的的解集；（2）利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為，進而可得出，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式求得的最小值，進而可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）當時，由，得，即，解得，此時；當時，由，得，即，解得，此時；當時，由，得，即，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2），當且僅當時取等號，所以，.所以，當且僅當，即，時等號成立，所以.所以，即.本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立，涉及絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.22．