2023—2024學(xué)年度高二年級下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知函數(shù)/（X）=%2+6,則￡個"1+^^/⑴二（）

3355

A.-B.-C.-D.一

2424

2.已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8,超過2年的概率為0.6,若一個這種元件使用到1年

時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率為（）

A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48

3.己知S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項和，%+2%+囚8=20,則岳7=（）

85

A.——B.85C.170D.340

2

4.已知命題p：Vxefo,-|L2x<sinx<x,則命題p的真假以及否定分別為（）

2

A.真，-p:3%€,—x>smx>x

H：71

B.真，3x€,—x>sinx^sinx>A:

71

2

C.假，3xe,—x>smx>x

得71

2...

D.假,-p:3x€,—x>sinxsmx>x

71

5.已知隨機(jī)變量八〃，〃?N（〃,CT2）,且雙劣=。（〃），若P（〃W2a+l）+

P（7<2-a）=l,則實數(shù)。=（）

A.0B.-1C.1D.2

6.集合卜力卜，+1<》+6｝的子集個數(shù)為（）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

A.2B.4C.8D.16

7.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足％=1,a“=ln（4+i—l）+m,“eN*,若對一切“eN*,an<2,則實數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

A.m>2B.1<m<2C.m>3D.2<m<3

8.已知定義在R上的單調(diào)遞增的函數(shù)滿足：任意xeR,有“1—x）+/（l+x）=2,

/（2+x）+/（2-x）=4,則下列結(jié)論簿誤的是（）

A.當(dāng)xeZ時，/（%）=x

B.任意xeR,/（-%）=-/（%）

C.存在非零實數(shù)T,使得任意XGR,/（X+T）=/（%）

D.存在非零實數(shù)k,使得任意尤eR,-時

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.等比數(shù)列｛4｝的公比為g,則下列說法正確的是（）

A.｛ln|aj｝為等差數(shù)列B.若出＞4且%＞/，則｛4｝遞增

C.｛%+2a“+J為等比數(shù)列D.＜二：/+2,為等比數(shù)列

10.甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另

一人沒投進(jìn)，則投進(jìn)者得1分，沒進(jìn)者得-1分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn)，則都得0分，當(dāng)

兩人各自累計總分相差4分時比賽結(jié)束，得分高者獲勝，在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5,乙投進(jìn)的概

率為0.6,每次投球都是相互獨立的，若規(guī)定兩人起始分都為2分，記￡?=0,1,2,3,4）為“甲累計總分

為i時，甲最終獲勝”的概率，則（）

A.一輪比賽中，甲得1分的概率為0.5B.P（0）=0,P（4）=l

C.4=0.2%]+0.3%+0.5ED.｛%一片｝（i=0,1,2,3）為等差數(shù)列

11.已知函數(shù)/（x）=x（e'—aeR,則下列說法正確的是（）

A.若a=0,則

B.ReR,使得“X）在上單調(diào)遞增

C.若x=l為/（x）的極值點，則a=e

D.VaeR,坐標(biāo)平面上存在點P,使得有三條過點尸的直線與/（力的圖象相切

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從含有6件正品和4件次品的產(chǎn)品中任取3件，記X為所抽取的次品，貝U￡（X）=.

13.已知實數(shù)x,y滿足必+盯—1=0,則必+丁的最小值為_____.

「3n

14.設(shè)高斯函數(shù)國表示不超過x的最大整數(shù)（如[2』=2,[3]=3,[-1.7]=-2）,已知a“=-xlOn,

4=q,bn=a“—10%_1wN*,"N2），則％=______；Z?2024=______.

四、解答題，本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）甲、乙兩人對局比賽，甲贏得每局比賽的概率為p（O<p<l）,每局比賽沒有平局.

2

（1）若賽制為3局2勝，°=—,求最終甲獲勝的概率；

3

（2）若賽制為5局3勝，記/（夕）為“恰好進(jìn)行4局比賽且甲獲得最終勝利”的概率，求/（夕）的最大值

及此時0的值.

16.（15分）已知數(shù)列｛4｝滿足a.=—仁，?1=-,數(shù)列｛叫的前〃項和為5“，且2s“=3.—3.

“八十12

（1）求數(shù)列｛《,｝,也｝的通項公式；

（2）求數(shù)列]」一]的前〃項和為7；.

18.（15分）目前AI技術(shù)蓬勃發(fā)展，某市投放了一批AI無人駕駛出租車為了了解不同年齡的人對無人駕

駛出租車的使用體驗，隨機(jī)選取了100名使用無人駕駛出租車的體驗者，讓他們根據(jù)體驗效果進(jìn)行評分.

（1）現(xiàn)將100名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評分劃分為“好評”和“差評”，整理得到

如下數(shù)據(jù)，請將2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對無人駕駛出租車的評價與年齡有

關(guān).

好評差評合計

青年20

中老年10

合計40100

（2）設(shè)消費(fèi)者的年齡為無，對無人駕駛出租車的體驗評分為y.若根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)

于x的線性回歸方程為3=L5x+15,且年齡x的方差為f=9,評分y的方差為sj=25.求y與尤的

相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷對無人駕駛出租車使用體驗的評分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（當(dāng)川》0.75時，認(rèn)為相

關(guān)性強(qiáng)，否則認(rèn)為相關(guān)性弱）.

可（％-9）￡（「可（男-9）

附：$=上一------------，r=?.

小-可也（—）￡（—）2

'TVi=li=l

獨立性檢驗中的K?=-----——~~-----其中〃=a+》+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

P(K』。)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

18.(17分)已知函數(shù)〃x)=(lnx)2+"lnx+l),a>Q

(1)求證：x>0時，ex>x2；

(2)討論〃龍)的單調(diào)性；

(3)求證：Va>0,/(x)恰有一個零點.

19.(17分)已知函數(shù)/(%),定義：對給定的常數(shù).，數(shù)列｛a“｝滿足q>a,尸(％)JO

an~a

則稱數(shù)列｛4｝為函數(shù)的“上⑷一數(shù)列”.(/'(X)為“X)的導(dǎo)函數(shù))

⑴若函數(shù)/(九)=-數(shù)列｛%｝為函數(shù)/(%)的1)一數(shù)列"，且4=1,求｛%｝的通項公式；

(2)若函數(shù)g(x)=lnx,數(shù)列｛%｝為函數(shù)g(x)的“⑴一數(shù)列"，求證：l<an+l<an；

(3)若函數(shù)，(力=/+6sinx,正項數(shù)列也｝為函數(shù)人⑺的“"》)一數(shù)列”,已知2+小伍也),

〃eN*.記數(shù)列也｝的前n項和為5?.

求證：當(dāng)時，Sn+bn>(?-1)/?+2/?].

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期末考試高二年級數(shù)學(xué)科試卷

參考答案

1234567891011

DABBCCACABDBCABD

12.113.20-214.4285；2

四、解答題：

15.【解】(1)設(shè)前兩局比賽甲贏為事件A,

2i98

設(shè)前兩局比賽甲贏一局且最后甲勝為事件B,：.P（B）=C------=—

v7233327

2f）

甲勝的概率為P（A）+P（3）=藥

（2）恰進(jìn)行4局比賽且甲最后勝，則前三局比賽甲贏兩局，第四局甲贏〃p）=C：p2（l—p”=3p3_3p4

3

???f'(p)=9p2-12p3=3p2(3-4p),,(p)=0np=z

當(dāng)/'（p）＞0，???/（夕）在（0,：3上為增函數(shù)

4

當(dāng)pr（p）＜。，???”〃）在上為減函數(shù)

3813

,止匕時p=

256

1111

16.【解】(1)?..%,+]=_L+1,_L是以上=2為首項，以i為公差的等差數(shù)列

a

4+14+1n七JtZj

111

——二-------1-(〃—l)d=2+〃—1=〃+1,%=

a”?in+1

???2Sn=3用—3,2S,H=3"—3(〃>2)

3n+l-3"

???b,=S「S,i=3",(“22)

2

32-3

n

當(dāng)〃=1,4=S]==3,符合上式.：.bn=3,neN*

2

（2）由（1）得」n+1

3"

1+12+13+1(zz-l)+ln+1

=+——+——+???++-----

332333'T3"

11+12+1(zz-1)+1n+1

=

?-T---I—I---1-3"+i

332333"

22111n+1n+1

作差：升二+~l—r-l--1---

32333"3"+i3〃+i

17.【解】（1）根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表如下:

好評差評合計

青年203050

中老年401050

合計6040100

因為K?=100（20x10-30x40）2

?16.667>10.828,

50x50x60x40

所以有99.9%的把握認(rèn)為對無人駕駛出租車的評價與年齡有關(guān).

1100100

（2）因為寸=赤￡（%-無）2=9,所以Z（七一元）2=900,

1UUZ=1Z=1

1100100

因為=而￡（%一9）2=25，所以'（X-=2500,

1UU/=1/=1

100

za一元）（％一歹）wowo

因為g=亙而------------=1.5,所以￡①一可（y—y）=1.5XZ（X,.—可2=1.5X900=1350,

方（七-寸日日

Z=1

100

龍）（％一歹）13501350

所以相關(guān)系數(shù)7.—____/1____________________________—__________________—__________—09

照—_、2,900x250030x50

\-L（x-y）

VZ=1Z=1

因為0.9>0.75,所以判斷對無人駕駛出租車使用體驗的評分與年齡的相關(guān)很強(qiáng).

18.【解】⑴設(shè)g（x）=fer,x>0,貝!Jg，（x）=x（2-x）eT,x>0

易知g（x）在（0,2］上遞增，在［2,+8）上遞減，

4

所以g（x）Kg（2）=3<l,即fe-%〈inejf.

e

（2）/（x）定義域為（0,+8）,/'（%）=—lnx+a^x__；）1n\x>0,”>0

①a=2時,可知恒有廣（力20,此時外力在（0,+oo）上遞增;

②0<〃<2時，可知九金［。,1（L+00）時，/^（x）>0；%€時，/（同<0,

所以此時〃％)在og和(1,+8)上遞增，在上遞減;

③a>2時，同理可得/(%)在(0,1)和院,+，|上遞增，在[1,上遞減.

(3)由(2)：

22

①a=2時，〃力在(0,+。。)上遞增，因為/⑴=2>0,/(e-)=4-2e<0,所以此時恰有一

個零點；

(-1-1)(1Y1+1

②0<a<2時，因為/(%)的極小值為/(l)=a>0,又由(1)知/e。=1+--e"<0,結(jié)

1J\

合/(%)的單調(diào)性，可知此時/(%)也恰有一個零點；

+2[嗚+1[=[嗚+1]

③a>2時，/(%)的極小值為了+1>0,

又/(e-2)=4—2e2<0,結(jié)合的單調(diào)性，同樣也恰有一個零點.

綜上，Va>0,/(%)恰有一個零點.

【說明】用極限代替找點，過程合理，扣2分.

/_1

2

19.【解】(1)f(x)=x=>f\x)=2x,由題意，有2a一=an-l,

an+1

則可+i+l=；(a.+l),又q+l=2,所以｛4+I｝是以2為首項、以;為公比的等比數(shù)列,

所以4+1=￡工，從而4=￡工—1-

(2)由題可得,=曲然，

a“+i??-1

①設(shè)0(x)=lnx-x+l,